−3

-3
	數表 — 整數 << −10 −9‍ −8‍ −7 −6 −5‍ −4 −3 −2 −1 >>
命名
小寫	負三
大寫	負參
序數詞	第負三; negative third
識別
種類	整數
性質
質因數分解	一般不做質因數分解
因數	1、3
絕對值	3
相反數	3
表示方式
值	-3
算籌
二進制	−11(2)
三進制	−10(3)
四進制	−3(4)
五進制	−3(5)
八進制	−3(8)
十二進制	−3(12)
十六進制	−3(16)
	閱; 論; 編;

在數學中，負三記作 $-3$ ，是介於負四與負二之間的整數，為 $3$ 的加法反元素或相反數^[1]^:22^[2]，即其與三的和為零^[3]，偶爾會被視為3的逆反詞或相對概念^[4]。日常生活中通常不會用負三來計量事物，例如無法具體地描述何謂負三頭牛^[4]或持有負三顆蘋果^[5]。

快速預覽 ← −4 −3 −2 →, 命名 ...

關閉

負三經常在訊號處理領域被提及，因為負三分貝約為能量的一半^[6]。因此，負三分貝又稱為半能點^[7]，經常在濾波器、濾光器和放大器^[8]中使用^[9]。在國際單位制基本單位的表示法中，負三偶爾也會做為冪次來表達立方倒數，比如密度的單位kg･m^-3^[10]。

性質

負三為第二大的負奇數。最大的負奇數為負一，而負三為負一的三倍^[11]。
負三與無理數 $10\log _{10}\left({\tfrac {1}{2}}\right)\approx -3.0103$ 的值十分接近^[12]，因此在訊號處理領域中經常使用負三分貝代表能量為一半的情況^[6]。
負三是最大的負基本判別式（英語：Fundamental discriminant）^[13]，同時，在2-rank為0時，負三是絕對值最小的基本判別式^[14]。
負三能使連續三個奇數的乘積加一為平方數。有這種性質的奇數只有-3和1，而所有滿足n(n+2)(n+4)+1為平方數的整數只有11個，分別為-4, -3, -2, 0, 1, 2, 8, 10, 18, 112, 1272^[15]。
負三能使二次體 $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ 的類數為1，即 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ 的類數為1，亦即其整數環為唯一分解整環^{[註 1]}^[16]，且這個二次體在複平面上形成了一個六角網格，每個六邊形又可分成6個三角形（三角網格）^[17]^:289。
- 而根據史塔克-黑格納理論（英語：Stark–Heegner theorem），包含負三，有此性質的負數只有9個^[18]^[17]^:295^[19]^[20]，其對應的自然數稱為黑格納數^[21]。
- 此外負三也能使二次體 $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ 成為簡單歐幾里得整環（simply Euclidean fields，或稱歐幾里得範數整環，Norm-Euclidean fields）^[22]，即 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ 為簡單歐幾里得整環。有此性質的負數只有-11, -7, -3, -2, -1（OEIS數列A048981）^[23]。若放寬條件，則-15也能列入^[24]^[25]。
- 若考慮正數，則-3是第七個有此性質的數，前一個是-7、下一個是-2^[16]^[26]。
負三與負三的乘積為正九^[27]，即負三的平方為九^[28]，因此負三為九的平方根之一，即九的負平方根。^{[註 2]}
現有兩數i和j，i和j的乘積與六倍i和j的和相等，且其和與i、j皆為整數的結果只有8個解，負三是其中之一^[31]。
負三為四維超立方體（或四維超方形）下閉集合中歐拉示性數的最小值^[32]。

Remove ads

負三的因數

負三的因數有-3, -1, 1和3^[33]，這些因數與3的因數相同。在質因數分解中，雖然能夠透過將負一提出來完成質因數分解^[34]^[35]，即 $-3=\,$ $-1\times 3$ ，然而算術基本定理一般以探討正整數的質因數分解為主^[16]，因此一般不會對負的整數進行質因數分解。^[36]

負三次冪

若一數的冪為負三次，則其可以視為立方的倒數，例如日常生活中常用的密度 CGS制單位g/cm³^[37]，其因此可以表示為質量乘以長度的立方倒數，計為ML^-3，此時負三用以表示立方的倒數^[38]。

而立方倒數中的相關議題還有立方倒數和。自然數的負三次次方和（立方倒數和）會收斂並趨近於阿培里常數，即：

$\sum _{n=1}^{\infty }{n^{-3}}$ =　 ${\frac {\pi ^{2}}{7}}\left\{1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right\}\approx 1.202056903$ ^[39]

