三維點群

幾何學中，三維點群是三維空間中，任何一個固定原點的對稱群。等價的說法是，其為球面的對稱群。此類群皆為正交群${\displaystyle O(3)}$的子群，即固定原點的全體等距同構組成的群，亦可視為全體正交矩陣的乘法群。${\displaystyle O(3)}$本身則是全體等距同構的歐氏群${\displaystyle E(3)}$的子群。

立體的對稱群必由等距同構組成，反之，要分析等距對稱構成的群，就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構，必存在共同的不動點，不妨設其中之一為原點。

立體的對稱群，有時稱為全體對稱群作強調，用以突顯與旋轉群（或真對稱群）的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群${\displaystyle SO(3)}$之交。立體的旋轉群等於全體對稱群，當且僅當立體具手性（英语：chirality (mathematics)）。

三維點群在化學廣泛用於描述分子的對稱，及組成共價鍵的分子軌域的對稱。此背景下，也稱分子對稱群。

有限考克斯特群是一族特殊的點群，僅由過原點的若干個鏡射生成。${\displaystyle n}$階考克斯特群是由${\displaystyle n}$個鏡射生成，可以考克斯特－丹金圖（英语：Coxeter–Dynkin diagram）表示。考克斯特符號（英语：Coxeter notation）則改為用方括號和數字描述，並設有其他標記，用以表示旋轉群或其他子群。

群結構

${\displaystyle SO(3)}$是直接歐氏群${\displaystyle E^{+}(3)}$的子群，其元素皆是直接等距同構，即保持定向的等距變換。${\displaystyle SO(3)}$僅含保持原點不變的直接等距同構。

${\displaystyle O(3)}$則是${\displaystyle SO(3)}$與點反演生成的群${\displaystyle \{I,-I\}}$的直積：（此處點反演以其矩陣${\displaystyle -I}$表示，即單位矩陣${\displaystyle I}$乘上${\displaystyle -1}$。）

${\displaystyle O(3)=SO(3)\times \{I,-I\}.}$

所以，三維空間中，藉點反演，可以得到直接與間接等距變換之間的一一對應，此外，${\displaystyle O(3)}$中僅由直接等距變換組成的子群${\displaystyle H}$（必包含在${\displaystyle SO(3)}$中，亦與${\displaystyle O(3)}$中含有點反演的子群${\displaystyle K}$一一對應。對應關係如下：

${\displaystyle K=H\times \{I,-I\},}$

${\displaystyle H=K\cap SO(3).}$

例如，若${\displaystyle H}$為${\displaystyle C_{2}}$，則${\displaystyle K}$為${\displaystyle C_{\mathrm {2h} }}$；若${\displaystyle H}$為${\displaystyle C_{3}}$，則${\displaystyle K}$為${\displaystyle S_{6}}$。（定義載於下文。）

若直接等距同構群${\displaystyle H}$有指數（英语：Index of a subgroup）為${\displaystyle 2}$的子群${\displaystyle L}$，則除以上含點反演的子群外，還有另一個對應的子群

${\displaystyle M=L\cup \left((H\setminus L)\times \{-I\}\right),}$

含有間接等距變換，但不含點反演。式中${\displaystyle (A,I)}$與${\displaystyle A}$視為等同。舉例${\displaystyle H}$為${\displaystyle C_{4}}$，而${\displaystyle M}$為${\displaystyle S_{4}}$。

換言之，${\displaystyle M}$是將${\displaystyle H\setminus L}$中的變換，乘上${\displaystyle -I}$得到。此群${\displaystyle M}$作為抽象群與${\displaystyle H}$同構。反之，任意對稱群，若有間接等距變換，但無點反演，則可以將所有間接變換反演，而變成旋轉群。等距群的分類（見下文）中，可以用此性質化簡問題。

二維情況下，${\displaystyle k}$重旋轉的循環群${\displaystyle C_{k}}$皆是${\displaystyle O(2)}$和${\displaystyle SO(2)}$的正規子群。在三維中，固定旋轉軸，則相應有繞該軸的${\displaystyle k}$重循環群${\displaystyle C_{k}}$，是繞該軸的全體旋轉群的正規子群。此外，由於指數為${\displaystyle 2}$的子群必正規，${\displaystyle C_{n}}$在${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$中正規，也在${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$中正規。此處${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$是向${\displaystyle C_{n}}$添加過旋轉軸的反射面生成，而${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$則是向${\displaystyle C_{n}}$添加與軸垂直的反射面生成。

固定原點的三維等距變換

${\displaystyle \mathrm {R} ^{3}}$的等距變換中，固定原點的變換，組成正交群${\displaystyle O(3,\mathbb {R} )}$，簡記為${\displaystyle O(3)}$。其元素分類如下：

• 子群${\displaystyle SO(3)}$中：
  • 單位（恆等變換）；
  • 繞過原點某軸的旋轉，且角度不為${\displaystyle 180^{\circ }}$；
  • 繞過原點某軸的旋轉，且角度為${\displaystyle 180^{\circ }}$；
• 及以上變換但額外乘上點反演（將向量${\displaystyle x}$映去${\displaystyle -x}$），即：
  • 點反演；
  • 繞過原點的某軸，作角度不為${\displaystyle 180^{\circ }}$的旋轉，後再作一次鏡射，鏡射面過原點，且與旋轉軸垂直；
  • 關於過原點某平面的鏡射。

後三種元素又稱瑕旋轉。（視乎定義，末一種未必算。）

連同平移變換的簡介，見歐幾里得群。

共軛

比較兩件立體的對稱類時，原點可以分別選取，即兩件立體的中心不必相同。更甚者，兩件立體具有相同對稱類，意思是其對稱群${\displaystyle H_{1},H_{2}}$在${\displaystyle O(3)}$中為共軛子群，即存在${\displaystyle g\in O(3)}$，使${\displaystyle H_{1}=g^{-1}H_{2}g}$。

舉例：

• 兩件立體各僅有鏡射對稱，即使並非關於同一鏡面，仍屬同樣的對稱類；
• 同樣，若各僅有三重旋轉對稱，即使軸向不同，仍屬同樣的對稱類。

若立體的對稱群有多條旋轉軸或多個鏡面，或兩者皆有，則兩個對稱群同屬一類，當且僅當有另一個旋轉${\displaystyle g}$，將前一個對稱群的整個結構，變換成後一個對稱群。（此種旋轉會多於一個，但不會是無窮多個。僅有一條旋轉軸或一個鏡面時，此種旋轉方會有無窮多個。）按定義，上文的${\displaystyle g}$不必為旋轉，也可以為鏡射，然而，由於對稱群的結構不具手性，祇需取${\displaystyle g}$為旋轉。（但空間群則不然，有${\displaystyle 11}$對空間群具有手性，因為有螺旋變換。）

無窮等距變換群

有許多無窮等距變換群，如繞任意軸轉任意無理角度（即圈數或度數為無理數，或弧度數為${\displaystyle \pi }$的無理數倍）的旋轉，所生成的無窮循環群；若加入繞同一軸的其他旋轉，還可以組成許多非循環的交換群。取不共軸的旋轉，則生成非交換群。一般而言（英语：Generic property），此等非交換群皆為自由群。僅有特別選取的旋轉，方能得到有限群，否則一般皆是無窮群。

作為拓撲群${\displaystyle O(3)}$的子群，上述無窮子群皆非閉子群。以下討論${\displaystyle O(3)}$的拓撲閉子群：

無標記特定點的球面，對稱群為${\displaystyle O(3)}$。

• 整個${\displaystyle O(3)}$是球對稱群、
• 相應的旋轉群是${\displaystyle SO(3)}$、
• 其他無窮等距變換群有五個，皆含有過原點的某軸，繞該軸的所有旋轉，另外可以：
  • 添加或不添加過軸的各鏡面反射，
  • 另添加或不添加過原點與軸垂直的鏡面反射。（共四個）
  • 最後，若以上兩種反射都無添加，則可以只添加兩者的複合，相當於添加與原旋轉軸垂直的軸上的${\displaystyle 180^{\circ }}$旋轉。（一個）

