函數的次可加性(subadditivity)是函數的一個性質,它粗略的聲稱計算函數對定義域中兩個元素的和總是返回小於等於這個函數對每個元素的值的和的某個值。在數學的各個領域中有很多次可加函數的例子,特別是範數和平方根。加性函數是次可加函數的特殊情況。
- 單位函數
顯然是(全)可加的,這是一個平凡的例子。另一個平凡的例子是零函數
。
- 範數
- 集函數的次可加性:定義域為集類S,值域為[0, ∞]上的廣義實值集函數f,若:
,有
,則稱f為次可加的。
,有
,則稱f為有限次可加的。
,有
,則稱f為可列次可加的。
- 平方根函數,它有非負實數定義域和陪域,因為
我們有:
![{\displaystyle {\sqrt {x+y}}\leq {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a76d604bab647e0fde8ef5b62a357ea15fbfbcb1)
對於次可加序列,有Michael Fekete的重要引理。[1]
引理(Michael Fekete):對任一次可加序列
,有
。(注意該極限可能是-∞。)
Fekete 引理的對應者對於次可加函數也成立:
(極限可以是正無窮: 考慮序列
。)
有不要求不等式 (1) 對於所有
和
成立的 Fekete 引理的擴展。還有結果允許你推導收斂到其存在性規定於 Fekete 引理中的極限的速率,如果存在著某種超加性和次可加性。[2]
Fekete, M. "Uber die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit. ganzzahligen Koeffizienten." Mathematische Zeitschrift 17 (1923), pp. 228–249.
Michael J. Steele. "Probability theory and combinatorial optimization". SIAM, Philadelphia (1997). ISBN 0-89871-380-3.
- György Pólya and Gábor Szegö. "Problems and theorems in analysis, volume 1". Springer-Verlag, New York (1976). ISBN 0-387-05672-6.