大基数

在集合論，大基數性質是超限基數可能具有的若干性質的統稱。顧名思義，有某種大基數性質的基數（大基數）一般都很「大」（例如，比滿足${\displaystyle \alpha =\omega _{\alpha }}$的最小的${\displaystyle \alpha }$更大，其中${\displaystyle \omega _{\alpha }}$的意義見阿列夫數）。大基數的存在性不能用最常見的ZFC集合論公理系統證明，所以，若需要大基數才能證明某些結論，則可用所需的大基數來衡量該結論「超出」ZFC的程度。其如達納·斯科特所言，量化了「欲證更多，必先假設更多」。^[1]

常見大基數類別有不可达基数、拉姆齊基數（英语：Ramsey cardinal）、弱紧基数（英语：Weakly compact cardinal）和可测基数等，其中可测基数和拉姆齊基数都比弱紧基数强，而若假定選擇公理，弱紧基数是不可达基数。

集合論界中有以下粗略約定：ZFC足以證明的結論敍述時不用列明前提「假設ZFC」，但若證明要求其他假設（例如存在某個大基數），則須列明。視乎哲學派別，或認為該約定僅是語言慣例，或認為其意義更重大（見研究動機和公理認受性一節）。

大基數公理是斷言特定大基數存在的公理。例如，「存在3個不可達基數」便屬大基數公理。

許多集合論者相信現時考慮的大基數公理皆與ZFC相容^{[來源請求]}。該些公理足以推出ZFC相容，因此ZFC（若相容）無法證明該些公理與ZFC相容，否則ZFC將證明自身的相容性，與哥德爾第二不完備定理矛盾。

並無準確定義何種性質為大基數性質，但大基數性質列表（英语：list of large cardinal properties）列舉了若干較普遍接受的大基數性質。

部分定義

某個基數性質稱為大基數性質有個必要條件：未知ZFC能證明不存在具有該種性質的基數，且已證明若ZFC相容，則ZFC與「不存在該種基數」也相容（即已證明ZFC（若相容）不能證出該種基數存在）。

相容強度層級

值得注意，雖然喬爾·哈姆金斯（英语：Joel David Hamkins）稱找到不能比較相容強度的大基數公理^[2]，仍有許多自然的大基數公理按相容強度（英语：Equiconsistency）組成全序。換言之，對於大基數公理${\displaystyle A_{1}}$和${\displaystyle A_{2}}$，通常恰有以下三者之一：

1. 除非ZFC不相容，否則${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}}$相容當且僅當${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{2}}$相容；
2. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}}$證明${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{2}}$相容；
3. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{2}}$證明${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}}$相容。

此三者互斥，除非所提及的理論其實不相容。

情況1，稱${\displaystyle A_{1}}$與${\displaystyle A_{2}}$等相容（英语：Equiconsistency）。情況2，稱${\displaystyle A_{1}}$在相容意義下強於${\displaystyle A_{2}}$（情況3則反之）。若${\displaystyle A_{2}}$強於${\displaystyle A_{1}}$，則即使由${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}+{\mathsf {Cons}}({\mathsf {ZFC}}+A_{1})}$，也不能證明${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{2}}$相容（前提是${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+A_{1}}$確實相容）。此為哥德爾第二不完備定理的推論。

由於未有大基數公理的準確定義（並有哈姆金斯的結果），以上觀察無法成為定理。此外，對一些${\displaystyle A_{1},A_{2}}$，仍未知三個情況何者為真。薩哈龍·謝拉赫（英语：Saharon Shelah）問：「是否有定理解釋，抑或是我們的目光比所以為的更單一？」^[3]同樣值得注意，許多組合命題恰與某個大基數等相容，而非介於兩個大基數的等相容強度之間。

等相容強度的順序，不必等於具有該性質的最小基數的大小順序。例如，巨大基數（英语：huge cardinal）的存在性，在相容意義下遠強於超緊基數（英语：supercompact cardinal）的存在性，但假設兩者皆存在，則首個巨大基數小於首個超緊基數^[4]。

研究動機和公理認受性

大基數可放在冯·诺伊曼全集${\displaystyle V}$理解。冯·诺伊曼全集是將冪集運算（將某集合的所有子集組成集合）超限疊代而得。無大基數的模型經常可視為有大基數的模型的子模型。例如，若有不可達基數，則在首個不可達基數${\displaystyle \kappa }$的高度將全集${\displaystyle V}$截斷成${\displaystyle V_{\kappa }}$，便是無不可達基數的全集。又設有可測基數${\displaystyle \lambda }$，則疊代「可定義」冪集運算（而非完整的冪集運算），便得哥德爾可構全集（英语：Gödel's constructible universe）${\displaystyle L}$，其不認為存在可測基數，即使${\displaystyle L}$仍包含${\displaystyle \lambda }$（作為序數）。

所以，一些加州學派（英语：Cabal (set theory)）集合論者認為，大基數公理「說明」正在考慮全部「應當」考慮的集合，而否定大基數公理，則「限制」只考慮一部分集合。更甚者，大基數公理的後果似乎可以找到一定規律（見麥迪〈相信公理之二〉^[5]）。因此，該些集合論者傾向認為，大基數公理是ZFC的較好的擴展，勝於其他較少明確動機的公理（如馬丁公理），也勝於他們直觀認為較不可能的公理（如可構公理（英语：可構公理））。此派中的實在論者視大基數定理為「真」。

當然上述觀點並不普遍。一些形式論者會斷言，標準集合論，按其定義，是研究ZFC有何後果。其未必反對研究其他系統有何後果，而僅覺得無理由偏好大基數公理。也有實在論者不以極大存在論（英语：ontological maximalism）（即認為可存在之事皆存在）為接受大基數公理的合適動機，甚至相信大基數公理為假。此外，還有人指出，否定大基數公理並非「限制」，因為例如，雖然哥德爾可構全集${\displaystyle L}$不認為存在可測基數，但${\displaystyle L}$中也可以有傳遞集合模型認為存在可測基數。

參見

• 首個不可數序數
• ZFC系統無法確定的命題列表

參考資料

1. Bell, J.L. Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory [布爾值模型及集合論的獨立性證明]. Oxford University Press. 1985. viii. ISBN 0-19-853241-5 （英语）.
2. Hamkins, Joel David. Nonlinearily in the hierarchy of large cardinal consistency strength [大基數的相容強度層級非線性] (PDF). 2021 [2021-08-20]. （原始内容存档 (PDF)于2021-08-20） （英语）.
3. Shelah, Saharon. The Future of Set Theory [集合論的未來]. 2002. arXiv:math/0211397v1  （英语）. 引文使用过时参数version (帮助)
4. Morgenstern, Carl F. On the Ordering of Certain Large Cardinals [論某些大基數的次序]. The Journal of Symbolic Logic. 1979, 44 (4): 563–565. doi:10.2307/2273295 （英语）.
5. Maddy, Penelope. Believing the Axioms. II [相信公理之二] (PDF). The Journal of Symbolic Logic. 1988, 53 (3): 736–764 [2021-08-21]. doi:10.2307/2274569. （原始内容存档 (PDF)于2021-08-21） （英语）.