传递集合

傳遞集合、即在ZF或ZFC集合论中，一个集合(或类)${\displaystyle X}$是传递的，如果

• ${\displaystyle \forall y\forall z\ (y\in X)\land (z\in y)\Rightarrow (z\in X)}$

或等價地，

• ${\displaystyle \forall y(y\in X)\Rightarrow (y\subseteq X)}$

或者

• ${\displaystyle \cup X\subseteq X}$

設${\displaystyle x}$為傳遞集，於是由${\displaystyle z\in y\in x}$能推出${\displaystyle z\in x--}$這和偏序的傳遞性類似。因此，說${\displaystyle x}$是傳遞集相當於說${\displaystyle (x,\in )}$是一個偏序集。

在其它有基本元素的概念的集合論中，傳遞性可以說成

• 如果${\displaystyle B}$不是基本元素且${\displaystyle B\in A}$，則${\displaystyle B\subseteq A}$

不包含基本元素的一个集合${\displaystyle A}$是传递性的，当且仅当 ${\displaystyle A\subset {\mathcal {P}}(A)}$。

传递闭包

集合${\displaystyle A}$的传递闭包是滿足${\displaystyle A\subseteq B}$的（在包含關係下）最小的传递集${\displaystyle B}$ 。

設${\displaystyle X}$為集合，则${\displaystyle X}$的传递闭包可以直觀地描述成:

${\displaystyle \cup \{X,\cup X,\cup \cup X,\cup \cup \cup X,\cup \cup \cup \cup X,\ldots \}}$。

传递类

传递类经常用于构造集合论自身的释义，通常叫做内模型。原因是有界公式所定义的性质对于传递类是绝对的。

序數

序数可以被定义为成员均是传递集的传递集。

参见

• 并集
• 幂集