霍奇對偶

數學中，霍奇星算子（Hodge star operator）或霍奇對偶（Hodge dual）由蘇格蘭數學家威廉·霍奇（Hodge）引入的一個重要的線性映射。它定義在有限維定向內積空間的外代數上。

維數與代數

霍奇星算子在 k-形式空間與 (n -k)-形式空間建立了一個對應。一個 k-形式在這個對應下的像稱為這個 k-形式的霍奇對偶。k-形式空間的維數是

${\displaystyle {n \choose k},\,}$

後一個空間的維數是

${\displaystyle {n \choose n-k},\,}$

又由二項式係數的對稱性，這兩個維數事實上相等。兩個具有相同維數的形式空間總同構；但不一定有一種自然或典範的方式。但霍奇對偶性利用了向量空間內積和定向，給出了一個特定的同構，因此在代數上這反應了二項式係數的性質。這也在 k-形式空間上誘導了一個內積。「自然」定義意味著這個對偶性關係在理論中可起幾何作用。

第一個有趣的情形是在三維歐幾里得空間 V。在這種情形，帕斯卡三角形相關行是

1, 3, 3, 1

霍奇對偶在兩個三維空間之間建立起一個同構，一個是 V 自己，另一個是 V 中兩個向量的楔積。具體細節參見例子一節。叉積只是三維的特殊性質，但霍奇對偶在所有維數都有效。

擴張

由於一個向量空間上 k 個變量的交錯線性形式空間自然同構於那個向量空間上的 k-向量空間的對偶，霍奇對偶也能對這些空間定義。與線性代數的大部分構造一樣，霍奇對偶可以擴張到一個向量叢。這樣的霍奇對偶特別常見的是在餘切叢的外代數（即流形上的微分形式）上，可用來從外導數構造余微分（codifferential），以及拉普拉斯-德拉姆算子，它導致了緊黎曼流形上微分形式的霍奇分解。

k-向量的霍奇星號的正式定義

一個定向內積向量空間 V 上的霍奇星算子是 V 的外代數（${\displaystyle \Lambda (V)}$）上的一個線性算子，是 k-向量子空間（${\displaystyle \Lambda ^{k}(V)}$） 與 (n-k)-向量子空間（${\displaystyle \Lambda ^{n-k}(V)}$） 之間的線性映射，這裡 ${\displaystyle 0\leq k\leq n,\,n=\dim V}$。它具有如下性質，這些性質完全定義了霍奇星算子：給定一個定向正交基 ${\displaystyle e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}}$ 我們有

${\displaystyle \star (e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}})=e_{i_{k+1}}\wedge e_{i_{k+2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{n}},}$

其中 ${\displaystyle (i_{1},i_{2},\cdots ,i_{n})}$ 是 ${\displaystyle (1,2,\dots ,n)}$ 的一個偶排列。

特別是我們有，

${\displaystyle *(e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k})=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \dots \wedge e_{n}.}$

星算子的指標記法

使用指標記法，霍奇對偶由縮並一個 k-形式與 n-維完全反對稱列維-奇維塔張量的指標得到。這不同於列維-奇維塔符號有一個額外因子 (det g)^½，這裡 g 是一個內積（如果 g 不是正定的，比如洛倫茲流形的切空間，則取行列式的絕對值）。

從而有

${\displaystyle (*\eta )_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n-k}}={\frac {1}{k!}}\eta ^{j_{1},\ldots ,j_{k}}\,{\sqrt {|\det g|}}\,\epsilon _{j_{1},\ldots ,j_{k},i_{1},\ldots ,i_{n-k}},\,}$

這裡 η 是任意一個反對稱 k 階張量。利用在定義列維-奇維塔張量中同一個內積 g 上升和下降指標。當然也可以對任何張量取星號，所得是反對稱的，因為張量的對稱分量在與完全反對稱列維-奇維塔張量縮並時完全抵消了。

