路易·德布羅意 埃爾溫·薛丁格 在1920年代與1930年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意 和埃爾溫·薛丁格 等等，他們使用的數學工具是微積分 ，他們共同創建了波動力學 。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡 和馬克斯·玻恩 等等，使用線性代數 ，他們建立了矩陣力學 。後來，薛丁格證明這兩種方法完全等價。[ 2] :606–609
德布羅意於1924年提出的德布羅意假說 表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性 。電子 也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波 頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式 ，這點子給予埃爾溫·薛定諤 極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉·哈密頓 先前關於牛頓力學 與光學 之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零波長 極限，物理光學 趨向於幾何光學 ；也就是說，光波的軌道趨向於明確的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理 。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播 趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為，而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程 成功地推導出薛定谔方程式。[ 3] :207 他又用自己設計的方程式來計算氫原子 的譜線 ，得到的答案與用波耳模型 計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926年，正式發表於物理學界[ 4] [ 5] :163-167 。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平台。
薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，玻恩提出機率幅 的概念，成功地解釋了波函數的物理意義[ 3] :219-220 。可是，薛定諤本人不贊同這種統計 或機率 方法，和它所伴隨的非連續性波函數塌縮 ，如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論 的統計近似，薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋 。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛定諤清楚地表明了這意見。[ 3] :479
1927年，道格拉斯·哈特里 與弗拉基米尔·福克 在對於多體 波函數的研究踏出了第一步，他們發展出哈特里－福克方程 來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出，後來福克將之加以改善，能夠符合包立不相容原理的要求。[ 6] :344-345
薛定谔方程式不具有勞侖茲不變性 ，无法准确给出符合相对论的结果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式，並且描述電子的相对论性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾·索末菲 的結果，又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。[ 3] :196-197 [ 7] :3
1926年，奥斯卡·克莱因 和沃尔特·戈尔登 將電磁相對作用 納入考量，獨立地給出薛定谔先前推導出的相對論性部分，並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克莱因-戈尔登方程式 。[ 7] :3
1928年，保羅·狄拉克 最先成功地統一了狹義相對論 與量子力學，他推導出狄拉克方程式 ，適用於電子等等自旋 為1/2的粒子。這方程式的波函數是一個旋量 ，擁有自旋性質。[ 5] :167
在一維無限深方形阱 內，粒子的能級與對應的波函數。 在一維無限深方形阱內，找到能級為
n
{\displaystyle n}
假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函數表示為
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)}
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
複值 函數。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的位置
x
{\displaystyle x}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
a
≤
x
≤
b
{\displaystyle a\leq x\leq b}
機率
P
a
≤
x
≤
b
{\displaystyle P_{a\leq x\leq b}}
P
a
≤
x
≤
b
=
∫
a
b
|
Ψ
(
x
,
t
)
|
2
d
x
{\displaystyle P_{a\leq x\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x}
其中，
t
{\displaystyle t}
換句話說，
|
Ψ
(
x
,
t
)
|
2
{\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}}
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
這導致歸一化條件：在位置空間的任意位置找到粒子的機率為100%：
∫
−
∞
∞
|
Ψ
(
x
,
t
)
|
2
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x=1}
在動量空間，粒子的波函數表示為
Φ
(
p
,
t
)
{\displaystyle \Phi (p,t)}
p
{\displaystyle p}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
p
{\displaystyle p}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
a
≤
p
≤
b
{\displaystyle a\leq p\leq b}
P
a
≤
p
≤
b
=
∫
a
b
|
Φ
(
p
,
t
)
|
2
d
p
{\displaystyle P_{a\leq p\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Phi (p,t)|^{2}\mathrm {d} p}
動量空間波函數的歸一化條件也類似：
∫
−
∞
∞
|
Φ
(
p
,
t
)
|
2
d
p
=
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,\left|\Phi (p,t)\right|^{2}\mathrm {d} p=1}
本圖展示一維零自旋自由粒子 的波函數範例，左邊是位置空間波函數
Ψ
(
x
)
{\displaystyle \Psi (x)}
|
Ψ
(
x
)
|
2
{\displaystyle |\Psi (x)|^{2}}
Φ
(
p
)
{\displaystyle \Phi (p)}
|
Φ
(
p
)
|
2
{\displaystyle |\Phi (p)|^{2}}
x
{\displaystyle x}
x -軸的某動量
p
{\displaystyle p}
x
{\displaystyle x}
p
{\displaystyle p}
位置空間波函數與動量空間波函數彼此是對方的傅立葉變換 。他們各自擁有的信息相同，任何一種波函數都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函數之間的關係為[ 8] :108
Φ
(
p
,
t
)
=
1
2
π
ℏ
∫
−
∞
∞
e
−
i
p
x
/
ℏ
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
{\displaystyle \Phi (p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{-ipx/\hbar }\Psi (x,t)\mathrm {d} x}
Ψ
(
x
,
t
)
=
1
2
π
ℏ
∫
−
∞
∞
e
i
p
x
/
ℏ
Φ
(
p
,
t
)
d
p
{\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ipx/\hbar }\Phi (p,t)\mathrm {d} p}
量子力学中体系的态实际上由一个希尔伯特空间里的
|
J
(
t
)
⟩
{\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle }
[ 9]
波函数
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,t)}
|
J
(
t
)
⟩
{\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle }
