合数

在數論中，合數（也稱為合成數）是除了1和其本身外具有其他正因數的正整數^[1][2]。依照定義，每一個大於1的整數若不是質數，就會是合數^[3][4]。而1則被認為不是質數，也不是合數。

用古氏積木排列出合數10的因數

合數（右側紅色部份）可以用長寬都不是1的長方形來表示，但質數（左側藍色部份）只能用其中一邊長是1的長方形表示

例如，整數14是一個合數，因為它可以被分解成${\displaystyle 2\times 7}$。而整數2無法再找到本身和1以外的正因數，因此不是合數。

起初120个合数为： 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 155, 156, 158, ...等等（OEIS數列A002808）。

每一個合數都可以寫成二個或多個質數（不一定是相異質數）的乘積^[2]。例如，合數299可以寫成13 × 23，合數360可以寫成2³ × 3² × 5，而且若將質因數依大小排列後，此表示法是唯一的。這是算术基本定理^[5][6][7][8]。

有許多的素性测试可以在不進行因數分解的情形下，判斷一數字是質數還是合數。

性質

• 所有大於2的偶數都是合數，也就是在正整數中除了2以外，其餘數的個位數為0、2、4、6、8者均為合數。4為最小的合數。
• 每一合數都可以以唯一形式被寫成質數的乘積。（算術基本定理）
• 所有合數都有至少3個正因數，例如4有正因數1、2、4，6有正因數1、2、3、6。
• 對任一大於5的合數${\displaystyle n}$，${\displaystyle (n-1)!\equiv 0{\pmod {n}}}$。（威爾遜定理）
• 對於任意的正整數${\displaystyle n}$，都可以找到一個正整數${\displaystyle x}$，使得${\displaystyle x}$、${\displaystyle x+1}$、${\displaystyle x+2}$、…、${\displaystyle x+n}$都是合數。

合數的類型

100以內的过剩数、本原過剩數、高過剩數、超過剩數、可羅薩里過剩數、高合成数、superior highly composite number（英语：superior highly composite）、奇異數和完全数的歐拉圖，以及和亏数、合数的關係

分類合數的一種方法為計算其質因數的個數。一個可表示為兩個質數之乘積的合數稱為半質數，有三個質因數的合數則稱為楔形數。在一些的應用中，亦可以將合數分為有奇數的質因數的合數及有偶數的質因數的合數。對於後者，

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x}=1}$

（其中μ為默比烏斯函數且${\displaystyle x}$為質因數個數的一半），而前者則為

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1}$

注意，對於質數，此函數會傳回-1，且${\displaystyle \mu (1)=1}$。而對於有一個或多個重複質因數的數字${\displaystyle n}$，${\displaystyle \mu (n)=0}$。

另一種分類合數的方法為計算其正因數的個數。所有的合數都至少有三個正因數。一質數${\displaystyle p}$的平方，其正因數有${\displaystyle \{1,p,p^{2}\}}$。一數若有著比它小的整數都還多的正因數，則稱此數為高合成數。另外，完全平方數的正因數個數為奇數個，而其他的合數則皆為偶數個。

還有一種將合數分類的方式，是檢查其質因數是否都比特定數字大，或是比特定數字小。這些會稱為光滑數或粗糙數。

腳註

1. Pettofrezzo & Byrkit (1970，第23–24頁)
2. Long (1972，第16頁)
3. Fraleigh (1976，第198,266頁)
4. Herstein (1964，第106頁)
5. Fraleigh (1976，第270頁)
6. Long (1972，第44頁)
7. McCoy (1968，第85頁)
8. Pettofrezzo & Byrkit (1970，第53頁)

參考文獻

• Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976, ISBN 0-201-01984-1
• Herstein, I. N., Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, 1964, ISBN 978-1114541016
• Long, Calvin T., Elementary Introduction to Number Theory 2nd, Lexington: D. C. Heath and Company, 1972, LCCN 77-171950
• McCoy, Neal H., Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, 1968, LCCN 68-15225
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R., Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1970, LCCN 77-81766

相關條目

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