添加過軸的各鏡面反射的群，不論有否添加過原點與軸垂射的鏡面反射，稱為兩種圓柱對稱性。注意若物理實體有無窮旋轉對稱，則亦必關於過軸的鏡面對稱。

此七個連續群，稱為極限點群或居里極限群，得名自最早研究此種群的皮埃尔·居里。^[1][2]軸向群可以分成七列無窮序列，其極限給出五個軸向極限群（有兩個重複），而${\displaystyle O(3)}$、${\displaystyle SO(3)}$則不是軸向群的極限。國際記號中，此七個群記為${\displaystyle \infty ,\ \infty 2,\ \infty /\mathrm {m} ,\ \infty \mathrm {mm} ,\ \infty /\mathrm {mm} ,\ \infty \infty ,\ \infty \infty \mathrm {m} }$，次序在下文明確給出。^[3]

有限等距變換群

三維空間的對稱中，保持原點不動，等價於保持以原點為球心的球面。關於有限的三維點群，亦可參見球面有限對稱群列表（英语：List of finite spherical symmetry groups）。

不別共軛之異，三維有限點群只有：

• ${\displaystyle 7}$個無窮列，此七類群中，每個群至多一條旋轉軸有多於兩重旋轉。該些群皆是圓柱面的對稱群（的有限子群），其中圓柱面有限長或無限長是等價的，有時稱為軸向點群（英語：axial point groups）或棱柱點群（英語：prismatic point groups）。
• ${\displaystyle 7}$個其他點群，每個有至少兩條至少三重的旋轉軸；也可以等價寫成有至少兩條三重旋轉軸，因為全部七個都有多條三重旋轉軸。若數出其三重以上的旋轉軸，所有可能組合有：
  • ${\displaystyle 4}$條三重軸、
  • ${\displaystyle 4}$條三重軸及${\displaystyle 3}$條四重軸、
  • ${\displaystyle 10}$條三重軸及${\displaystyle 6}$條五重軸。

根據晶體學限制定理，僅得很少點群與離散平移對稱（英语：translational symmetry）相容：七列軸向點群中，有${\displaystyle 27}$個；七個其他點群中，有${\displaystyle 5}$個，合共${\displaystyle 32}$個，稱為晶體學點群。

七類軸向點群

有七列軸向點群。每列有無窮多個群，各可用正整數${\displaystyle n}$標示。每列第${\displaystyle n}$個群，含繞某軸的${\displaystyle n}$重旋轉，即旋轉${\displaystyle 360^{\circ }/n}$，故${\displaystyle n=1}$對應轉一整圈，即不旋轉。七列軸向點群中，四列無其他旋轉軸（稱循環對稱（英语：Cyclic symmetry in three dimensions）），另三列有其他二重旋轉軸（稱二面對稱（英语：dihedral symmetry））。該些群可以視為二維點群（英语：point groups in two dimensions）添加軸向坐標和關於軸的反射而成，也與帶群（英语：frieze group）相關。^[4] 可以將軸向點群理解為帶群的圖案在繞柱面恰好重複${\displaystyle n}$次。

下表列出點群的幾種記號：晶體學的赫爾曼–莫甘記號、分子對稱性的熊夫利記號（英语：Schönflies notation）、軌形記號（英语：orbifold notation）、考克斯特記號（英语：Coxeter notation）。後三者不僅方便讀出群的性質，還與群的階數密切相關。軌形記號同時通用於牆紙群（英语：wallpaper group）與帶群（英语：frieze group）。晶體群的${\displaystyle n}$僅能取${\displaystyle 1,2,3,4,6}$（晶體學限制定理），而若移除該限制，則${\displaystyle n}$可取任意正整數。七列軸向點群為：

赫－莫		熊夫利（英语：Schönflies notation）	軌形（英语：orbifold notation）	考克斯特（英语：Coxeter notation）	帶群（英语：Frieze group）	抽象結構 （群階（英语：Symmetry number））	例子	備註
${\displaystyle n}$偶	${\displaystyle n}$奇				（圓柱）
${\displaystyle n}$		${\displaystyle C_{n}}$	${\displaystyle nn}$	${\displaystyle [n]^{+}}$	p1	循環群${\displaystyle Z_{n}}$ （${\displaystyle n}$）		${\displaystyle n}$重旋轉對稱
${\displaystyle {\overline {2n}}}$	${\displaystyle {\overline {n}}}$	${\displaystyle S_{2n}}$	${\displaystyle n\times }$	${\displaystyle [2n^{+},2^{+}]}$	p11g	${\displaystyle Z_{2n}}$ （${\displaystyle 2n}$）		${\displaystyle n}$重旋轉反射對稱 勿與${\displaystyle 2n}$次抽象對稱群混淆
${\displaystyle n/\mathrm {m} }$	${\displaystyle {\overline {2n}}}$	${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$	${\displaystyle n^{*}}$	${\displaystyle [n^{+},2]}$	p11m	${\displaystyle Z_{n}\times Z_{2}}$ （${\displaystyle 2n}$）
${\displaystyle n\mathrm {mm} }$	${\displaystyle n\mathrm {m} }$	${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$	${\displaystyle {}^{*}nn}$	${\displaystyle [n]}$	p1m1	二面體群${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$ （${\displaystyle 2n}$）		稜錐對稱 生物學又稱雙輻射狀對稱
${\displaystyle n22}$	${\displaystyle n2}$	${\displaystyle D_{n}}$	${\displaystyle 22n}$	${\displaystyle [n,2]^{+}}$	p211	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$ （${\displaystyle 2n}$）		二面體對稱（英语：Dihedral symmetry in three dimensions）
${\displaystyle {\overline {2n}}2\mathrm {m} }$	${\displaystyle {\overline {n}}\mathrm {m} }$	${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$	${\displaystyle 2^{*}n}$	${\displaystyle [2n,2^{+}]}$	p2mg	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2n}}$ （${\displaystyle 4n}$）		反稜柱對稱
${\displaystyle n/\mathrm {mmm} }$	${\displaystyle {\overline {2n}}2\mathrm {m} }$	${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$	${\displaystyle {}^{*}22n}$	${\displaystyle [n,2]}$	p2mm	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}}$ （${\displaystyle 4n}$）		稜柱對稱

對奇數${\displaystyle n}$，有抽象群同構${\displaystyle Z_{2n}\cong Z_{n}\times Z_{2}}$及${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2n}\cong \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}}$。

群${\displaystyle C_{n}}$（包括平凡群${\displaystyle C_{1}}$）及${\displaystyle D_{n}}$有手性，其他則無手性。

術語水平（horizontal, h）與豎直（vertical, v）描述反射面的方向，以旋轉軸為豎直，故反射面水平即垂直於與旋轉軸，反射面豎直即包含為旋轉軸。相應下標用字母h和v。

最簡單的非平凡軸向群皆同構於抽象群${\displaystyle Z_{2}}$，但是${\displaystyle O(3)}$的不同子群（即不共軛）：

• ${\displaystyle C_{\mathrm {i} }}$（等同${\displaystyle S_{2}}$）——點反演對稱
• ${\displaystyle C_{2}}$——二重旋轉對稱
• ${\displaystyle C_{\mathrm {s} }}$（等同${\displaystyle C_{1\mathrm {h} }}$和${\displaystyle C_{1\mathrm {v} }}$）——反射對稱，生物學（英语：Symmetry in biology）又稱兩側對稱（英語：bilateral symmetry）。