x
{\displaystyle x}
Ψ
(
x
,
t
)
=
⟨
x
∣
J
(
t
)
⟩
,
{\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\mid {\mathfrak {J}}(t)\rangle ,}
（这里基矢量
|
x
⟩
{\displaystyle |x\rangle }
x
{\displaystyle x}
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
[ 9]
动量空间波函数
Φ
=
(
p
,
t
)
{\displaystyle \Phi =(p,t)}
|
J
(
t
)
⟩
{\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle }
Φ
(
p
,
t
)
=
⟨
p
∣
ℑ
(
t
)
⟩
{\displaystyle \Phi (p,t)=\langle p\mid {\mathfrak {\Im }}(t)\rangle }
（这里基矢量
|
p
⟩
{\displaystyle |p\rangle }
p
{\displaystyle p}
p
^
{\displaystyle {\hat {p}}}
[ 9] [ 註 3]
我们也可以把
|
F
(
t
)
⟩
{\displaystyle |{\mathfrak {F}}(t)\rangle }
c
n
(
t
)
=
⟨
n
∣
ℑ
(
t
)
⟩
{\displaystyle c_{n}(t)=\langle n\mid {\mathfrak {\Im }}(t)\rangle }
（这里基矢量
|
n
⟩
{\displaystyle |n\rangle }
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
n
{\displaystyle n}
c
n
=
⟨
f
n
∣
Ψ
⟩
=
∫
f
n
(
x
)
∗
Ψ
(
x
,
t
)
d
x
{\displaystyle c_{n}=\left\langle f_{n}\mid \Psi \right\rangle =\int f_{n}(x)^{*}\Psi (x,t)\mathrm {d} x}
[ 9]
波函数
Ψ
{\displaystyle \Psi }
Φ
{\displaystyle \Phi }
{
c
n
}
{\displaystyle \left\{c_{n}\right\}}
[ 9]
|
J
(
t
)
⟩
→
∫
Ψ
(
y
,
t
)
δ
(
x
−
y
)
d
y
=
∫
Φ
(
p
,
t
)
1
2
π
ℏ
e
i
p
x
/
ℏ
d
p
=
∑
c
n
e
−
i
E
n
t
/
ℏ
ψ
n
(
x
)
{\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle \rightarrow \int \Psi (y,t)\delta (x-y)dy=\int \Phi (p,t){\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{ipx/\hbar }dp=\sum c_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar }\psi _{n}(x)}
在一維空間裏，運動於位勢
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
含時薛丁格方程式
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
x
2
Ψ
(
x
,
t
)
+
V
(
x
)
Ψ
(
x
,
t
)
=
i
ℏ
∂
∂
t
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)}
其中，
m
{\displaystyle m}
質量 ，
ℏ
{\displaystyle \hbar }
約化普朗克常數 。
不含時薛丁格方程式 與時間無關，可以用來計算粒子的本徵能量 與其它相關的量子性質。應用分離變數法 ，猜想
Ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \Psi (x,\,t)}
Ψ
(
x
,
t
)
=
ψ
E
(
x
)
e
−
i
E
t
/
ℏ
{\displaystyle \Psi (x,\,t)=\psi _{E}(x)e^{-iEt/\hbar }}
其中，
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
能量 ，
ψ
E
(
x
)
{\displaystyle \psi _{E}(x)}
E
{\displaystyle E}
本徵函數 。
代入這猜想解，經過一番運算，可以推導出一維不含時薛丁格方程式：
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
x
2
ψ
E
(
x
)
+
V
(
x
)
ψ
E
(
x
)
=
E
ψ
E
(
x
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi _{E}(x)+V(x)\psi _{E}(x)=E\psi _{E}(x)}
波函数
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}
|
Ψ
(
r
,
t
)
|
2
{\displaystyle \vert \Psi (\mathbf {r} ,t)\vert ^{2}\,}
概率密度 ，并且具有归一性，全空间的积分
∫
|
Ψ
(
r
,
t
)
|
2
d
3
x
=
1
{\displaystyle \int \vert \Psi (\mathbf {r} ,t)\vert ^{2}\,d^{3}\,x=1}
波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的杨氏双缝实验 。
3D空间中的自由粒子，其波矢 为k 角频率 为ω
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
.
{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,.}
粒子被限制在x = 0x = L [ 8] :30-38
Ψ
(
x
,
t
)
=
2
L
sin
(
n
π
x
L
)
e
−
i
ω
n
t
,
0
≤
x
≤
L
Ψ
(
x
,
t
)
=
0
,
x
<
0
,
x
>
L
{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (x,t)&={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-i\omega _{n}t},&\quad 0\leq x\leq L\\\Psi (x,t)&=0,&x<0,x>L\\\end{aligned}}}
其中，
ℏ
ω
n
=
n
2
h
2
8
m
L
2
{\displaystyle \hbar \omega _{n}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}}
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
量子点中3D受束缚的电子波函数。如图所示为方形和三角形量子点。方形量子点中的电子态更像s轨道 和p轨道 。然而，由于不同的几何形态导致不同的束缚，三角形量子点中的波函数则是多种轨道混合的结果。 量子点 是在把激子 在三个空间方向上束缚住的半导体 纳米结构 。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自組量子点中），半导体的表面（例如：半导体纳米晶体 ），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似無限深方形阱 的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。
Hanle, P.A., Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory., Isis, December 1977, 68 (4), doi:10.1086/351880 Moore, Walter John, Schrödinger: Life and Thought, England: Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43767-9（英语） Kragh, Helge. Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century illustrated, reprint. Princeton University Press. 2002. ISBN 9780691095523 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 J. Griffiths, David; F. Schroeter, Darrell. CHAPTER 3 Formalism. Introduction to quantum mechanics Third edition. Cambridge University Press. 2018: 114–115. ISBN 978-1-107-18963-8 
![{\displaystyle [a,b]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
