截角四面體

在幾何學中，截角四面體是一種半正八面體，13種阿基米德立體之一，共有8個面、18個邊和12個頂點，是三角化四面體的對偶多面體，可由四面體經過適當的截角，截去四面體的四個頂點所產生的多面體。

截角四面體

(按這裡觀看旋轉模型)
類別	半正多面體
對偶多面體	三角化四面體
識別
名稱	截角四面體
參考索引	U02, C16, W6
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	tut
數學表示法
考克斯特符號 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	t{3,3} h2{4,3}
威佐夫符號 （英语：Wythoff symbol）	2 3 | 3
康威表示法	tT
性質
面	8
邊	18
頂點	12
歐拉特徵數	F=8, E=18, V=12 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	正三角形 正六邊形
面的佈局 （英语：Face configuration）	4個{3} 4個{6}
頂點圖	3.6.6
對稱性
對稱群	Td群
特性
-
圖像
3.6.6 （頂點圖） 三角化四面體 （對偶多面體） （展開圖）
查 论 编

若進行更深的截角，甚至截到了中點，則稱為截半四面體，然而此種多面體與正八面體是等價的^[1]。

由於截角四面體具有六邊形與三角形的面，因此也是一種戈德堡多面體，其戈德堡符號計為G_III(1,1)。

此外，由於截角四面體可以由立方體透過斜截變換構成，即先交錯、再截角，因此，截角四面體又稱為斜截立方體或截角交錯立方體，在考克斯特符號（英语：Coxeter diagram）中計為，頂點數為小斜方截半立方體的一半，因此兩個截角四面體可以構成一個凸包為小斜方截半立方體的截角星形八面體，此種立體也稱為二複合截角四面體。^[2]

性質

截角四面體是半正多面體之一，由4個等邊三角形和4個正六邊形組成，有12個頂點和18條棱，可以想象為將正四面體的頂點切去。

座標

在直角坐標系中，將幾何中心位於原點邊長為${\displaystyle {\sqrt {8}}}$的四面體截角產生了12個頂點，以(±3, ±1, ±1),(±1, ±3, ±1),(±1, ±1, ±3) （其中每組坐標的±數目都是奇數個）為頂點，構成了一個截角四面體。12個頂點位置如下：

• (+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3)
• (−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3)
• (−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3)
• (+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3)

正交投影顯示截角四面體可置於一個(±3,±3,±3)的邊框內。	截角四面體的六邊形面可分割為6共面的正三角形。其產生了四個新頂點 : (-1,-1,-1), (-1,+1,+1), (+1,-1,+1), (+1,+1,-1).	頂點(±1,±1,±3)的全排列產生了兩個互補的截角四面體，可將之結合成一個複合多面體，即截角星形八面體。

體積與表面積

邊長為${\displaystyle a}$的截角四面體，其表面積為${\displaystyle 7{\sqrt {3}}a^{2}}$，體積為${\displaystyle {\frac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}}$。^[3]

${\displaystyle A=7{\sqrt {3}}a^{2}\approx 12.12435565a^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 2.710575995a^{3}.}$

交角

三角形與六邊形的交角:${\displaystyle \arccos {\frac {-1}{3}}}$，約為109.47122063449069136924599933996°

六邊形與六邊形的交角:${\displaystyle \arccos {\frac {1}{3}}}$，約為70.528779365509308630754000660038°

兩個六邊形的共線與三角形的交角:${\displaystyle \arccos {\frac {-1}{\sqrt {3}}}}$，約為125.26438968275465431537700033002°

作法

將一個正四面體透過截角變換構造，即將正四面體的四个頂點切去就可以得到一個截角四面體。

正交投影

正交投影

中心	標準邊	標準面	邊	面/頂點
圖像
對偶圖像
投影 對稱群	[1]	[1]	[3]	[4]

球面鑲嵌

	以三角形為中心	以六邊形為中心
平行投影	施莱格尔投影（英语：Schlegel diagram）

相關多面體及鑲嵌

正四面体家族半正多面体

对称性: [3,3], (*332)							[3,3]+, (332)
{3,3}	t0,1{3,3}	t1{3,3}	t1,2{3,3}	t2{3,3}	t0,2{3,3}	t0,1,2{3,3}	s{3,3}
半正多面体对偶
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

