大二十面體

在幾何學中，大二十面體是一種星形二十面體，由20個正三角形組成，其在非凸均勻多面體被編號為U₅₃、在溫尼爾多面體模型被編號為W₄₁，是四種星形正多面體之一，對偶多面體為大星形十二面體。

大二十面體

（按這裡觀看旋轉模型）
類別	星形正多面體 星形二十面體
對偶多面體	大星形十二面體
識別
名稱	大二十面體
參考索引	U53, C69, W41
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	gike
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	{3,5/2}
威佐夫符號 （英語：Wythoff symbol）	5/2 | 2 3
性質
面	20
邊	30
頂點	12
歐拉特徵數	F=20, E=30, V=12 （χ=2）
虧格	0
組成與佈局
面的種類	20個正三角形
面的佈局 （英語：Face configuration）	20{3}
頂點圖	(35)/2
對稱性
對稱群	Ih, H3, [5,3], (*532)
特性
正、等面、等邊、等角
圖像
(35)/2 （頂點圖） 大星形十二面體 （對偶多面體）
閱 論 編

性質

大二十面體共有20個面、30條邊和12個頂點^[1][2]，20個面中，全部都是正三角形，且每個頂點都是5個三角形的公共頂點，但其以類似五角星的方式安排面的位置，使面互相相交，頂點圖為五角星，在施萊夫利符號中可以用{3,5/2}來表示，而在考克斯特符號（英語：Coxeter-Dynkin digram）中以表示。

頂點座標

邊長為1位於原點大二十面體的頂點座標為^[3]：

${\displaystyle (0,\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}})}$

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},0)}$

${\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},0,\pm {\frac {1}{2}})}$

二面角

大二十面體是一種正圖形，因此其每個二面角都相等，皆為兩個正三角形的棱之交角，其值為五平方根的三分之一之反餘弦值^[4]：

${\displaystyle \cos ^{-1}({\frac {\sqrt {5}}{3}})\approx 0.7297\approx 41.8103^{\circ }}$

相關多面體

名稱	大星形十二面體	截角大星形十二面體	大截半二十面體	截角大二十面體	大二十面體
考式（英語：Coxeter-Dynkin digram）
圖像

對偶複合體

主條目：複合大二十面體大星形十二面體（英語：Compound of great icosahedron and great stellated dodecahedron）

大二十面體與其對偶的複合體為複合大二十面體大星形十二面體。其共有32個面、60條邊和32個頂點，其尤拉示性數為4，虧格為-1，有12個非凸面^[5]，是一種截半二十面體的星形多面體^[6]。

從三角形的星狀圖

從五邊形的星狀圖

參考文獻

1. Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
2. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. The fifty-nine icosahedra 3rd. Tarquin. 1999. ISBN 978-1-899618-32-3. MR 0676126. (1st Edn University of Toronto (1938))
3. H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, 3.6 6.2 Stellating the Platonic solids, pp.96-104

1. Uniform Polyhedra 53: great icosahedron. mathconsult.ch. [2016-09-02]. （原始內容存檔於2016-03-25）.
2. great icosahedron. bulatov.org. [2016-09-02]. （原始內容存檔於2016-03-27）.
3. Data of Great Icosahedron. dmccooey.com. [2016-09-02]. （原始內容存檔於2016-09-02）.
4. Kepler-Poinsot Solids: Great Icosahedron. dmccooey.com. [2016-09-02]. （原始內容存檔於2016-03-24）.
5. compound of great stellated dodecahedron and great icosahedron. bulatov.org. [2016-09-02]. （原始內容存檔於2015-09-06）.
6. Weisstein, Eric W. (編). Great Icosahedron-Great Stellated Dodecahedron Compound. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. 大二十面體. MathWorld.