七條圓柱形帶上，印有不同圖樣，使各自的對稱群等於七列軸向群中，取${\displaystyle n=6}$的情況。

第一組單軸循環群中，${\displaystyle C_{n}}$的階為${\displaystyle n}$（二維情況同樣適用），是由單一個角度為${\displaystyle 360^{\circ }/n}$的旋轉生成。若向此群加入一個與軸垂直的鏡面（的反射），則生成${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$，階為${\displaystyle 2n}$。若不加入與軸垂直的鏡面，但加入${\displaystyle n}$塊通過軸的鏡面，則得到${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$，階亦為${\displaystyle 2n}$。後者是正${\displaystyle n}$稜錐的對稱群。具${\displaystyle C_{n}}$或${\displaystyle D_{n}}$的典型物體是螺旋槳。

若上述兩種鏡面皆加入，則水平鏡面與豎直鏡面相交得到${\displaystyle n}$條軸，而鏡射的複合生成繞該些軸的${\displaystyle 180^{\circ }}$旋轉，故群不再單軸。新群的階為${\displaystyle 4n}$，記為${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$。其旋轉子群為${\displaystyle 2n}$個元素的二面體群${\displaystyle D_{n}}$，仍有與主（${\displaystyle n}$重）旋轉軸垂直的二重旋轉軸，但不再有鏡面。

注意，在二維，${\displaystyle D_{n}}$包括鏡射，但鏡射也可以視為將不辨前後之別的扁平物體翻轉得到。但在三維，鏡射與翻轉不再相同：群${\displaystyle D_{n}}$有翻轉但無鏡射。

餘下一類是${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$（或${\displaystyle D_{n\mathrm {v} }}$），其有包含主旋轉軸的豎直鏡面，但沒有水平鏡面，取而代之的操作是先水平鏡射，再旋轉${\displaystyle 180^{\circ }/n}$。${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$是正${\displaystyle n}$棱柱和雙稜錐的對稱群。${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$則是正${\displaystyle n}$角反棱柱的對稱群，亦是正${\displaystyle n}$方偏方面體的對稱群。最後，${\displaystyle D_{n}}$是稍稍扭過的正${\displaystyle n}$棱柱的對稱群。

${\displaystyle D_{2}}$及${\displaystyle D_{2\mathrm {h} }}$較特殊，因為並無特別的主旋轉軸：三條互相垂直的旋轉軸皆為二重軸。${\displaystyle D_{2}}$是下節所有多面體對稱群的子群，而${\displaystyle D_{2\mathrm {h} }}$則是多面體群${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$與${\displaystyle O_{\mathrm {h} }}$的子群。${\displaystyle D_{2}}$可以作為下列化學品的對稱群：

• 刀豆蛋白A等同四聚體（英语：homotetramer）、
• 四個相同具手性配位基（英语：chiral ligand）的四面體形配合物、
• 四個同手性氟氯甲基的四(氟氯甲基)甲烷。

${\displaystyle D_{2}}$的元素，與利普希茨四元數（英语：Lipschitz quaternion）的可逆元表示的旋轉，有一對二的關係。

群${\displaystyle S_{n}}$由「先關於水平面作鏡射，再旋轉${\displaystyle 360^{\circ }/n}$」生成。對於奇數${\displaystyle n}$，是等於前述兩個操作分開執行，生成的群${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$，階為${\displaystyle 2n}$，故不必用到記號${\displaystyle S_{n}}$。然而，對偶數${\displaystyle n}$，兩個群有差異，且${\displaystyle S_{n}}$僅有${\displaystyle n}$個元素。與${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$類似，其包含若干瑕旋轉，但不包含對應的旋轉。

七列軸向群的元素僅有下列四對重複：

• ${\displaystyle C_{1\mathrm {h} }}$及${\displaystyle C_{1\mathrm {v} }}$：階數為${\displaystyle 2}$，由獨一個鏡射生成。又稱${\displaystyle C_{\mathrm {s} }}$。
• ${\displaystyle D_{1}}$與${\displaystyle C_{2}}$：階數為${\displaystyle 2}$，由獨一個${\displaystyle 180^{\circ }}$旋轉生成。
• ${\displaystyle D_{1\mathrm {h} }}$與${\displaystyle C_{2\mathrm {v} }}$：階數為${\displaystyle 4}$，由一個鏡射與鏡面上一條軸的${\displaystyle 180^{\circ }}$旋轉生成。
• ${\displaystyle D_{1\mathrm {d} }}$與${\displaystyle C_{2\mathrm {h} }}$：階數為${\displaystyle 4}$，由一個鏡射與一條垂直於鏡面的軸的${\displaystyle 180^{\circ }}$旋轉生成。

${\displaystyle S_{2}}$是由獨一個點反演生成的${\displaystyle 2}$階群，又記為${\displaystyle C_{\mathrm {i} }}$。

此處「重複」是指作為${\displaystyle O(3)}$的子群共軛，是強於作為抽象群代數同構的條件。例如，前一種意義下，有三個不同的${\displaystyle 2}$階群，但祇有一個${\displaystyle 2}$階抽象群。類似，也有${\displaystyle S_{2n}}$與${\displaystyle Z_{2n}}$抽象同構。

群的構造亦可描述如下：

• ${\displaystyle C_{n}}$是由獨一個元素生成，生成元亦稱為${\displaystyle C_{n}}$，是繞軸轉${\displaystyle 2\pi /n}$。群的元素是：${\displaystyle E}$（單位元），${\displaystyle C_{n},C_{n}^{2},\ldots ,C_{n}^{n-1}}$，對應旋轉角${\displaystyle 0,\ 2\pi /n,\ 4\pi /n,\ \ldots ,\ 2(n-1)\pi /n}$。該軸視為豎直軸。
• ${\displaystyle S_{2n}}$由獨一個元素${\displaystyle C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }}$生成，其中${\displaystyle \sigma _{\mathrm {h} }}$是水平面的鏡射。群的元素是${\displaystyle C_{n}}$的元素，另加${\displaystyle C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{2n}^{3}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{2n}^{5}\sigma _{\mathrm {h} },\ \ldots ,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma _{\mathrm {h} }}$。
• ${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$由${\displaystyle C_{n}}$與反射${\displaystyle \sigma _{\mathrm {h} }}$生成。群的元素是${\displaystyle C_{n}}$的元素，另加${\displaystyle \sigma _{\mathrm {h} },\ C_{n}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{n}^{2}\sigma _{\mathrm {h} },\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}\sigma _{\mathrm {h} }}$。
• ${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$由${\displaystyle C_{n}}$與豎直鏡面的反射${\displaystyle \sigma _{\mathrm {v} }}$生成。群的元素是${\displaystyle C_{n}}$的元素，另加${\displaystyle \sigma _{\mathrm {v} },\ C_{n}\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{n}^{2}\sigma _{\mathrm {v} },\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}\sigma _{\mathrm {v} }}$。
• ${\displaystyle D_{n}}$是由${\displaystyle C_{n}}$與繞水平面上某軸${\displaystyle 180^{\circ }}$的旋轉${\displaystyle U=\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} }}$，其元素是${\displaystyle C_{n}}$的元素，另加${\displaystyle U,\ C_{n}U,\ C_{n}^{2}U,\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}U}$。
• ${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$由元素${\displaystyle C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }}$與${\displaystyle \sigma _{\mathrm {v} }}$生成。元素是${\displaystyle C_{n}}$的元素，加上${\displaystyle S_{2n}}$與${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$的額外元素，再加上${\displaystyle C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{2n}^{3}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{2n}^{5}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ \ldots ,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} }}$。
• ${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$由元素${\displaystyle C_{n},\ \sigma _{\mathrm {h} },\ \sigma _{\mathrm {v} }}$生成。其元素為${\displaystyle C_{n}}$的元素，再加上${\displaystyle C_{n\mathrm {h} },\ C_{n\mathrm {v} },\ D_{n}}$的所有額外元素。

