設有矩陣:
它的跡是:
= 3 + 9 + 4 = 16
設系数域为的是一個有限維的向量空間,維數是n。給定任一線性映射,可以定義此一映射的跡數為其变换矩阵的跡,即選定的一個基底並用對應於此基底的一個方形矩陣描述,再定義這個方形矩陣的跡數為的跡數。這個定義下的跡數和所選取的基無關:只需要注意到不同的基底的選取實際上等價於對變換矩陣做一次相似變換,而兩個相似的矩陣的跡數是一樣的。因此這樣的定義是自洽的。
另外一种定义涉及到行列式的性质。考虑的一个基底,以及函数:
根据行列式理论,这个函数也是一个行列式型的函数,也就是说存在一个只取决于的量,使得
[5]
可以证明,这个纯量就等于之前定义的的跡數[6]。
由迹的定义可知迹可以看作是矩阵的实标量函数,所以我们可以通过求实标量函数的梯度来求迹的梯度。
- A是m×m矩阵时,有
- m×m矩阵A可逆时,有
- 对于两个向量x和y的外积,有
- 若A为m×n矩阵,有
- 若A为m×m矩阵,有
- 若A为m×n矩阵,B是m×n矩阵,有
- 若A为m×n矩阵,B是n×m矩阵,有
- 当A和B均为对称矩阵时,有
- 若A和B都是m×m矩阵,并且A是非奇异矩阵,有
Carl Dean Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra,第110页
Karim M. Abadir,Jan R. Magnus, Matrix algebra,第168页
Werner, Linear Algebra,第126页
Werner, Linear Algebra,第127-128页
- (英文)Karim M. Abadir,Jan R. Magnus. Matrix algebra. Cambridge University Press. 2005. ISBN 978-0521537469.