即全體自然數的負三次方和會收斂在這個數。其值約為1.202056903。同時其也是Zeta函式代入3的結果^[39]。

Remove ads

表示方法

負三通常以在3前方加入負號表示^[1]^:28^[40]，通常稱為「負三」或大寫「負叄」、「負叄」或「負參」，而在某些場合中，會以「零下三」表達-3，例如在表達溫度時^[41]^[42]。而在英語中通常以negative three（負三）表示，比較不會以minus three（減三）表示^[43]。

在二進制時，尤其是計算機運算，負數的表示通常會以二補數來表示^[44]，即將所有位數填上1，再向下減。此時，負三計為「......11111101₍₂₎」，例如，在八位元的二補數二進制中，負三會以「11111101₍₂₎」表示，正三會以「00000011₍₂₎」；而在使用負號的表示法中，負三計為「-11₍₂₎」，亦有在最高位填1表示其為負之表示法，此時負三表示為「10000011₍₂₎」^[45]。

在其他領域中

當分貝數為負三時，能量約為一半，又稱為半能點^[7]。
智慧型不足輕度與中度的分界為智力測驗平均值的負三個標準差上^[46]
關於十的負三次冪10^-3，其為SI字首之一，可以用m （Milli）表示。^[47]例如：1毫米為10^-3米、1毫克為10^-3克^[48]。
- 同時10^-3也能代表毫^[49]，以及日本的單位毛（日語：毛 (数)）^[50]。
密度的因次是ML^-3，對應的SI制單位可以表示為kg･m^-3。^[10]^[51] 而加加速度的因次與單位也能用負三次冪表示，其因次計為LT^-3、對應的單位可以用m･s^-3表示。^[52]
部分紀年方法或計算機程式^{[註 3]}容許負值的公元年，此時負三年代表的意義為公元前4年^[54]，同理，對世紀而言負三世紀代表公元前4世紀。^[55]
《-3℃》為岩井由紀子1987年發行的單曲。^[56]
火星^[57]和木星^[58]有時會被歸類在負三等星。此外負三等星亦用於火流星的定義：比負三等星亮的流星稱為火流星^[59]。
- 當金星位於相對於地球上的太陽背光位置時，其平均視星等約為負三等。^[57]而金星實際上的視星等會在−4.92等和−2.98等之間變動，平均約在−4.14等左右。^[60]
協調世界時為UTC−3表示比協調世界時慢3小時。^[61]
硫酸兩個pKa，分別是−3.0和1.99。^[62]^[63]
3-氟丙烯的沸點是−3 °C。^[64]

Remove ads

參見

3
-3 dB（半能點）
前3年

註釋

[註 1]
當d<0時，若 $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ 的整數環為唯一分解整環，就表示 $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ 的數字都只有一種因數分解方式，例如 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-5}}]$ 的整數環不是唯一分解整環，因為6可以以兩種方式在 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 中表成整數乘積： $2\times 3$ 和 $(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$ 。
[註 2]
三的平方為九、負三的平方亦為九，故兩者皆為九的平方根^[29]^[30]
[註 3]
許多計算機程式庫會實作零年的功能，例如Perl CPAN 的 DateTime module^[53]。