軌形對稱

*n33軌形對稱的斜截鑲嵌（英语：Template:Cantic_table）: 3.6.n.6

	軌形（英语：Orbifold notation） *n32	球面鑲嵌（英语：List_of_spherical_symmetry_groups）	歐氏鑲嵌（英语：List_of_planar_symmetry_groups）	雙曲鑲嵌			仿緊
		*332	*333	*433	*533	*633...	*∞33
斜截鑲嵌
頂點（英语：Vertex configuration）		3.6.2.6	3.6.3.6	3.6.4.6	3.6.5.6	3.6.6.6	3.6.∞.6

變異對稱

*n32變異對稱性的截角鑲嵌（英语：Template:Truncated figure1 table）: 3.2n.2n

對稱性 *n32 [n,3]	球面鑲嵌（英语：List_of_spherical_symmetry_groups）				歐氏鑲嵌（英语：List_of_planar_symmetry_groups）	緊湊雙曲		非緊雙曲
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
截角鑲嵌
頂點（英语：Vertex configuration）	3.4.4	3.6.6	3.8.8	3.10.10	3.12.12	3.14.14（英语：Truncated_heptagonal_tiling）	3.16.16（英语：Truncated octagonal tiling）	3.∞.∞（英语：Truncated order-3 apeirogonal tiling）
三角化 鑲嵌
頂點（英语：Vertex configuration）	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14（英语：Truncated_heptagonal_tiling#Dual_tiling）	V3.16.16（英语：Truncated_octagonal_tiling#Dual_tiling）	V3.∞.∞（英语：Truncated_order-3_apeirogonal_tiling#Dual_tiling）

其他多面體

三角化截角四面體

三角化截角四面體

三角化截角四面體為截角四面體進行三角化變換的結果，即將截角四面體的三角形面加入三角錐。

三角化變換是一種克利多面體變換，意指在多面體表面疊上錐體，關於截角四面體的另外一種克利多面體變換則是在六邊形面加入六角錐，所構成的立體為六角化截角四面體。

截角四面體圖

截角四面體圖
3倍對稱
顶点	12[4]
边	18
半径	3
直径	3[4]
围长	3[4]
自同构群	24 (S4)[4]
色数	3[4]
色指数	3[4]
属性	Hamiltonian, regular, 3-vertex-connected, planar graph
查 论 编

在圖論的數學領域中，與截角四面體相關的圖為截角四面體圖，其與截角四面體有相同的拓樸結構，是一種阿基米德圖（英语：Archimedean graph）^[5][6]，其頂點與邊的數量及結構都與阿基米德立體中的截角四面體相同，具有12個頂點和18個邊^[7]。屬於連結立體圖（英語：connected cubic graph）^[8]，也是一種連結立體可遞的圖^[9]。

圓	正交投影
	4倍對稱	3倍對稱

參見

• 四面體

參考文獻

1. Chisholm, Matt; Avnet, Jeremy. Truncated Trickery: Truncatering. theory.org. 1997 [2013-09-02]. （原始内容存档于2014-07-21）.
2. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
3. Weisstein, Eric W. (编), Truncated tetrahedron, (Archimedean solid), at MathWorld--A Wolfram Web Resource,Wolfram Research, Inc. （英语）
4. An Atlas of Graphs, page=172, C105
5. Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press, 1998
6. Weisstein, Eric W. (编). Truncated tetrahedral graph. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
7. An Atlas of Graphs, page=267, truncated tetrahedral graph
8. An Atlas of Graphs, page=130, connected cubic graphs, 12 vertices, C105
9. An Atlas of Graphs, page=161, connected cubic transitive graphs, 12 vertices, Ct11

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因, 截角四面體 （參閱阿基米德立體） 於MathWorld（英文）
  • 埃里克·韦斯坦因. Truncated tetrahedral graph. MathWorld.
• Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3x3o - tut. bendwavy.org.
• Editable printable net of a truncated tetrahedron with interactive 3D view （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Uniform Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Virtual Reality Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） The Encyclopedia of Polyhedra