取${\displaystyle n}$趨向${\displaystyle \infty }$的極限，則得到連續軸向群（或無窮階軸向群）：

赫－莫	熊夫利（英语：Schönflies notation）	軌形（英语：orbifold notation）	考克斯特（英语：Coxeter notation）		是何序列的極限	抽象群
${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle C_{\infty }}$	${\displaystyle \infty \infty }$	${\displaystyle [\infty ]^{+}}$		${\displaystyle C_{n}}$	${\displaystyle Z_{\infty }}$	${\displaystyle SO(2)}$
${\displaystyle {\overline {\infty }},\ \infty /\mathrm {m} }$	${\displaystyle C_{\infty \mathrm {h} }}$	${\displaystyle \infty ^{*}}$	${\displaystyle [2,\infty ^{+}]}$		${\displaystyle C_{n\mathrm {h} },\ S_{2n}}$	${\displaystyle Z_{2}\times Z_{\infty }}$	${\displaystyle Z_{2}\times SO(2)}$
${\displaystyle \infty \mathrm {m} }$	${\displaystyle C_{\infty \mathrm {v} }}$	${\displaystyle {}^{*}\infty \infty }$	${\displaystyle [\infty ]}$		${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{\infty }}$	${\displaystyle O(2)}$
${\displaystyle \infty 2}$	${\displaystyle D_{\infty }}$	${\displaystyle 22\infty }$	${\displaystyle [2,\infty ]^{+}}$		${\displaystyle D_{n}}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{\infty }}$	${\displaystyle O(2)}$
${\displaystyle {\overline {\infty }}\mathrm {m} ,\ \infty /\mathrm {mm} }$	${\displaystyle D_{\infty \mathrm {h} }}$	${\displaystyle {}^{*}22\infty }$	${\displaystyle [2,\infty ]}$		${\displaystyle D_{n\mathrm {h} },\ D_{n\mathrm {d} }}$	${\displaystyle Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{\infty }}$	${\displaystyle Z_{2}\times O(2)}$

七個其他點群

餘下七個點群又稱為高度對稱或多面體對稱，因為有多於一條旋轉軸的重數大於二。下表中，${\displaystyle C_{n}}$表示一條${\displaystyle n}$重軸，即旋轉角為${\displaystyle 360^{\circ }/n}$，${\displaystyle S_{n}}$則表示同樣旋轉角的瑕旋轉軸。所用記號，首先是字母表示的熊夫利記號（英语：Schönflies notation），然後括號內為軌形記號（英语：orbifold notation），然後為考克斯特記號（英语：Coxeter notation）及圖，最後是赫爾曼–莫甘記號及倘有的簡寫。

${\displaystyle T,\ (332)}$ ${\displaystyle [3,3]^{+}}$（） ${\displaystyle 23}$ 階為${\displaystyle 12}$	手性四面體對稱（英语：tetrahedral symmetry）	有四條${\displaystyle C_{3}}$軸，是立方體的四條體對角線，也可以看成正四面體四個頂點分別到對面中心的連線。另有三條${\displaystyle C_{2}}$軸，是立方體三組對面的中心連線，也是正四面體三組對邊的中點連線。${\displaystyle T}$同構交錯群${\displaystyle A_{4}}$，即四個元素的偶排列的群。本群為正四面體的旋轉群，也是${\displaystyle T_{\mathrm {d} },\ T_{\mathrm {h} }}$及以下兩種八面體對稱群的正規子群。本群的${\displaystyle 12}$個元素，與赫維茲四元數（英语：Hurwitz quaternion）的${\displaystyle 24}$個可逆元，有一對二的關係，而後者又稱為二元四面體群（英语：binary tetrahedral group）。
${\displaystyle T_{\mathrm {d} },\ (^{*}332)}$ ${\displaystyle [3,3]}$（） ${\displaystyle {\overline {4}}3\mathrm {m} }$ 階為${\displaystyle 24}$	全四面體對稱	本群與${\displaystyle T}$有相同的旋轉軸，但另有六塊鏡面，每塊經過立方體的兩條不在同一面的平行邊，也是正四面體六條稜各自的垂直平分面。每塊鏡面包含一條${\displaystyle C_{2}}$軸，兩條${\displaystyle C_{3}}$軸。原${\displaystyle C_{2}}$軸，加入鏡射後，變成${\displaystyle S_{4}}$軸。本群是正四面體的對稱群。${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$同構於${\displaystyle 4}$個元素的對稱群${\displaystyle S_{4}}$，因為${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$的元素，會將${\displaystyle 4}$條${\displaystyle C_{3}}$軸重新排列，而元素與此四條軸的排列一一對應。若一件物體繞其中一條三重軸，有${\displaystyle C_{3\mathrm {v} }}$對稱，則在${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$作用下，軌道有四件同樣的物體，${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$就對應此四件物體的排列的集合。${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$是${\displaystyle O_{\mathrm {h} }}$的正規子群。
${\displaystyle T_{\mathrm {h} },\ (3^{*}2)}$ ${\displaystyle [3^{+},4]}$（） ${\displaystyle 2/\mathrm {m} {\overline {3}},\ \mathrm {m} {\overline {3}}}$ 階為${\displaystyle 24}$	五角十二面體對稱	排球的縫線有${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$。（立方五角十二面體） 本群與${\displaystyle T}$的旋轉軸相同，另有與立方體的面平行的鏡面。四條${\displaystyle C_{3}}$軸變成${\displaystyle S_{6}}$軸，並有關於中心的反演對稱。${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$同構於${\displaystyle A_{4}\times Z_{2}}$（因為${\displaystyle T}$與${\displaystyle C_{\mathrm {i} }}$皆是正規子群），而與對稱群${\displaystyle S_{4}}$不同構。若在立方體的每個面上，各畫一條線段，將該面分成兩個全等的長方形，且使得新增的線段不會相交於稜上，則所得的圖形的對稱群為${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$。該些對稱是：立面體四條體對角線的偶排列，及該等偶排列與中心反演的複合。本群亦是五角十二面體的對稱群。五角十二面體與前述的（面經分割的）立方體類似，但其中每個長方形換成有四邊等長，具一條對稱軸的五角形，而五角形餘下一條不同長度的邊，對應立方體的面上新增的線段。換言之，可以想像立方體的面在分割線隆起，並在該處變窄（即分割線變短）。本群為全二十面體對稱群的子群（但不正規），且是作為等距變換群的子群，而不僅是抽象子群。全二十面體對稱群有十條三重軸，而本群有其中四條。本群亦為${\displaystyle O_{\mathrm {h} }}$的正規子群。雖然記作${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$，本群並非任何四面體（英語：Tetrahedron）的對稱群。
${\displaystyle O,\ (432)}$ ${\displaystyle [4,3]^{+}}$（） ${\displaystyle 432}$ 階為${\displaystyle 24}$	手性八面體對稱（英语：octahedral symmetry）	本群與${\displaystyle T}$類似，但各${\displaystyle C_{2}}$軸現改成${\displaystyle C_{4}}$軸，並有額外六條${\displaystyle C_{2}}$軸，是過正方體中心與（六對）稜中點的直線。本群與${\displaystyle S_{4}}$同構，因為其元素與四條三重軸的${\displaystyle 24}$個排列一一對應，與${\displaystyle T}$類似。若物體繞某條三重軸有${\displaystyle D_{3}}$對稱，則在${\displaystyle O}$作用下，軌道有四件同樣的物體，而${\displaystyle O}$的元素也一一對應此四件物體的排列。本群是立方體與正八面體的旋轉群。若用四元數表示旋轉，則${\displaystyle O}$對應${\displaystyle 24}$個赫維茲四元數（英语：Hurwitz quaternion）的可逆元及範數平方為${\displaystyle 2}$的${\displaystyle 24}$個利普希茨四元數（英语：Lipschitz quaternion），各除以${\displaystyle {\sqrt {2}}}$。與${\displaystyle T}$類似，此為一對二的關係。
${\displaystyle O_{\mathrm {h} },\ (^{*}432)}$ ${\displaystyle [4,3]}$（） ${\displaystyle 4/\mathrm {m} {\overline {3}}2/\mathrm {m} ,\ \mathrm {m} {\overline {3}}\mathrm {m} }$ 階為${\displaystyle 48}$	全八面體對稱	本群與${\displaystyle O}$有同樣的旋轉軸，但也有鏡射，有齊${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$與${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$的所有鏡面。本群同構於${\displaystyle S_{4}\times Z_{2}}$（因為${\displaystyle O}$與${\displaystyle C_{\mathrm {i} }}$皆為正規子群），且是立方體與正八面體的對稱群。見八面體對稱（英语：octahedral symmetry）。
${\displaystyle I,(532)}$ ${\displaystyle [5,3]^{+}}$（） ${\displaystyle 532}$ 階為${\displaystyle 60}$	手性二十面體對稱（英语：icosahedral symmetry）	本群為正二十面體與正十二面體的旋轉群，亦是全正二十面體對稱群${\displaystyle I_{\mathrm {h} }}$的指標（英语：index of a subgroup）${\displaystyle 2}$正規子群。本群的子群中，有十個${\displaystyle D_{3}}$與六個${\displaystyle D_{5}}$（即稜柱或反稜柱的旋轉群）。本群也包含五個${\displaystyle T}$子群（見五複合正四面體）。抽象而言，${\displaystyle I}$同構於${\displaystyle 5}$次交錯群${\displaystyle A_{5}}$，因為其元素作用在五個${\displaystyle T}$子群上，與其偶排列一一對應。等價地，可以考慮${\displaystyle I}$對前述五複合正四面體的五個單體的作用。以四元數表示旋轉，則${\displaystyle I}$對應${\displaystyle 120}$個二十數（英语：icosian）可逆元。與先前一樣，此為一對二的關係。
${\displaystyle I_{\mathrm {h} },\ (^{*}532)}$ ${\displaystyle [5,3]}$（） ${\displaystyle {\overline {53}}2/\mathrm {m} ,\ {\overline {53}}\mathrm {m} }$ 階為${\displaystyle 120}$	全二十面體對稱	本群為正二十面體與正十二面體的對稱群。${\displaystyle I_{\mathrm {h} }}$與抽象群${\displaystyle A_{5}\times Z_{2}}$同構，因為${\displaystyle I}$與${\displaystyle C_{\mathrm {i} }}$皆是正規子群。本群的子群中，有十個${\displaystyle D_{3\mathrm {d} }}$、六個${\displaystyle D_{5\mathrm {d} }}$（反稜柱的對稱）、五個${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$。

