图着色问题(英語:Graph Coloring Problem,簡稱GCP),又称着色问题,是最著名的NP-完全问题之一[1]

给定一个无向图,其中顶点集合,为边集合,图着色问题即为将分为个颜色组,每个组形成一个独立集,即其中没有相邻的顶点。其优化版本是希望获得最小的值。[2]

图色数

有两个相关的术语:

  1. 色数(chromatic number),也被称为顶点色数(vertex chromatic number),指将一张图上的每个顶点染色,使得相邻的两个点颜色不同,最小需要的颜色数。最小染色数用表示。
  2. 边色数英语Edge chromatic number(edge chromatic number):指将一张图上的每条染色,使有公共顶点的边颜色不同,最少需要的颜色数叫边色数,用表示。

和图中其他对象的关系

色数和团数(clique number)

(clique)是一个图中两两相邻的顶点构成的集合。最大团是一个图中顶点最多的团,它的顶点数被称为团数,记为满足如下关系:

色数和独立数(independence number)

独立集(independent set)是一个图中两两不相邻的顶点所构成的集合。最大独立集是一个图中顶点最多的独立集,它的定点数被称为独立数,记为满足如下关系:

色多项式

Thumb
全部非同构三阶图和它们的色多项式。空图 E3(红)可以进行1-着色;其他图不可以。绿色的图用3种颜色有12种染色方法

色多項式用於計算給定數量的顏色下對某圖進行塗色的可行方式數。例如,考慮有3個頂點的完全圖 ,若只使用兩種顏色,根本無法被著色;若使用三種顏色,則有 種方式進行著色;若使用四種顏色,則有 個有效著色方案。因此,對於 ,有效著色數量的表格將從以下內容開始:

更多信息 可使用之顏色數, 有效著色方法數 ...
可使用之顏色數 1 2 3 4
有效著色方法數 0 0 6 24
关闭

色多项式是一個函數,記錄将一个图 G 进行 t-着色的方法数,记作 。正如其名所述, 是一個关于 t 的多项式。回到上面 的例子,事實上,

顯而易見的,色多項式 比圖色數蘊涵更多的資訊,更精確的說, 是色多項式最小的非零解正整數,即

下表给出了部分图的色多项式:

部分图的色多项式
三角形 K3
完全图 Kn
n个顶点的
Cn
佩特森图

重要定理

参见


參考來源

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