上積

代數拓撲中，上積或杯積（cup product）是將兩個度為p和q的上循環聯接起來，形成度為p+q的複合循環的方法。這定義了上同調中的結合（與分散）分次交換積，將空間X的上同調轉變為分次環${\displaystyle H^{*}(X)}$，稱作上同調環。上積由詹姆斯·韋德爾·亞歷山大、愛德華·切赫與哈斯勒·惠特尼於1935–1938年間提出，1944年塞繆爾·艾倫伯格給出了一般定義。

定義

奇異上同調中，上積構造給出了拓撲空間X的分次上同調環${\displaystyle H^{*}(X)}$上的積。

構造始於上鏈之積：若${\displaystyle \alpha ^{p}}$是p上鏈，且${\displaystyle \beta ^{q}}$是q上鏈，則

${\displaystyle (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})}$

其中σ是奇異${\displaystyle (p+q)}$-單純形，${\displaystyle S\subset \{0,1,...,p+q\}}$, ${\displaystyle \iota _{S}}$ 是S張成的單純形規範嵌入${\displaystyle (p+q)}$-單純形，後者的頂點索引為${\displaystyle \{0,...,p+q\}}$。

非正式地，${\displaystyle \sigma \circ \iota _{0,1,...,p}}$是σ的第p個正面（front face），${\displaystyle \sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}}$是σ的第q個背面（back face）。

上鏈${\displaystyle \alpha ^{p}}$與${\displaystyle \beta ^{q}}$的上積的上邊緣（coboundary）為

${\displaystyle \delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).}$

兩個上循環的上積仍是上循環，上邊緣與上循環（任意順序）的積仍是上邊緣。上積在上同調中引入了雙線性運算

${\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).}$

性質

上同調中的上積滿足以下特性

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}$

因此相應的乘法是分次交換的。

上積的函子性體現在以下方面：若

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

是連續函數，

${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)}$

是上同調中的誘導同態，則

${\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),}$

對${\displaystyle H^{*}(Y)}$中所有類α、β。也就是說，f ^*是（分次）環同態。

解釋

可將上積${\displaystyle \smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)}$視作由下面的組合誘導而來：

${\displaystyle \displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\to C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\to }}C^{\bullet }(X)}$

以${\displaystyle X}$與${\displaystyle X\times X}$的鏈復形表示，其中第一個映射是克奈映射，第二個映射由對角${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$誘導。

這個構成傳給商，便給出了良定義的上同調映射，這就是上積。這種方法解釋了上同調上積的存在，但沒有解釋同調上積：${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$誘導了映射${\displaystyle \Delta ^{*}\colon H^{\bullet }(X\times X)\to H^{\bullet }(X)}$，但還會誘導映射${\displaystyle \Delta _{*}\colon H_{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X\times X)}$，後者與我們定義積的方法相反。不過，這在定義下積時是有用的。

上積的這種表達體現了雙線性，即${\displaystyle (u_{1}+u_{2})\smile v=u_{1}\smile v+u_{2}\smile v}$；${\displaystyle u\smile (v_{1}+v_{2})=u\smile v_{1}+u\smile v_{2}.}$

例子

上積可用來區分流形和具有相同上同調群的空間之楔。空間${\displaystyle X:=S^{2}\vee S^{1}\vee S^{1}}$與環面T具有相同的上同調群，但具有不同的上積。在X的情況下，與 ${\displaystyle S^{1}}$相關的上鏈的乘法是退化的；而在T中，第一個上同調群中的乘法可用於將環面分解為2胞圖，從而使積等於Z（更一般地說是M，此處是基模）。

其他定義

上積與微分形式

在德拉姆上同調中，微分形式的上積由楔積導出。即，兩個閉微分形式的楔積屬於兩個原德拉姆類的上積的德拉姆類。

上積與幾何相交

環繞數可用鏈的補上的非零上積定義。這兩個鏈循環在 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$變形中的補退化為環面和2球的楔和，其有度為1、不為零的上積。

對於定向流形，有幾何啟發式，即「上積與相交是對偶的」。^[1][2]

令${\displaystyle M}$為${\displaystyle n}$維定向光滑流形。若兩個余維分別是i、j的子流形${\displaystyle A,B}$橫截著交，那麼它們的交${\displaystyle A\cap B}$又是余維是i + j的子流形。將這些流形的基本同調類的像置於包含（inclusion）之中，就可以得到同調上的雙線性積，與上積是龐加萊對偶的，即取龐加萊對${\displaystyle [A]^{*},[B]^{*}\in H^{i},H^{j}}$則有以下等式：

${\displaystyle [A]^{*}\smile [B]^{*}=[A\cap B]^{*}\in H^{i+j}(X,\mathbb {Z} )}$.^[1]

同樣，環繞數也可用交來定義，將維數移動1，或者用鏈之補上的非零上積來定義。

梅西積

梅西積推廣了上積，允許定義「高階環繞數「，即米爾諾不變量。

主條目：梅西積

上積是二元運算。可以定義三元甚至多元的高階運算，稱作梅西積，是上積的推廣。它是一種高階上同調運算，目前只定義了一部分（只定義了部分三元運算）。

另見

• 奇異同調
• 同調
• 下積
• 梅西積

參考文獻

1. Hutchings, Michael. Cup Product and Intersections (PDF). （原始內容存檔 (PDF)於2023-03-08）.
2. Ciencias TV, Informal talk in Derived Geometry (Jacob Lurie), 2016-12-10 [2018-04-26], （原始內容存檔於2021-12-21）

• James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback)
• Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3
• Allen Hatcher, "Algebraic Topology （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0