正弦

正弦，割圓術一綫，割圓八綫之一。而正弦函數，為三角函數之一，英文叫sine，數學符號寫sin，數式寫如${\displaystyle \sin \theta }$。

割圓八綫。正弦為打直，圖內弦綫。

正弦函數假設，割圓半徑為一時，用正角求出正弦有幾長。以往會用對數表求查得數值。

割圓

正弦之所以叫弦，皆因佢好似勾住弓嘅弦。

圓之中，畫一直綫，將圓割開大細邊，直綫在圓內，此為通弦。通弦中間再分一半，半段就係正弦。

弧弦矢

割圓八綫圖中所見，正弧、正弦、正矢，正正係半截弓嘅形。

正弦三角形

乙甲丁為直角三角形。圓心處夾角叫正角。

餘弦乙己，同底綫甲丁，長短一樣。故此用勾股定理，餘弦平方，加上正弦平方，就係半徑平方。

正弦長短，與正角大細成正比。正角愈大，正弦愈長。正角為〇，正弦為〇。正角為直角，正弦同半徑一樣長。

三角函數

正角三角形示意。

正弦函數，為圓半徑為一時，正弦數值，亦可謂比例。任意直角三角形，都可如割圓八綫咁，套入四分圓。三角形斜邊為圓半徑，夾角做正角，對邊為正弦，

${\displaystyle \sin \alpha }$ 比一，就等如正弦比半徑，亦即對邊比斜邊。

∵${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{1}}={\frac {\mathrm {a} }{\mathrm {h} }}}$

∴ ${\displaystyle {\sin \alpha }={\frac {\mathrm {a} }{\mathrm {h} }}}$

簡而言之，直角三角形，某銳角之正弦函數，就係銳角之對邊比斜邊。

坐標投影

角度與正弦值

然而正弦函數，唔限於四分圓一角。正角為大於直角，甚至係負數，仍然可以投影出正弦綫，得出正弦長短。

正弦函數以笛卡兒坐標系統去理解，就會有正負數。角度大於平角而少於全角，就落入負值範圍。

由於正弦至少長到半徑，正弦函數假定半徑為一，咁正弦函數最大值為一，最小值為負一。

正弦曲綫

正弦圖表

以角度為橫軸，與正弦函數為縱軸，以上繪圖，就會得出波浪曲綫，此為正弦曲綫（sine curve）。

複數表示

正弦函數可以用複數嚟表示：

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$

證明

考慮：

${\displaystyle {\begin{aligned}&e^{ix}=\cos x+i\sin x\cdots (1)\\&e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\cdots (2)\\&(1)-(2):e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x\\&\therefore \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\end{aligned}}}$

睇埋

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