在數學中,複數的共軛複數(常簡稱共軛)是對虛部變號的運算
正式定義
复平面上
和它的共轭复数
的表示。
复数
(
)的共軛定義為:
![{\displaystyle {\overline {z}}={\overline {a+bi}}=a-bi}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b6bb0e9b8c7707d7afd29de2b85bc75be0fc61e)
有時也表為:
![{\displaystyle z^{*}={(a+bi)}^{*}=a-bi}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03634aac33765f8b45b50ac7958fa5ce06f2bc7)
如:
![{\displaystyle {\overline {3-2i}}=3+2i}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e28149f8da5bdb24fc01d4c69a48ce20be0a3d7)
(實數的共軛為自身)
(純虛數的共軛)
將複數理解為複平面的一點的話,則几何上,複共軛是此點以實數軸為對稱軸的反射。
性質
對於複數
:
![{\displaystyle {\begin{array}{l}{\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\\{\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}\\{\overline {zw}}={\overline {z}}\,{\overline {w}}\\{\overline {\left({\dfrac {z}{w}}\right)}}={\dfrac {\overline {z}}{\overline {w}}}&(w\neq 0)\\{\overline {z}}=z&(z\in \mathbb {R} )\\{\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}&(n\in \mathbb {Z} )\\|{\overline {z}}|=|z|\\|{\overline {z}}|^{2}=z{\overline {z}}\\{\overline {({\overline {z}})}}=z\\z^{-1}={\dfrac {\overline {z}}{|z|^{2}}}&(z\neq 0)\end{array}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/317f12dd41c1ab6bd07eb38cd37504b52f154b68)
一般而言,如果複平面上的函數
能表為實係數冪級數,則有:
![{\displaystyle \phi ({\overline {z}})={\overline {\phi (z)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20100c2e5e197e053cd951f521d88d8df76fa4e)
最直接的例子是多項式,由此可推得實係數多項式之複根必共軛。此外也可用於複指數函數與複對數函數(取定一分支):
![{\displaystyle {\begin{array}{l}\exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}\\\log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}&(z\neq 0)\end{array}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7440c40c2496f788b204bfae8c82e8ffc309e61a)
透過欧拉公式,在極坐標表法下,複數共軛可以寫成
![{\displaystyle {\overline {re^{i\theta }}}=re^{-i\theta }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac333692334ae437787558323b47c4f7e829a03)
其它觀點
複共軛是複平面上的自同構,但是並非全純函數。
記複共軛為
,則有
。在代數數論中,慣於將複共軛設想為「無窮素數」的弗羅貝尼烏斯映射,有時記為
。