授時曆

授時曆，曆法之一，行於大元，名由皇帝忽必烈所賜。書經堯典有話，「乃命羲和，欽若昊天，曆象日月星辰，敬授人時。」授時曆就取自「敬授人時」，意謂曆頒於民，就唔會失天時。忽必烈任命許衡做領太史院事，其下郭守敬、王恂為副，創造出授時曆。曆法亦見於元史。

曆由至元十八年，即一二八一年，行到元末。大明大統曆，都承繼授時曆，一直行到明末。大統曆只係無計斗分差，即唔考量回歸年古長今短。大統曆推算日蝕時刻有差，亦有用回回曆補入。

日本都有改用大統曆，亦即授時曆變種。由涉川春海改成大和曆，修改一啲定數同里差經度等。一六八四年，日本貞享元年三月初三頒佈，然十月撤回。翌年改名貞享曆頒佈推行。

原由

一二七六年，大元至元十三年，元軍攻佔大宋京城臨安，並遷都大都，準備頒布曆法，取代金國重修大明曆，以合天象。

方法

大宋時頻頻觀測天象，改曆十八次。大元領土遼闊，儀器有所進步，觀測同更加精確。參攷大唐開元時一行，有國土十八處觀測。許衡、郭守敬、王恂、楊恭懿等亦設觀星臺廿七處，實測數值。又參攷回回天文觀測，加以改良。

同時有用沈括有關三角函數近似值公式計算^[1]。

授時曆用弧矢割圓術，以換算黃經黃緯同赤經赤緯。用招差術推算日月五星行度。弧矢割圓術，即球面三角法。招差術，亦即三次内插法。授時一改前人複雜分母分子，全改用萬分數，以一萬為分母，類似今日小數。授時曆用統天曆數值，即一年三百六十五日二四二五來計，一月用二十九日五三〇五九三來計。咁同今日西曆額我畧曆數值相同，然授時曆早三百零一年。日行一年長，有微妙變化，故此有歳實消日法，一百年縮萬分之二日。

推算節氣，就以平氣來計，一年均分廿四份，一份為之一氣。無中氣就做閏月。廢除上元積年，直取至元十八年為為曆元，數據全部實測，此為史上一大變革。

參考資料

1. 杉本敏夫 (1988). 〈授時暦で用いられた沈括の逆正弦公式の精度〉 (PDF). 《数学史研究》. 日本数学史学会. 117.