相關的連續群有：

• 旋轉群${\displaystyle SO(3)}$，即所有旋轉的群，亦記作${\displaystyle \infty \infty }$或${\displaystyle K}$。
• 正交群${\displaystyle O(3)}$，所有旋轉和鏡射生成的群，亦記作${\displaystyle \infty \infty \mathrm {m} }$或${\displaystyle K_{\mathrm {h} }}$。

如無窮等距變換群一節所言，任何物理實體，若有${\displaystyle K}$對稱性，則必有${\displaystyle K_{\mathrm {h} }}$對稱性。

軌形記號與階

若已知群的軌形記號，則可計算其階數，等於${\displaystyle 2}$除以軌形（英语：orbifold）的歐拉示性數。軌形的歐拉示性數是將${\displaystyle 2}$減去軌形記號中，各符號特徵數的總和：

• 無${\displaystyle {}^{*}}$或在${\displaystyle {}^{*}}$之前的${\displaystyle n}$，值為${\displaystyle (n-1)/n}$；
• 在${\displaystyle {}^{*}}$之後的${\displaystyle n}$，值為${\displaystyle (n-1)/(2n)}$；
• ${\displaystyle {}^{*}}$與${\displaystyle \times }$計為${\displaystyle 1}$。

此公式同樣適用於壁紙群（英语：wallpaper group）與帶群（英语：frieze group）：對該等群，特徵數之和為${\displaystyle 2}$，所以階數是無窮大。亦見壁紙群（英语：wallpaper group）條目。

反射考克斯特群

三維考克斯特群的基本域

${\displaystyle A_{3},\ [3,3],}$	${\displaystyle B_{3},\ [4,3],}$	${\displaystyle H_{3},\ [5,3],}$
${\displaystyle 6}$塊鏡	${\displaystyle 3+6}$塊鏡	${\displaystyle 15}$塊鏡
${\displaystyle 2A_{1},\ [1,2],}$	${\displaystyle 3A_{1},\ [2,2],}$	${\displaystyle A_{1}A_{2},\ [2,3],}$
${\displaystyle 2}$塊鏡	${\displaystyle 3}$塊鏡	${\displaystyle 4}$塊鏡
${\displaystyle A_{1},\ [1],}$	${\displaystyle 2A_{1},\ [2],}$	${\displaystyle A_{2},\ [3],}$
${\displaystyle 1}$塊鏡	${\displaystyle 2}$塊鏡	${\displaystyle 3}$塊鏡

三維反射點群又稱為考克斯特群，能以考克斯特－鄧肯圖（英语：Coxeter-Dynkin diagram）表示，是交於同一個中心點的若干鏡面反射生成的群。該些鏡面將球面分割成球面三角形區域。若考克斯特群能以少於三個鏡射生成，則該球面三角形退化，變成球面二角形（英语：lune (mathematics)）或半球面。在考克斯特記號（英语：Coxeter notation），該些群是正四面體對稱（英语：tetrahedral symmetry）${\displaystyle [3,3]}$、正八面體對稱（英语：octahedral symmetry）${\displaystyle [4,3]}$、正二十面體對稱（英语：icosahedral symmetry）${\displaystyle [5,3]}$、二面體對稱（英语：Dihedral symmetry in three dimensions）${\displaystyle [p,2]}$。不可約群的鏡面數是${\displaystyle nh/2}$，其中${\displaystyle h}$是群的考克斯特數（英语：Coxeter number），而${\displaystyle n}$是反射方向的秩（維數），等於符號的下標。^[5]

熊夫利記號（英语：Schönflies notation）	考克斯特－ 鄧肯圖標籤	考克斯特記號（英语：Coxeter notation）		群階	考克斯特數（英语：Coxeter number） （${\displaystyle h}$）	鏡數 （${\displaystyle m}$）
多面體群（英语：Polyhedral group）
${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle A_{3}}$		${\displaystyle [3,3]}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 6}$
${\displaystyle O_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle B_{3}}$		${\displaystyle [4,3]}$	${\displaystyle 48}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 3+6}$
${\displaystyle I_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle H_{3}}$		${\displaystyle [5,3]}$	${\displaystyle 120}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 15}$
二面體群（英语：Dihedral symmetry in three dimensions）
${\displaystyle D_{1\mathrm {h} }}$	${\displaystyle 2A_{1}}$		${\displaystyle [1,2]}$	${\displaystyle 4}$		${\displaystyle 1+1}$
${\displaystyle D_{2\mathrm {h} }}$	${\displaystyle 3A_{1}}$		${\displaystyle [2,2]}$	${\displaystyle 8}$		${\displaystyle 2+1}$
${\displaystyle D_{p\mathrm {h} }}$	${\displaystyle I_{2}(p)A_{1}}$		${\displaystyle [p,2]}$	${\displaystyle 4p}$		${\displaystyle p+1}$
循環群（英语：Cyclic symmetry in three dimensions）
${\displaystyle C_{2\mathrm {v} }}$	${\displaystyle 2A_{1}}$		${\displaystyle [2]}$	${\displaystyle 4}$		${\displaystyle 2}$
${\displaystyle C_{p\mathrm {v} }}$	${\displaystyle I_{2}(p)}$		${\displaystyle [p]}$	${\displaystyle 2p}$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle p}$
單鏡面
${\displaystyle C_{1\mathrm {v} }}$	${\displaystyle A_{1}}$		${\displaystyle [\ ]}$	${\displaystyle 2}$		${\displaystyle 1}$