例子

星算子一個常見例子是在 n = 3，可以做為 3 維向量與斜對稱矩陣之間的對應。這不明顯地使用於向量分析中，例如由兩個向量的楔積產生叉積向量。具體地說，對歐幾里得空間 R³，容易發現

${\displaystyle *\mathrm {d} x=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}$

和

${\displaystyle *\mathrm {d} y=\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x}$

以及

${\displaystyle *\mathrm {d} z=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$

這裡 dx、dy 與 dz 是 R³ 上的標準正交微分1-形式。霍奇對偶在此情形顯然對應於三維中的叉積。

當 n = 4 時，霍奇對偶作用在第二外冪（6 維）上是自同態。它是一個對合，從而可以分解為子對偶與反自對偶子空間，在這兩個子空間上的作用分別為 +1 和 -1。

另一個有用的例子是 n = 4 閔可夫斯基時空，具有度量符號為 (+,-,-,-,) 與坐標 (t,x,y,z)，對1-形式有

${\displaystyle *\,\mathrm {d} t=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}$

${\displaystyle *\,\mathrm {d} x=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}$

${\displaystyle *\,\mathrm {d} y=-\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z}$

${\displaystyle *\,\mathrm {d} z=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$

對2-形式有

${\displaystyle *\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x=-\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}$

${\displaystyle *\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z}$

${\displaystyle *\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z=-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$

${\displaystyle *\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z}$

${\displaystyle *\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z=-\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y}$

${\displaystyle *\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x}$

k-向量的內積

霍奇對偶在 k-向量空間上誘導了一個內積，即在 V 的外代數上。給定兩個 k-向量 ${\displaystyle \eta }$ 與 ${\displaystyle \zeta }$，有

${\displaystyle \zeta \wedge *\eta =\langle \zeta ,\eta \rangle \;\omega ,\,}$

這裡 ω 是正規化的體積形式。可以證明 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ 是一個內積，它是半雙線性的，並定義了一個範數。反之，如果在 ${\displaystyle \Lambda ^{k}(V)}$ 上給了一個內積，則這個等式可以做為霍奇對偶的另一種定義^[1]。

本質上，V 的正交基元素的楔積組成了 V 的外代數的一個正交基。當霍奇星號擴張到流形上，可以證明體積形式能寫做

${\displaystyle \omega ={\sqrt {|\det g_{ij}|}}\;dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n},\,}$

其中 ${\displaystyle g_{ij}}$ 是流形的度量。

對偶性

當作用兩次時霍奇星號定義了一個對偶，不考慮符號的話，所得結果是外代數上一個恆等式。給定 n-維空間 V 上一個 k-向量 ${\displaystyle \eta \in \Lambda ^{k}(V)}$，我們有

${\displaystyle **\eta =(-1)^{k(n-k)}s\;\eta ,\,}$

這裡 s 與 V 上內積的符號有關。具體說，s 是內積張量行列式的符號。例如，如果 n = 4 時，若內積的符號是 (+,-,-，-) 或 (-,+,+,+) 則 s = -1。對普通的歐幾里得空間，符號總是正的，所以 s = +1。在普通向量空間，這一般不是一個問題。當霍奇星號擴張到偽-黎曼流形上時，上面的內積理解為對角形式的度量。

流形上的霍奇星號

在一個 n-維定向黎曼或偽黎曼流形上每一點的切空間上可以重複如上構造，將得到 k-形式的霍奇對偶，是一個 n- k 形式。霍奇星號在流形上的微分形式上誘導了一個 L²-範數。對 ${\displaystyle \Lambda ^{k}(M)}$ 的空間截面 ${\displaystyle \eta }$ 與 ${\displaystyle \zeta }$，其內積可寫做

${\displaystyle (\eta ,\zeta )=\int _{M}\eta \wedge *\zeta .\,}$

（截面的集合通常記做 ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)=\Gamma (\Lambda ^{k}(M))}$；裡面的元素稱為外 k-形式。）