Remove ads

參考文獻

[1]
Kilhamn, Cecilia. Making Sense of Negative Numbers (Ph.D.論文). University of Gothenburg. 2011. doi:10.13140/RG.2.1.1575.0649.
[2]
Glaeser Georges. Épistémologie des nombres relatifs. Recherches en Didáctique des mathématique: pp.303–346.
[3]
Negative Numbers: Overview § The number -3 (negative three). eduplace.com. [2020-03-20]. （原始內容存檔於2012-04-04）.
[4]
你沒聽過的邏輯課: 探索魔術、博奕、運動賽事背後的法則. Learn系列. 時報. 2015: 203. ISBN 9789571363189.
[5]
Martinez, A.A. Negative Math: How Mathematical Rules Can be Positively Bent. Princeton University Press. 2006: 14. ISBN 9780691123097. LCCN 2005043377.
[6]
Antenna Introduction / Basics (PDF), [2017-08-08], （原始內容存檔 (PDF)於2017-08-28）
[7]
Power bandwidth - MATLAB powerbw. uk.mathworks.com. [2017-08-05]. （原始內容存檔於2021-03-01）.
[8]
Collin Wells. Stability 2 - Op Amps (PDF). TI training Labs. [2020-04-16]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-02-24）.
[9]
Schlessinger, Monroe. Infrared technology fundamentals 2nd ed., rev. and expanded. New York: M. Dekker. 1995 [2020-03-20]. ISBN 0824792599. （原始內容存檔於2017-08-05）.
[10]
International Bureau of Weights and Measures, The International System of Units (SI) (PDF) 8th, 2006, ISBN 92-822-2213-6 （英語）
[11]
Anglin, K.L. CliffsQuickReview Math Word Problems. John Wiley & Sons. 2007: 122. ISBN 9780470197264.
[12]
Cox, J.F. Fundamentals of Linear Electronics: Integrated and Discrete. Delmar Thomson Learning. 2002: 440. ISBN 9780766830189. LCCN 2001028356.
[13]
Weisstein, Eric W. (編). Fundamental Discriminant. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-03-18] （英語）.
[14]
Sloane, N.J.A. (編). Sequence A228251 (Fundamental discriminant of least absolute value with class group of 2-rank n.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
[15]
Sloane, N.J.A. (編). Sequence A258692 (Integers n such that n*(n + 2)*(n + 4) + 1 is a perfect square.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
[16]
Hardy, Godfrey Harold; Wright, E. M., An introduction to the theory of numbers Fifth, The Clarendon Press Oxford University Press: 213, 1979 [1938], ISBN 978-0-19-853171-5, MR 0568909
[17]
Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston, Springer Science & Business Media. 2012. ISBN 9781461202516. LCCN 94027688.
[18]
Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X.
[19]
Stark, H. M., On the gap in the theorem of Heegner (PDF), Journal of Number Theory, 1969, 1: 16–27 [2020-03-20], doi:10.1016/0022-314X(69)90023-7, （原始內容存檔 (PDF)於2012-02-11）
[20]
Weisstein, Eric W. (編). Heegner Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-03-14] （英語）.
[21]
Sloane, N.J.A. (編). Sequence A003173 (Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization (or class number 1).). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
[22]
Kyle Bradford and Eugen J. Ionascu, Unit Fractions in Norm-Euclidean Rings of Integers, arXiv, 2014 [2020-03-20], （原始內容存檔於2020-03-26）
[23]
LeVeque, William J. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. 2002: II:57,81 [1956]. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.
[24]
Kelly Emmrich and Clark Lyons. Norm-Euclidean Ideals in Galois Cubic Fields (PDF). 2017 West Coast Number Theory Conference. 2017-12-18 [2020-03-20]. （原始內容存檔 (PDF)於2020-03-26）.
[25]
Sloane, N.J.A. (編). Sequence A296818 (Squarefree values of n for which the quadratic field Q[ sqrt(n) ] possesses a norm-Euclidean ideal class.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
[26]
Sloane, N.J.A. (編). Sequence A061574 (Simple quadratic fields (i.e., with a unique prime factorization).). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
[27]
Babbage, K.J. Extreme Learning. ScarecrowEducation. 2004: 43. ISBN 9781578861408. LCCN 2004001279.
[28]
GMAT, M. Foundations of GMAT Math. Manhattan Prep GMAT Strategy Guides. Manhattan Prep Publishing. 2011: 73. ISBN 9780979017599.
[29]
Square Root Calculator. calculatorsoup.com. [2020-04-25]. （原始內容存檔於2017-05-24）. For example, the square roots of 9 are -3 and +3, since (-3)² = (+3)² = 9.
[30]
Squares and Square Roots, § Negatives. mathsisfun.com. [2020-04-25]. （原始內容存檔於2020-08-12）. square root of 9 could be −3 or +3
[31]
Sloane, N.J.A. (編). Sequence A307179 (Numbers k such that k = i*j = 6*i + j, where i and j are integers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