旋轉群

有限旋轉群，即${\displaystyle SO(3)}$的有限子群，僅有：循環群${\displaystyle C_{n}}$（正稜錐的旋轉群）、二面體群${\displaystyle D_{n}}$（正稜柱或雙錐體的旋轉群）、${\displaystyle T}$（正四面體的旋轉群）、${\displaystyle O}$（正八面體或正六面體的旋轉群）、${\displaystyle I}$（正二十面體或正十二面體的旋轉群）。

特別地，二面體群${\displaystyle D_{3}}$、${\displaystyle D_{4}}$等，是平面正多邊形嵌入到三維空間後的旋轉群。此種薄片也可以視為退化的正稜柱，或稱為二面體，二面體群因而得名。

• 若物體的對稱類為${\displaystyle C_{n},\ C_{n\mathrm {h} },\ C_{n\mathrm {v} },\ S_{2n}}$，則旋轉群為${\displaystyle C_{n}}$。
• 若物體的對稱類為${\displaystyle D_{n},\ D_{n\mathrm {h} },\ D_{n\mathrm {d} }}$，則旋轉群為${\displaystyle D_{n}}$。
• 若物體的對稱類屬其他七種多面體對稱，則旋轉群是相應無下標的群，即${\displaystyle T,\ O,\ I}$之一。

當且僅當物體有手性（英语：chirality (mathematics)）時，其旋轉群等於整個對稱群。換言之，手性物體就是對稱群在旋轉群列表中的物體。

用熊夫利記號（英语：Schönflies notation）、考克斯特記號（英语：Coxeter notation），及括號內的軌形記號（英语：orbifold notation）表示，旋轉群是：

反射（英语：Reflectional symmetry）	反射/旋轉	瑕旋轉	旋轉
${\displaystyle C_{n\mathrm {v} },\ [n],\ (^{*}nn)}$	${\displaystyle C_{n\mathrm {h} },\ [n^{+},2],\ (n^{*})}$	${\displaystyle S_{2n},\ [2n^{+},2^{+}],\ (n\times )}$	${\displaystyle C_{n},\ [n]^{+},\ (nn)}$
${\displaystyle D_{n\mathrm {h} },\ [2,n],\ (^{*}n22)}$	${\displaystyle D_{n\mathrm {d} },\ [2^{+},2n],\ (2^{*}n)}$		${\displaystyle D_{n},\ [2,n]^{+},(n22)}$
${\displaystyle T_{\mathrm {d} },\ [3,3],\ (^{*}332)}$			${\displaystyle T,\ [3,3]^{+},\ (332)}$
${\displaystyle O_{\mathrm {h} },\ [4,3],\ (^{*}432)}$	${\displaystyle T_{\mathrm {h} },\ [3^{+},4],\ (3^{*}2)}$		${\displaystyle O,\ [4,3]^{+},\ (432)}$
${\displaystyle I_{\mathrm {h} },\ [5,3],\ (^{*}532)}$			${\displaystyle I,\ [5,3]^{+},\ (532)}$

旋轉群與其他群的對應

下列群有點反演：

• ${\displaystyle n}$為偶數時，${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$及${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$、
• ${\displaystyle n}$為奇數時，${\displaystyle S_{2n}}$及${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$（特別地，${\displaystyle S_{2}=C_{\mathrm {i} }}$是僅由點反演生成的群，另有${\displaystyle D_{1\mathrm {d} }=C_{2\mathrm {h} }}$屬於前項）、
• ${\displaystyle T_{\mathrm {h} },\ O_{\mathrm {h} },\ I_{\mathrm {h} }}$。

如上文所述，此種群與所有旋轉群之間，有一一對應：

• ${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$（${\displaystyle n}$為偶）及${\displaystyle S_{2n}}$（${\displaystyle n}$為奇）對應${\displaystyle C_{n}}$。
• ${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$（${\displaystyle n}$為偶）及${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$（${\displaystyle n}$為奇）對應${\displaystyle D_{n}}$。
• ${\displaystyle T_{\mathrm {h} },\ O_{\mathrm {h} },\ I_{\mathrm {h} }}$分別對應${\displaystyle T,O,I}$。

下列群具有間接（不保定向）的等距變換，但無點反演：

• ${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$、
• ${\displaystyle n}$為奇數時，${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$及${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$、
• ${\displaystyle n}$為偶數時，${\displaystyle S_{2n}}$及${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$、
• ${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$。

上述各群分別對應一個旋轉群${\displaystyle H}$及其指標${\displaystyle 2}$的子群${\displaystyle L}$，使得該群是由${\displaystyle H}$的元素，加上${\displaystyle H\setminus L}$經點反演後的元素得到，如上文所述：

• ${\displaystyle C_{n}}$是${\displaystyle D_{n}}$的指標${\displaystyle 2}$子群，對應${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$。
• ${\displaystyle C_{n}}$是${\displaystyle C_{2n}}$的指標${\displaystyle 2}$子群，${\displaystyle n}$為奇時對應${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$，${\displaystyle n}$為偶時則對應${\displaystyle S_{2n}}$。
• ${\displaystyle D_{n}}$是${\displaystyle D_{2n}}$的指標${\displaystyle 2}$子群，${\displaystyle n}$為奇時對應${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$，${\displaystyle n}$為偶時對應${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$。
• ${\displaystyle T}$是${\displaystyle O}$的指標${\displaystyle 2}$子群，對應${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$。

極大對稱群

離散點群中，${\displaystyle O_{\mathrm {h} }}$和${\displaystyle I_{\mathrm {h} }}$並非任何其他離散點群的真子群，故謂極大。其公共子群中，最大的是${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$。由此，可以將二重旋轉對稱改成四重而得${\displaystyle O_{\mathrm {h} }}$，亦可加入五重旋轉對稱而得${\displaystyle I_{\mathrm {h} }}$。

類似地，有兩個晶體學點群並非任何其他晶體學點體的真子群：${\displaystyle O_{\mathrm {h} }}$與${\displaystyle D_{6\mathrm {h} }}$。視乎方向，其極大公共子群為${\displaystyle D_{3\mathrm {d} }}$或${\displaystyle D_{2\mathrm {h} }}$。

按抽象群同構分類

下列若干個表，將前述諸群，按抽象群同構分類。

最小幾個不能表示成三維對稱群的抽象群為：${\displaystyle 8}$階的四元群、${\displaystyle 9}$階的${\displaystyle Z_{3}\times Z_{3}}$、${\displaystyle 12}$階的雙循環群（英语：dicyclic group）${\displaystyle \mathrm {Dic} _{3}}$，以及十四個${\displaystyle 16}$階群的其中十個。

下表中，「${\displaystyle 2}$階元素數」一列，數算${\displaystyle C_{2},C_{\mathrm {i} },C_{\mathrm {s} }}$三類等距變換子群的總數，是有助分辨抽象群類型的特徵數，而該總數之內，各類等距變換子群的數目，則有助辨別屬同一類抽象群的不同等距變換群。

循環群

${\displaystyle n}$重旋轉對稱的對稱群為${\displaystyle C_{n}}$。其抽象同構類是循環群${\displaystyle Z_{n}}$，亦可記作${\displaystyle C_{n}}$。然而，另有兩列對稱群同構於循環群：

