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图着色问题(英語:Graph Coloring Problem,簡稱GCP),又称着色问题,是最著名的NP-完全问题之一[1]。
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给定一个无向图,其中为顶点集合,为边集合,图着色问题即为将分为个颜色组,每个组形成一个独立集,即其中没有相邻的顶点。其优化版本是希望获得最小的值。[2]
有两个相关的术语:
色数和团数(clique number)
团(clique)是一个图中两两相邻的顶点构成的集合。最大团是一个图中顶点最多的团,它的顶点数被称为的团数,记为。和满足如下关系:
色数和独立数(independence number)
独立集(independent set)是一个图中两两不相邻的顶点所构成的集合。最大独立集是一个图中顶点最多的独立集,它的定点数被称为的独立数,记为。和满足如下关系:
色多項式用於計算給定數量的顏色下對某圖進行塗色的可行方式數。例如,考慮有3個頂點的完全圖 ,若只使用兩種顏色,根本無法被著色;若使用三種顏色,則有 種方式進行著色;若使用四種顏色,則有 個有效著色方案。因此,對於 ,有效著色數量的表格將從以下內容開始:
可使用之顏色數 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
---|---|---|---|---|---|
有效著色方法數 | 0 | 0 | 6 | 24 | … |
色多项式是一個函數,記錄将一个图 G 进行 t-着色的方法数,记作 。正如其名所述, 是一個关于 t 的多项式。回到上面 的例子,事實上,。
顯而易見的,色多項式 比圖色數蘊涵更多的資訊,更精確的說, 是色多項式最小的非零解正整數,即
下表给出了部分图的色多项式:
三角形 K3 | |
完全图 Kn | |
n个顶点的树 | |
环 Cn | |
佩特森图 |
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