高過剩數

高過剩數（highly abundant number）是指一正整數．其除數函數（含本身的所有因數和）大於所有較小正整數的除數函數。

高過剩數及一些有類似特性的整數最早是由皮萊（英语：Subbayya Sivasankaranarayana Pillai）在1943年提出的^[1]，萊昂尼達斯·Alaoglu（英语：Alaoglu）及保羅·艾狄胥進行了一些相關的研究．列出了所有小於10⁴的高過剩數，並證明小於整數N的高過剩數個數至少和log² N成正比。他們也證明了7200是高過剩數中最大的冪數，也是其有奇數個因數的最大高過剩數^[2]。

定義及舉例

自然數n為高過剩數，若且唯若對於所有小於n的自然數m，下式恆成立：

${\displaystyle \sigma (n)>\sigma (m)}$

其中σ為除數函數。

頭幾個高過剩數為：

1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, ... （OEIS數列A002093）.

以5為例，σ(5) = 5+1 = 6小於σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7，因此5不是高過剩數，而σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15大於所有較小正整數的除數函數，因此8是高過剩數。

和其他整數的關係

雖然前8個階乘的結果都是高過剩數，不過不是所有階乘的結果均為高過剩數

σ(9!) = σ(362880) = 1481040,

但有數字較9!小，而除數函數比σ(9!)大

σ(360360) = 1572480,

因此9!不是高過剩數。

Alaoglu及保羅·艾狄胥發現所有的超過剩數都是高過剩數，因此提出一個問題：是否存在著無限多個不是超過剩數的高過剩數。數學家尼可拉斯在1969年證實了上述的問題^[3]。

高過剩數和過剩數名稱中都有「過剩數」一詞，其中也有一些數字重覆，但不是所有的高過剩數都是過剩數，前7個高過剩數都不是過剩數，也不是所有的過剩數都是高過剩數，例如數字40為過剩數，不是高過剩數。

參考資料

1. Pillai, S. S. Highly abundant numbers. Bull. Calcutta Math. Soc. 1943, 35: 141–156. MR 0010560.
2. Alaoglu, L.; Erdős, P. On highly composite and similar numbers. Transactions of the American Mathematical Society. 1944, 56 (3): 448–469. JSTOR 1990319. MR 0011087. doi:10.2307/1990319.
3. *Nicolas, Jean-Louis. Ordre maximal d'un élément du groupe S_n des permutations et "highly composite numbers". Bull. Soc. Math. France. 1969, 97: 129–191 [2013-01-16]. MR 0254130. （原始内容存档于2021-05-14）.