• 對於偶階數${\displaystyle 2n}$，瑕旋轉群${\displaystyle S_{2n}}$（熊夫利記號），生成元為繞某軸${\displaystyle 180^{\circ }/n}$的旋轉後關於與軸垂直的鏡面反射。${\displaystyle S_{2}}$也記為${\displaystyle C_{\mathrm {i} }}$，由點反演生成。
• 對於奇數${\displaystyle n}$，有階數${\displaystyle 2n}$的群${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$。該群有一條${\displaystyle n}$重旋轉軸，另有與該軸垂直的鏡射。換言之，群由兩種變換生成，即繞軸${\displaystyle 360^{\circ }/n}$的旋轉，及該鏡射。${\displaystyle C_{1\mathrm {h} }}$又可記作${\displaystyle C_{\mathrm {s} }}$，僅由一個鏡射生成。

故可總結出下表：（十個循環晶體學點群以粗體標出，其滿足晶體學限制。）

階數	等距變換群	抽象群	${\displaystyle 2}$階元素數	環圖
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C_{1}}}}$	${\displaystyle Z_{1}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C_{2},C_{\mathrm {i} },C_{\mathrm {s} }}}}$	${\displaystyle Z_{2}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C_{3}}}}$	${\displaystyle Z_{3}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C_{4},S_{4}}}}$	${\displaystyle Z_{4}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle C_{5}}$	${\displaystyle Z_{5}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C_{6},S_{6},C_{3\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle Z_{6}\cong Z_{3}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle C_{7}}$	${\displaystyle Z_{7}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle C_{8},S_{8}}$	${\displaystyle Z_{8}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle C_{9}}$	${\displaystyle Z_{9}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle C_{10},S_{10},C_{5\mathrm {h} }}$	${\displaystyle Z_{10}\cong Z_{5}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \vdots }$

二面群

二維二面體群${\displaystyle D_{n}}$有旋轉和反射，但二維反射亦可視為在三維空間中，將不區分正反面的薄片翻轉。

然而在三維，反射與翻轉須作區分。以${\displaystyle D_{n}}$表示的對稱群，有${\displaystyle n}$條二重軸，與${\displaystyle n}$重的主旋轉軸垂直，但無反射。${\displaystyle D_{n}}$是正${\displaystyle n}$棱柱、正雙${\displaystyle n}$角錐、正${\displaystyle n}$角反棱柱、${\displaystyle n}$方偏方面體的旋轉群。若略作改動，如在每面加上相同的手性（英语：chirality (mathematics)）標記，或稍為改變形狀，則可以使物體具有手性，從而令${\displaystyle D_{n}}$為其全對稱群。

相應的抽象群類型是二面體群${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$，亦可照樣記為${\displaystyle D_{n}}$。但除${\displaystyle D_{n}}$外，還有三個無窮序列的對稱群，同構於二面體群：

• ${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$，階為${\displaystyle 2n}$，是正${\displaystyle n}$稜錐的對稱群；
• ${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$，階為${\displaystyle 4n}$，是正${\displaystyle n}$角反稜柱的對稱群；
• 對應奇數${\displaystyle n}$的群${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$，其階為${\displaystyle 4n}$。當${\displaystyle n=1}$時，等同${\displaystyle D_{2}}$，已於上文討論，故此處可取${\displaystyle n\geq 3}$。

注意有以下同構：

${\displaystyle \mathrm {Dih} _{4n+2}\cong \mathrm {Dih} _{2n+1}\times Z_{2}.}$

於是可以整理出下表：（有${\displaystyle 12}$個晶體學點群用粗體標示，另${\displaystyle D_{1\mathrm {d} }}$寫成等價的${\displaystyle C_{2\mathrm {h} }}$）

階數	等距變換群	抽象群	${\displaystyle 2}$階元素數	環圖
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle {\boldsymbol {D_{2},C_{2\mathrm {v} },C_{2\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}\cong Z_{2}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle {\boldsymbol {D_{3},C_{3\mathrm {v} }}}}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{3}}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle {\boldsymbol {D_{4},C_{4\mathrm {v} },D_{2\mathrm {d} }}}}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{4}}$	${\displaystyle 5}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle D_{5},C_{5\mathrm {v} }}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{5}}$	${\displaystyle 5}$
${\displaystyle 12}$	${\displaystyle {\boldsymbol {D_{6},C_{6\mathrm {v} },D_{3\mathrm {d} },D_{3\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{6}\cong \mathrm {Dih} _{3}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 7}$
${\displaystyle 14}$	${\displaystyle D_{7},C_{7\mathrm {v} }}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{7}}$	${\displaystyle 7}$
${\displaystyle 16}$	${\displaystyle D_{8},C_{8\mathrm {v} },D_{4\mathrm {d} }}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{8}}$	${\displaystyle 9}$
${\displaystyle 18}$	${\displaystyle D_{9},C_{9\mathrm {v} }}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{9}}$	${\displaystyle 9}$
${\displaystyle 20}$	${\displaystyle D_{10},C_{10\mathrm {v} },D_{5\mathrm {h} },D_{5\mathrm {d} }}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{10}\cong \mathrm {Dih} _{5}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 11}$
${\displaystyle \vdots }$

其他

${\displaystyle C_{2n\mathrm {h} }}$的階數為${\displaystyle 4n}$，同構於抽象群${\displaystyle Z_{2n}\times Z_{2}}$。在${\displaystyle n=1}$時，${\displaystyle C_{2n\mathrm {h} }}$等同${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}}$，已於上小節討論，故本小節僅考慮${\displaystyle n\geq 2}$的情況。

此系列的群可以整理成下表：（其中兩個晶體學點群以粗體強調）

階數	等距變換群	抽象群	${\displaystyle 2}$階元素數	環圖
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C_{4\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle Z_{4}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 12}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C_{6\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle Z_{6}\times Z_{2}\cong Z_{3}\times Z_{2}^{2}\cong Z_{3}\times \mathrm {Dih} _{2}}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 16}$	${\displaystyle C_{8\mathrm {h} }}$	${\displaystyle Z_{8}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 20}$	${\displaystyle C_{10\mathrm {h} }}$	${\displaystyle Z_{10}\times Z_{2}\cong Z_{5}\times Z_{2}^{2}\cong Z_{5}\times \mathrm {Dih} _{2}}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$的階數為${\displaystyle 4n}$，同構於抽象群${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}}$。對於奇數${\displaystyle n}$，已於上小節討論，故此處僅考慮階數為${\displaystyle 8n}$的群${\displaystyle D_{2n\mathrm {h} }}$，其抽象群類別為${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2n}\times Z_{2}}$。（${\displaystyle n\geq 1}$）

此系列的群可以整理成下表：（其中三個晶體學點群以粗體強調）

階數	等距變換群	抽象群	${\displaystyle 2}$階元素數	環圖
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle {\boldsymbol {D_{2\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}\times Z_{2}\cong Z_{2}^{3}}$	${\displaystyle 7}$
${\displaystyle 16}$	${\displaystyle {\boldsymbol {D_{4\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{4}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 11}$
${\displaystyle 24}$	${\displaystyle {\boldsymbol {D_{6\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{6}\times Z_{2}\cong \mathrm {Dih} _{3}\times Z_{2}^{2}}$	${\displaystyle 15}$
${\displaystyle 32}$	${\displaystyle D_{8\mathrm {h} }}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{8}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 19}$
${\displaystyle \vdots }$

