比贊數

比贊數（Be）是得名自杜克大學教授阿德里安·比贊（英語：Adrian Bejan）的無量綱，有二種比贊數，分別用在熱力學及流體力學中。

熱力學

熱力學中的比贊數是熱傳不可逆性和總不可逆性（因為熱傳及流體摩擦力）之間的比例：^[1]

${\displaystyle \mathrm {Be} ={\frac {{\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta T}}{{\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta T}+{\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta p}}}}$

其中

${\displaystyle {\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta T}}$是因為熱傳產生的熵

${\displaystyle {\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta p}}$是因為流體摩擦力產生的熵

流體力學、熱傳學及質傳學

流體力學的比贊數是沿著長度${\displaystyle L}$管道的無因次壓力差：^[2]

${\displaystyle \mathrm {Be} ={\frac {\Delta PL^{2}}{\mu \nu }}}$

其中

${\displaystyle \mu }$為粘度

${\displaystyle \nu }$是動量擴散率（運動粘度）

熱傳學的比贊數是沿著長度${\displaystyle L}$管道的無因次壓力差：^[3]

${\displaystyle \mathrm {Be} ={\frac {\Delta PL^{2}}{\mu \alpha }}}$

其中

${\displaystyle \mu }$是粘度

${\displaystyle \alpha }$是熱擴散率

比贊數在強制對流中的角色和瑞利數在自然對流中的角色相近。

質傳的比贊數是沿著長度${\displaystyle L}$的管道無因次壓力差：^[4]

${\displaystyle \mathrm {Be} ={\frac {\Delta PL^{2}}{\mu D}}}$

其中

${\displaystyle \mu }$是粘度

${\displaystyle \alpha }$是質傳擴散率

若在雷諾類比（英語：Reynolds analogy）的條件下（Le = Pr = Sc = 1），以上三種Bejan數都相同。

阿瓦德（Awad）和拉赫（Lage）^[5]提出了另一個修改版的比贊數，最早是從巴塔查爾吉（Bhattacharjee）和格羅赫德勒（Grosshandler）針對動量過程的研究所產生的，這種比贊數中不使用粘度，而用流體密度和動量擴散率的乘積來代替。此作法一方面更接近物理特性，而且此無因次量可以不受粘度影響。這種簡化也可以將比贊數延伸到其他的擴散過程中，例如熱傳，只要更換擴散係數即可。因此也可以產生通用的比贊數，描述壓力差和擴散之間的關係。已證明此通用形式對於符合雷諾類比（英語：Reynolds analogy）（Le = Pr = Sc = 1）的過程，會有類似的結果，也就是表示動量、能量及特定物質質量的比贊數會是相同的值。

因此，比贊數更中性的定義如下：

${\displaystyle \mathrm {Be} ={\frac {\Delta PL^{2}}{\rho \delta ^{2}}}}$

其中

${\displaystyle \rho }$流體密度

${\displaystyle \delta }$為要考慮過程的擴散係數

此外，阿瓦德^[6]比較哈根數及流體力學的比贊數，兩者的物理意義是不同的，哈根數是無因次的壓力梯度，而比贊數是無因次的壓力差。不過若哈根數的特徵長度（l）等於比贊數的流體長度（L）， 因此在哈根-泊肅葉流中的比贊數可以用下式來定義

${\displaystyle \mathrm {Be} ={{32ReL^{3}} \over {d^{3}}}}$

其中

${\displaystyle Re}$為雷諾數

${\displaystyle L}$為流體長度

${\displaystyle d}$為管路直徑

此處的比贊數也是無因次量。

相關條目

• 阿德里安·比贊（英語：Adrian Bejan）
• 熵
• 可用能
• 熱力學
• 構形理論（英語：Constructal theory）

參考資料

1. Paoletti, S.; Rispoli, F.; Sciubba, E. Calculation of exergetic losses in compact heat exchanger passager. ASME AES-Vol. 1989, 10 (2): 21–29.
2. Bhattacharjee, S.; Grosshandler, W. L. The formation of wall jet near a high temperature wall under microgravity environment. ASME 1988 National Heat Transfer Conference. 1988, 96: 711–716. Bibcode:1988nht.....1..711B.
3. Petrescu, S. Comments on ‘The optimal spacing of parallel plates cooled by forced convection’. Int. J. Heat Mass Transfer. 1994, 37 (8): 1283. doi:10.1016/0017-9310(94)90213-5.
4. Awad, M.M. A new definition of Bejan number. Thermal Science. 2012, 16 (4): 1251. doi:10.2298/TSCI12041251A.
5. Awad, M.M.; Lage, J. L. Extending the Bejan number to a general form. Thermal Science. 2013, 17 (2): 631. doi:10.2298/TSCI130211032A.
6. Awad, M.M. Hagen number versus Bejan number. Thermal Science. 2013, 17 (4): 1245. doi:10.2298/TSCI1304245A.