1 + 2 + 3 + 4 + …
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無窮級數中1 + 2 + 3 + 4 + …為所有自然數的和,是一個發散級數,其數學式也寫作
儘管這個級數的和第一眼看起來不會有任何有意義的值,透過黎曼ζ函數正規化與拉馬努金求和等方法可產生一有限值 ,表示為:
自然數從 1 加到 n 的和是 能用許多方法證明。首先令
我們將這些項重排反著寫:
將兩者相加,對應項相加,我們得到
當 s 的實部大於 1,s 次方的黎曼ζ函數等於求和 。當 s 的實部小於或等於 1 時和式發散,但當 s = −1 時 由 ζ(s) 的解析延拓給出 ζ(−1) 為 。
在玻色弦理論中,我們想算出一個弦的可能的能量級,特別是最低能量級。非正式地說,每一個弦的諧波可以視為一組 無關量子諧振子,這裡 是時空的維數。如果基本振子頻率是 則一個振子對 級諧波的貢獻是 。所以利用發散級數我們發現在所有諧波上求和是 。最後這確實是正確的,與Goddard–Thorn theorem一起,導致波色弦理論在維數不為 26 時是不一致的。
一個類似的計算是計算卡西米爾力。
在拉馬努金寫給戈弗雷·哈羅德·哈代的第二封信中(日期為1913年2月27日):
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