餘下七個多面體群是：（其中五個晶體學點群以粗體強調）

階數	等距變換群	抽象群	${\displaystyle 2}$階元素數	環圖
${\displaystyle 12}$	${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 24}$	${\displaystyle {\boldsymbol {T_{\mathrm {d} },O}}}$	${\displaystyle \definecolor {linkblue}{rgb}{0.0235,0.2706,0.6784}\color {linkblue}{S_{4}}}$	${\displaystyle 9}$
${\displaystyle 24}$	${\displaystyle {\boldsymbol {T_{\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle A_{4}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 7}$
${\displaystyle 48}$	${\displaystyle {\boldsymbol {O_{\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle S_{4}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 19}$
${\displaystyle 60}$	${\displaystyle I}$	${\displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle 15}$
${\displaystyle 120}$	${\displaystyle I_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle A_{5}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 31}$

基本域

四角化菱形三十面體

二十面體對稱（英语：icosahedral symmetry）的反射面與單位球面交於若干大圆，將球面分成${\displaystyle 120}$個球面直角三角形的基本域。

點群的基本域是錐體。若物體有給定的對稱群，則指明物體的某一個基本域變換至哪個基本域，就足以確定該變換。另外，僅從該件物體在一個基本域內的形狀，就足以確定整件物體的形狀。若物體是曲面，則可由其被一個基本域截得的部分確定，該部分亦是（有邊界的）曲面，下稱「基本面」，延伸至基本域的徑向邊界面（即錐體的側面）。但是，若基本面與其他基本面（即基本面在其他基本域的複製），兩者的邊界未能貼合，則需要添加徑向的面或其他曲面，以使各基本面連接成一個整體。若基本面以反射面為界，則必然貼合。

基本面可以取為任意平面被基本域所截的部分，如此得到一個多面體，具有給定的對稱群，如四角化菱形三十面體的每一個面，即為全二十面體對稱（英语：icosahedral symmetry）的一個基本面。若調整該面的方向，則有時可以使相鄰的若干個基本面共面，而合併成同一個面，得到具同樣對稱群的其他多面體，如正十二面體和正二十面體。若基本面的邊界能夠貼合，且基本面的法向量是在基本域內，則所得的多面體為凸多面體。

基本面也可以取為其他形狀，不必在同一平面內，例如可取為若干個不同平面的區域連接而成的曲面。

二元多面體群

考慮三維旋量群${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$到旋轉群${\displaystyle SO(3)}$的二重覆疊投映。由於${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$已是單連通，故為${\displaystyle SO(3)}$僅有的非平凡連通覆疊。

由子群的對應（英语：Correspondence theorem (group theory)），${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$與${\displaystyle SO(3)}$的子群（即旋轉點群）之間有伽罗瓦连接：${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$子群投映到${\displaystyle SO(3)}$，必為旋轉子群，而反之，旋轉子群的原像亦必為是${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$的子群。注意${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$可以等價描述成特殊酉群${\displaystyle SU(2)}$，或是單位四元數群，亦屬李群，拓撲上同胚於三維球面${\displaystyle S^{3}}$。

有限點群的原像稱為二元多面體群，記作${\displaystyle \langle l,n,m\rangle }$，與多面體群（英语：polyhedral group）${\displaystyle (l,m,n)}$對應，而名稱則是相應點群的名稱加上「二元」前綴，階數為點群階數的兩倍。例如，二十面體群（英语：icosahedral group）${\displaystyle (2,3,5)}$的原像，便是二元二十面體群（英语：binary icosahedral group）${\displaystyle \langle 2,3,5\rangle }$。

二元多面體群為：

• ${\displaystyle A_{n}}$: 正${\displaystyle n}$邊形的二元循環群（英语：binary cyclic group），階數${\displaystyle 2n}$。
• ${\displaystyle D_{n}}$: 正${\displaystyle n}$邊形的二元二面體群（英语：binary dihedral group）${\displaystyle \langle 2,2,n\rangle }$，階數${\displaystyle 4n}$。
• ${\displaystyle E_{6}}$: 二元四面體群（英语：binary tetrahedral group）${\displaystyle \langle 2,3,3\rangle }$，階數${\displaystyle 24}$。
• ${\displaystyle E_{7}}$: 二元八面體群（英语：binary octahedral group）${\displaystyle \langle 2,3,4\rangle }$，階數${\displaystyle 48}$。
• ${\displaystyle E_{8}}$: 二元二十面體群（英语：binary icosahedral group）${\displaystyle \langle 2,3,5\rangle }$，階數${\displaystyle 120}$。

該些群能按ADE分類（英语：ADE classification），而${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$在二元多面體群作用下的商空間，是杜瓦爾奇點（英语：Du Val singularity）。^[6]

對於不保定向的點群，情況較複雜，因為有兩個Pin群，所以對應給定的點群，有兩個可能的二元群。

注意前述「覆疊」僅是群的覆疊，而不是多面體空間的覆疊：球面本身單連通，並無非平凡覆疊。所以，並無所謂「二元多面體」覆疊原有的多面體。二元多面體群是旋量群的離散子群，所以若選定旋量群的表示，作用於一個向量空間，則該二元多面體群在該表示下，可能將某個多面體映到自身，例如在${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)\to SO(3)}$映射下，二元多面體群作用為旋轉，與底下的（非二元）群是同一個多面體的等距變換，然而，在旋量表示（英语：spin representation）或其他表示下，二元多面體群可以作用在不同的多面體上。

二元多面體群不是射影多面體（英语：projective polyhedra）的對稱群。球面確實覆疊射影空间（以及透鏡空間（英语：lens space）），故可以考慮射影空間的密鋪，視之為另一種「多面體」，即射影多面體，但是，考慮二元多面體群時，並非取多面體所覆疊的空間，而是取覆疊對稱群的群，所以兩件事不相同。

參見

• 球對稱群列表（英语：List of spherical symmetry groups）
• 化學常用三維點群的特徵標表（英语：List of character tables for chemically important 3D point groups）
• 二維點群（英语：Point groups in two dimensions）
• 四維點群（英语：Point groups in four dimensions）
• 對稱——經某種變換後仍與原先相同
• 歐氏平面等距變換（英语：Euclidean plane isometry）
• 群作用——在一些集合上從一組到一組雙射的同態
• 點群——幾何學中，保持某一點不動的等距變換的群
• 晶系——空間群、格、點群、晶體的分類
• 空间群——空間中，某結構的對稱群（空间群列表）
• 小群列表
• 分子对称性——維持化學分子形狀不變的空間變換

參考文獻

1. Curie, Pierre. Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique [論物理現象中的對稱及電場與磁場的對稱] (PDF). Journal de Physique. 1894, 3 (1): 393–415 [2021-09-06]. doi:10.1051/jphystap:018940030039300. （原始内容存档 (PDF)于2021-08-30） （法语）.
2. Shubnikov, A.V. On the Works of Pierre Curie on Symmetry [論皮埃尔·居里的對稱性研究]. Crystal Symmetries: Shubnikov Centennial papers [晶體對稱：舒勃尼科夫百年紀念論文集]. Pergamon Press. 1988: 357–364. ISBN 0-08-037014-4. doi:10.1016/B978-0-08-037014-9.50007-8 （英语）.
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• Conway, John Horton; Huson, Daniel H. The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups [二維群的軌形記號]. Structural Chemistry (Springer Netherlands). 2002, 13 (3): 247–257. S2CID 33947139. doi:10.1023/A:1015851621002 （英语）.

外部鏈結

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• 點群性質概覽. [2021-09-17]. （原始内容存档于2021-06-16） （英语）.
• Simplest Canonical Polyhedra of Each Symmetry Type [每種對稱型的最簡典範多面體]. （原始内容存档于2008-03-16） （英语）.
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• Levy, Silvio. 10.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (three dimensions) [第10.1節 笛卡爾坐標系中對稱的公式（三維）]. Geometry Formulas and Facts [幾何公式與事實]. The Geometry Center. [2021-09-17]. （原始内容存档于2021-04-18） （英语）.