[32]
Sloane, N.J.A. (編). Sequence A214283 (Smallest Euler characteristic of a downset on an n-dimensional cube). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
[33]
Factors of a Negative Number. sciencing.com. 2018-03-18 [2020-03-20]. （原始內容存檔於2017-07-01）.
[34]
José Luis Gómez Pardo. Introduction to Cryptography with Maple. SpringerLink : Bücher. Springer Berlin Heidelberg. 2012: 336. ISBN 9783642321665. LCCN 2012944964.
[35]
Bard, G.V. Sage for Undergraduates. American Mathematical Society. 2015: 269. ISBN 9781470411114. LCCN 14033572.
[36]
Nathanson, M. B. Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 195. Springer-Verlag. 2000 [2022-08-24]. ISBN 0-387-98912-9. MR 1732941. Zbl 0953.11002. （原始內容存檔於2020-09-23）.
[37]
What is a gram per cubic centimeter [g/cm³], a unit of density. AVCalc. [2019-05-18]. （原始內容存檔於2019-05-18）（英語）.
[38]
Gram Per Cubic Centimeter. eFunda. [2019-05-18]. （原始內容存檔於2019-05-18）（英語）.
[39]
Wedeniwski, Sebastian, Simon Plouffe , 編, The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places, Project Gutenberg, 2001 [2020-03-20], （原始內容存檔於2021-10-23）
[40]
James W. Brennan. The Real Number System. jamesbrennan.org. [2020-04-16]. （原始內容存檔於2020-02-19）.
[41]
別以為印度沒有冬天！零下三度，他們靠這些取暖. 天下雜誌. 2019年11月17日.
[42]
Dummies, C. Years 6 - 8 Maths For Students. Wiley. 2015: 25. ISBN 9780730326809.
[43]
Alshwaikh, Jehad and Adler, Jill. Researchers and teachers as learners in Lesson Study. 2017-04: 10. ISBN 978-0-9922269-4-7.
[44]
E.g. Section 4.2.1 in Intel 64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual, Signed integers are two's complement binary values that can be used to represent both positive and negative integer values., Volume 1: Basic Architecture, 2006-11
[45]
Ryan Chadwick. Binary Negative Numbers. ryanstutorials.net. [2020-04-16]. （原始內容存檔於2017-08-17）.
[46]
兒童發展與輔導. 教師檢定.教師甄試叢書. 志光教育文化. 2005: 1-10,1-11. ISBN 9789861280219.
[47]
AdvancedPhysics Summer Assignment. (PDF). ponderisd.net.
[48]
單位符號用語. tlri.gov.tw. [2020-04-25]. （原始內容存檔於2017-08-01）.
[49]
魯特. 比特幣精粹. Bai xiang wen hua shi ye you xian gong si. 2018. ISBN 9789863587163.
[50]
数の単位. ashiya.ne.jp. [2020-04-16]. （原始內容存檔於2017-08-27）.
[51]
The National Aeronautic and Atmospheric Administration's Glenn Research Center. Gas Density Glenn research Center. grc.nasa.gov. [2013-04-09]. （原始內容存檔於2013-04-14）.
[52]
Jazar, R.N. Approximation Methods in Science and Engineering. : 21. ISBN 9781071604809.
[53]
Floating DateTimes. [2020-03-26]. （原始內容存檔於2020-03-05）.
[54]
Espenak, Fred. Year Dating Conventions. NASA Eclipse Web Site. NASA. [2009-02-19]. （原始內容存檔於2009-02-08）.
[55]
Richards, E. G. Calendars. Urban, Sean E.; Seidelmann, P. Kenneth (編). Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac 3. Mill Valley, CA: Univ Science Books. 2013: 591. ISBN 1-891389-85-8.
[56]
あの曲も!? 作詞家・及川眠子の集大成「ネコイズム」2・21発売「淋しい熱帯魚」「残酷な天使のテーゼ」ほかヒット曲ずらり. tvlife.jp. 2017-12-31 [2020-03-20]. （原始內容存檔於2020-09-22）.
[57]
Mallama, A. Planetary magnitudes. Sky & Telescope. 2011, 121 (1): 51–56.
[58]
Silverman, S.M. and Mullen, E.G. and Air Force Cambridge Research Laboratories (U.S.). Sky Brightness During Eclipses: A Compendium from the Literature. AFCRL TR. Air Force Cambridge Research Laboratories, Air Force Systems Command, United States Air Force. 1974: 27-29.
[59]
火流星概說. vm.nthu.edu.tw. [2020-04-25]. （原始內容存檔於2019-12-24）.
[60]
Mallama, Anthony; Hilton, James L. Computing apparent planetary magnitudes for The Astronomical Almanac. Astronomy and Computing. 2018-10, 25: 10–24. Bibcode:2018A&C....25...10M. arXiv:1808.01973 . doi:10.1016/j.ascom.2018.08.002.
[61]
Newfoundland-Labrador Time Zone – Newfoundland-Labrador Current Local Time – Daylight Saving Time. TimeTemperature.com. [2012-10-26]. （原始內容存檔於2012-10-23）.
[62]
Wenyi Zhao. Handbook for Chemical Process Research and Development. CRC Press, 2016. 2.1.1.2 Sulfuric Acid. ISBN 9781315350202
[63]
Andrew Burrows, John Holman, Andrew Parsons, Gwen Pilling, Gareth Price. Chemistry³: Introducing Inorganic, Organic and Physical Chemistry. OUP Oxford, 2013. pp 329. The strengths of oxoacids. ISBN 9780199691852
[64]
Haynes, W. M. (2014). CRC Handbook of Chemistry and Physics 95ed. CRC Press. ISBN 97814822-08689.

