以下逐條檢驗拓扑的定義:
(1) 等價於「 」的條件
若 ,則:
(a)
考慮到 ,所以根據有无限并集性質的定理(1)與(2)有
![{\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}\subseteq X}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a373d52d8e36576d7272d350d1f496e90a91531)
但根據无限并集性質的定理(1),(a)又等價於:
![{\displaystyle (\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=X\right)\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}\right)\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4048ceb87ca112eff7397bffe6ac16ef745dffa1)
所以有:
![{\displaystyle X\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3ff7d61dd7e81e623cf3e7ee37fd01d8958ee1)
所以從 有:
(a1)
反之若有 (a1),因為 ,所以有 。故在本定理的前提下,(a1)等價於 。
(2)
首先考慮到 ,然後從无限并集性質的定理(0)有 ,故 。
(3) 對任意 有
首先, 可等價地展開為
(b)
上式可直觀地解釋成「 都是 內某些集合的并集」,既然如此,取一個蒐集各種不同 的子集的集族 :
![{\displaystyle {\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}:=\left\{S\,|\,(\exists A)[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (S\subseteq A)]\right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be768e1442ef0a1826cade8ea9e70c1749efed37)
這樣根據有限交集的性質, 等價於
![{\displaystyle (\exists S)\left\{(x\in S)\wedge (S\in {\mathcal {F}})\wedge (\exists A)\left[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (S\subseteq A)\right]\right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa7c4580b7a64778683b76bdbee07cd1bfd9347)
考慮到一阶逻辑的定理(Ce),將 移至最前,再將 移入括弧內 ,上式就依據(Equv)而等價於
![{\displaystyle (\exists A)\left\{(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (\exists S)\left[(x\in S)\wedge (S\in {\mathcal {F}})\wedge (S\subseteq A)\right]\right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac3a18ea63ef91b939c27cddcc74ef2d1ce939f7)
也就等價於
![{\displaystyle (\exists A)\left\{(A\in {\mathfrak {A}})\wedge \left(x\in \bigcup [{\mathcal {P}}(A)\cap {\mathcal {F}}]\right)\right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9f287ce7005814bf95f58735a6c4f77f6e903e)
根據无限并集性質的定理(4),從(b)有
![{\displaystyle (\forall A\in {\mathfrak {A}})(\exists {\mathcal {B}})\left\{({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left\{A\subseteq \bigcup [{\mathcal {B}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}\right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e7dfa1a449ca1b00fb36ebd356e30b6bc90508)
這樣根據无限并集性質的定理(1)又會有
![{\displaystyle (\forall A\in {\mathfrak {A}})\left\{A\subseteq \bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02b70ec8450b58f630a1a31a99e1bfcd34d1cc93)
考慮到 ,從无限并集性質的定理(1)與定理(2)有
![{\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)\subseteq A}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14dd5784ae85dce1a3fcf616ad89642805b96916)
所以最後從(b)有
![{\displaystyle (\forall A\in {\mathfrak {A}})\left\{A=\bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672b974565a53883ad9caf30ffaf25f62991d076)
所以 最後等價於
![{\displaystyle (\exists A)\left[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (x\in A)\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d96c30244b847ae08f23ea4f0096b7a70781b7c)
換句話說
![{\displaystyle x\in \bigcup {\mathfrak {A}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b52c50c3bbddc0911dcc8567ec37e2f59717bfb7)
這樣考慮到 就有
![{\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}=\bigcup ({\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}})\in {\mathcal {U}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5216468cc19e46ed7197710ec79c1a67480051db)
所以在本定理的前提下, 對所有 都有 。
(4)等價於「 則 」的條件
若
- 「對所有的
有 」(P)
因取任意 都有:
![{\displaystyle B_{1}=\bigcup \{B_{1}\}\in {\mathcal {U}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aae5c5d64f6f3a9c37aa0504f935e432070a9f3)
![{\displaystyle B_{2}=\bigcup \{B_{1}\}\in {\mathcal {U}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387fb8e258022c70c1e5833dc1ed9cb3c9ca55de)
故 ,換句話說從假設(P)可以推出:
- 「對所有
, 」(P')
另一方面, 可等價地展開為:
![{\displaystyle (\exists {\mathcal {E}})\left\{({\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(U\cap V=\bigcup {\mathcal {E}}\right)\right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cab30c13e1dc94505e384eac3739f312e70b44d)
因為 可等價地展開為:
![{\displaystyle (\exists {\mathcal {A}})\left[\left(U=\bigcup {\mathcal {A}}\right)\wedge ({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5659d1a94a17a8c2ef64f8d110fe396b19a68441)
![{\displaystyle (\exists {\mathcal {B}})\left[\left(V=\bigcup {\mathcal {B}}\right)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}})\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a480f645f5c7b2a5fd69de780873aa86200954df)
所以在 的前提下 又可更進一步等價地展開為:
![{\displaystyle (\exists {\mathcal {A}})(\exists {\mathcal {B}})(\exists {\mathcal {E}})\left\{({\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}},\,{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(U=\bigcup {\mathcal {A}}\right)\wedge \left(V=\bigcup {\mathcal {B}}\right)\wedge \left[\left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)=\bigcup {\mathcal {E}}\right]\right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc82e0d8e4ddea9b3fbbb6625dc2902b9fd84cd1)
此時考慮到一阶逻辑的定理(Ce),連續使用兩次會有:
![{\displaystyle \left[x\in \left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)\right]\Leftrightarrow (\exists A)(\exists B)[(A\in {\mathcal {A}})\wedge (B\in {\mathcal {B}})\wedge (x\in A\cap B)]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9677083fc0f9ea0eed46be3071a0f0278b444b)
這樣的話,若取一個包含所有 的集族:
![{\displaystyle {\mathcal {C}}:=\left\{S\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,(\exists A)(\exists B)[(A\in {\mathcal {A}})\wedge (B\in {\mathcal {B}})\wedge (S=A\cap B)]\right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e51dd3a55a827fa811d179305edf37ab1a2fa06)
這樣就有:
![{\displaystyle \bigcup {\mathcal {C}}=\left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d83a67a47b415bef2206594811ca4efb5c94728)
而且考慮到 和 ,所以在(P')的前提下,所有的 都在 裡,換句話說, ,故從上小結的結果有:
![{\displaystyle U\cap V\in {\mathcal {U}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2138ffebc49e2c2e8894c9f1b929f89be82c77a9)
所以,(P')跟(P)等價。
綜合上面的(a1)、(a2)、和(P'),本定理得證。
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