[16] [註 1]
當d<0時，若 $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ 的整數環為唯一分解整環，就表示 $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ 的數字都只有一種因數分解方式，例如 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-5}}]$ 的整數環不是唯一分解整環，因為6可以以兩種方式在 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 中表成整數乘積： $2\times 3$ 和 $(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$ 。

[32] [註 2]
三的平方為九、負三的平方亦為九，故兩者皆為九的平方根^[29]^[30]

[56] [註 3]
許多計算機程式庫會實作零年的功能，例如Perl CPAN 的 DateTime module^[53]。

[Kilhamn,_Cecilia_2011-1] [1]
Kilhamn, Cecilia. Making Sense of Negative Numbers (Ph.D.論文). University of Gothenburg. 2011. doi:10.13140/RG.2.1.1575.0649.

[2] [2]
Glaeser Georges. Épistémologie des nombres relatifs. Recherches en Didáctique des mathématique: pp.303–346.

[3] [3]
Negative Numbers: Overview § The number -3 (negative three). eduplace.com. [2020-03-20]. （原始內容存檔於2012-04-04）.

[book_2015你沒聽過的邏輯課-4] [4]
你沒聽過的邏輯課: 探索魔術、博奕、運動賽事背後的法則. Learn系列. 時報. 2015: 203. ISBN 9789571363189.

[book_martinez2006negative-5] [5]
Martinez, A.A. Negative Math: How Mathematical Rules Can be Positively Bent. Princeton University Press. 2006: 14. ISBN 9780691123097. LCCN 2005043377.

[phys.hawaii.edu_antennas.pdf-6] [6]
Antenna Introduction / Basics (PDF), [2017-08-08], （原始內容存檔 (PDF)於2017-08-28）

[MATLAB_Power_bandwidth-7] [7]
Power bandwidth - MATLAB powerbw. uk.mathworks.com. [2017-08-05]. （原始內容存檔於2021-03-01）.

[8] [8]
Collin Wells. Stability 2 - Op Amps (PDF). TI training Labs. [2020-04-16]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-02-24）.

[9] [9]
Schlessinger, Monroe. Infrared technology fundamentals 2nd ed., rev. and expanded. New York: M. Dekker. 1995 [2020-03-20]. ISBN 0824792599. （原始內容存檔於2017-08-05）.

[SIbrochure8th-10] [10]
International Bureau of Weights and Measures, The International System of Units (SI) (PDF) 8th, 2006, ISBN 92-822-2213-6 （英語）

[11] [11]
Anglin, K.L. CliffsQuickReview Math Word Problems. John Wiley & Sons. 2007: 122. ISBN 9780470197264.

[cox2002fundamentals-12] [12]
Cox, J.F. Fundamentals of Linear Electronics: Integrated and Discrete. Delmar Thomson Learning. 2002: 440. ISBN 9780766830189. LCCN 2001028356.

[13] [13]
Weisstein, Eric W. (編). Fundamental Discriminant. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-03-18] （英語）.

[14] [14]
Sloane, N.J.A. (編). Sequence A228251 (Fundamental discriminant of least absolute value with class group of 2-rank n.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[15] [15]
Sloane, N.J.A. (編). Sequence A258692 (Integers n such that n*(n + 2)*(n + 4) + 1 is a perfect square.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[An_introduction_to_the_theory_of_numbers-17] [16]
Hardy, Godfrey Harold; Wright, E. M., An introduction to the theory of numbers Fifth, The Clarendon Press Oxford University Press: 213, 1979 [1938], ISBN 978-0-19-853171-5, MR 0568909

[book_riesel2012prime-18] [17]
Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston, Springer Science & Business Media. 2012. ISBN 9781461202516. LCCN 94027688.

[19] [18]
Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X.

[20] [19]
Stark, H. M., On the gap in the theorem of Heegner (PDF), Journal of Number Theory, 1969, 1: 16–27 [2020-03-20], doi:10.1016/0022-314X(69)90023-7, （原始內容存檔 (PDF)於2012-02-11）

[21] [20]
Weisstein, Eric W. (編). Heegner Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-03-14] （英語）.

[22] [21]
Sloane, N.J.A. (編). Sequence A003173 (Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization (or class number 1).). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[misc_bradford2014unit-23] [22]
Kyle Bradford and Eugen J. Ionascu, Unit Fractions in Norm-Euclidean Rings of Integers, arXiv, 2014 [2020-03-20], （原始內容存檔於2020-03-26）

[24] [23]
LeVeque, William J. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. 2002: II:57,81 [1956]. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.

[25] [24]
Kelly Emmrich and Clark Lyons. Norm-Euclidean Ideals in Galois Cubic Fields (PDF). 2017 West Coast Number Theory Conference. 2017-12-18 [2020-03-20]. （原始內容存檔 (PDF)於2020-03-26）.

[26] [25]
Sloane, N.J.A. (編). Sequence A296818 (Squarefree values of n for which the quadratic field Q[ sqrt(n) ] possesses a norm-Euclidean ideal class.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[27] [26]
Sloane, N.J.A. (編). Sequence A061574 (Simple quadratic fields (i.e., with a unique prime factorization).). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[28] [27]
Babbage, K.J. Extreme Learning. ScarecrowEducation. 2004: 43. ISBN 9781578861408. LCCN 2004001279.

[gmat2011foundations-29] [28]
GMAT, M. Foundations of GMAT Math. Manhattan Prep GMAT Strategy Guides. Manhattan Prep Publishing. 2011: 73. ISBN 9780979017599.

[30] [29]
Square Root Calculator. calculatorsoup.com. [2020-04-25]. （原始內容存檔於2017-05-24）. For example, the square roots of 9 are -3 and +3, since (-3)² = (+3)² = 9.

[31] [30]
Squares and Square Roots, § Negatives. mathsisfun.com. [2020-04-25]. （原始內容存檔於2020-08-12）. square root of 9 could be −3 or +3

[33] [31]
Sloane, N.J.A. (編). Sequence A307179 (Numbers k such that k = i*j = 6*i + j, where i and j are integers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[34] [32]
Sloane, N.J.A. (編). Sequence A214283 (Smallest Euler characteristic of a downset on an n-dimensional cube). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[35] [33]
Factors of a Negative Number. sciencing.com. 2018-03-18 [2020-03-20]. （原始內容存檔於2017-07-01）.

[book_pardo2012introduction-36] [34]
José Luis Gómez Pardo. Introduction to Cryptography with Maple. SpringerLink : Bücher. Springer Berlin Heidelberg. 2012: 336. ISBN 9783642321665. LCCN 2012944964.

[book_bard2015sage-37] [35]
Bard, G.V. Sage for Undergraduates. American Mathematical Society. 2015: 269. ISBN 9781470411114. LCCN 14033572.

[38] [36]
Nathanson, M. B. Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 195. Springer-Verlag. 2000 [2022-08-24]. ISBN 0-387-98912-9. MR 1732941. Zbl 0953.11002. （原始內容存檔於2020-09-23）.

[39] [37]
What is a gram per cubic centimeter [g/cm³], a unit of density. AVCalc. [2019-05-18]. （原始內容存檔於2019-05-18）（英語）.

[40] [38]
Gram Per Cubic Centimeter. eFunda. [2019-05-18]. （原始內容存檔於2019-05-18）（英語）.

[Zeta(3)-41] [39]
Wedeniwski, Sebastian, Simon Plouffe , 編, The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places, Project Gutenberg, 2001 [2020-03-20], （原始內容存檔於2021-10-23）

[42] [40]
James W. Brennan. The Real Number System. jamesbrennan.org. [2020-04-16]. （原始內容存檔於2020-02-19）.

[43] [41]
別以為印度沒有冬天！零下三度，他們靠這些取暖. 天下雜誌. 2019年11月17日.

[dummies2015years-44] [42]
Dummies, C. Years 6 - 8 Maths For Students. Wiley. 2015: 25. ISBN 9780730326809.

[inbook_Alshwaikh_inbook-45] [43]
Alshwaikh, Jehad and Adler, Jill. Researchers and teachers as learners in Lesson Study. 2017-04: 10. ISBN 978-0-9922269-4-7.

[46] [44]
E.g. Section 4.2.1 in Intel 64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual, Signed integers are two's complement binary values that can be used to represent both positive and negative integer values., Volume 1: Basic Architecture, 2006-11

[47] [45]
Ryan Chadwick. Binary Negative Numbers. ryanstutorials.net. [2020-04-16]. （原始內容存檔於2017-08-17）.

[book_2005兒童發展與輔導-48] [46]
兒童發展與輔導. 教師檢定.教師甄試叢書. 志光教育文化. 2005: 1-10,1-11. ISBN 9789861280219.

[49] [47]
AdvancedPhysics Summer Assignment. (PDF). ponderisd.net.

[50] [48]
單位符號用語. tlri.gov.tw. [2020-04-25]. （原始內容存檔於2017-08-01）.

[2018比特幣精粹-51] [49]
魯特. 比特幣精粹. Bai xiang wen hua shi ye you xian gong si. 2018. ISBN 9789863587163.

[52] [50]
数の単位. ashiya.ne.jp. [2020-04-16]. （原始內容存檔於2017-08-27）.

[53] [51]
The National Aeronautic and Atmospheric Administration's Glenn Research Center. Gas Density Glenn research Center. grc.nasa.gov. [2013-04-09]. （原始內容存檔於2013-04-14）.

[jazarapproximation-54] [52]
Jazar, R.N. Approximation Methods in Science and Engineering. : 21. ISBN 9781071604809.

[55] [53]
Floating DateTimes. [2020-03-26]. （原始內容存檔於2020-03-05）.

[nasa-eclipses-57] [54]
Espenak, Fred. Year Dating Conventions. NASA Eclipse Web Site. NASA. [2009-02-19]. （原始內容存檔於2009-02-08）.

[58] [55]
Richards, E. G. Calendars. Urban, Sean E.; Seidelmann, P. Kenneth (編). Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac 3. Mill Valley, CA: Univ Science Books. 2013: 591. ISBN 1-891389-85-8.

[59] [56]
あの曲も!? 作詞家・及川眠子の集大成「ネコイズム」2・21発売「淋しい熱帯魚」「残酷な天使のテーゼ」ほかヒット曲ずらり. tvlife.jp. 2017-12-31 [2020-03-20]. （原始內容存檔於2020-09-22）.

[MallamaSky-60] [57]
Mallama, A. Planetary magnitudes. Sky & Telescope. 2011, 121 (1): 51–56.

[book_silverman1974sky-61] [58]
Silverman, S.M. and Mullen, E.G. and Air Force Cambridge Research Laboratories (U.S.). Sky Brightness During Eclipses: A Compendium from the Literature. AFCRL TR. Air Force Cambridge Research Laboratories, Air Force Systems Command, United States Air Force. 1974: 27-29.

[62] [59]
火流星概說. vm.nthu.edu.tw. [2020-04-25]. （原始內容存檔於2019-12-24）.

[Mallama_and_Hilton-63] [60]
Mallama, Anthony; Hilton, James L. Computing apparent planetary magnitudes for The Astronomical Almanac. Astronomy and Computing. 2018-10, 25: 10–24. Bibcode:2018A&C....25...10M. arXiv:1808.01973 . doi:10.1016/j.ascom.2018.08.002.

[ttnl-64] [61]
Newfoundland-Labrador Time Zone – Newfoundland-Labrador Current Local Time – Daylight Saving Time. TimeTemperature.com. [2012-10-26]. （原始內容存檔於2012-10-23）.

[65] [62]
Wenyi Zhao. Handbook for Chemical Process Research and Development. CRC Press, 2016. 2.1.1.2 Sulfuric Acid. ISBN 9781315350202

[66] [63]
Andrew Burrows, John Holman, Andrew Parsons, Gwen Pilling, Gareth Price. Chemistry³: Introducing Inorganic, Organic and Physical Chemistry. OUP Oxford, 2013. pp 329. The strengths of oxoacids. ISBN 9780199691852

[67] [64]
Haynes, W. M. (2014). CRC Handbook of Chemistry and Physics 95ed. CRC Press. ISBN 97814822-08689.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[註 1]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[註 2]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[註 3]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[29]

[30]

[53]