更一般地，在非定向情形，我們可以定義 k-形式的霍奇星號維一個 (n - k)-偽微分形式；即取值於典範線叢的一個微分形式。

餘微分

霍奇星號在流形上最重要的應用是用來定義餘微分 δ。令

${\displaystyle \delta =(-1)^{nk+n+1}*d*\,}$

這裡 d 是外導數。對黎曼流形 s = +1 。

${\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M),\,}$

而

${\displaystyle \delta :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M).\,}$

相比於外導數，餘微分不是外代數上的反導子。

餘微分在是外微分的伴隨：

${\displaystyle \langle \delta \zeta ,\eta \rangle =\langle \zeta ,d\eta \rangle .\,}$

這個恆等式是因為體積形式 ω 滿足 dω = 0，從而

${\displaystyle \int _{M}d(\zeta \wedge *\eta )=0.\,}$

拉普拉斯–德拉姆算子由

${\displaystyle \Delta =\delta d+d\delta }$

給出，是霍奇理論的核心。它有對稱性：

${\displaystyle \langle \Delta \zeta ,\eta \rangle =\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle ,\,}$

以及非負：

${\displaystyle \langle \Delta \eta ,\eta \rangle \geq 0.\,}$

霍奇星號將一個調和形式變成調和形式。作為霍奇定理的一個推論，德拉姆上同調自然同構於調和 k-形式空間，從而霍奇星號誘導了上同調群之間一個同構

${\displaystyle \star :H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),\,}$

通過龐加萊對偶性，這給出了 H^k(M) 與它的對偶空間的一個典範等價。

三維中的導數

${\displaystyle \ast }$ 算子與外導數 ${\displaystyle d}$ 的組合推廣了三維經典算子 grad、curl 和 div。具體做法如下：${\displaystyle d}$ 將一個 0-形式（函數）變成 1-形式，1-形式變成 2-形式，2-形式變成 3-形式（應用到 3-形式變成零）。

1. 對一個 0-形式（${\displaystyle \omega =f(x,y,z)}$），第一種情形，寫成分量與 ${\displaystyle \operatorname {grad} }$ 算子等價：

${\displaystyle d\omega ={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}dz.}$

2. 第二種情形後面跟著 ${\displaystyle \ast }$，是 1-形式（${\displaystyle \omega =Adx+Bdy+Cdz}$）上一個算子，其分量是 ${\displaystyle \operatorname {curl} }$ 算子：

${\displaystyle d\omega =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)dy\wedge dz+\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)dx\wedge dy.}$

使用霍奇星號給出：

${\displaystyle \ast d\omega =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)dx-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)dy+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)dz.}$

3. 最後一種情形，前面與後面都有一個 ${\displaystyle \ast }$，將一個 1-形式（${\displaystyle \omega =Adx+Bdy+Cdz}$）變成 0-形式（函數）；寫成分量是 ${\displaystyle \operatorname {div} }$ 算子：

${\displaystyle \ast \omega =Ady\wedge dz-Bdx\wedge dz+Cdx\wedge dy}$

${\displaystyle d\ast \omega =\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz}$

${\displaystyle \ast d\ast \omega ={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}.}$

這些表達式的一個好處是恆等式 ${\displaystyle d^{2}=0}$，任何情形都成立，將

${\displaystyle \operatorname {curl} (\operatorname {grad} (f))=\operatorname {div} (\operatorname {curl} (\mathbf {F} ))=0}$

統一起來了。特別地，麥克斯韋方程組用外導數與霍奇星號表示時，有一個特別簡單和優美的形式：

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0,\qquad *\mathrm {d} *{\mathbf {F} }=\mathbf {J} .}$

這裡 ${\displaystyle \mathbf {F} }$ 是四維洛倫茲時空中某個 2-形式，${\displaystyle \mathbf {J} }$ 是電流 3-形式。

注釋

1. Darling, R. W. R. Differential forms and connections. Cambridge University Press. 1994.

參考文獻

• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional space-time.)
• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 . (Provides a detailed exposition starting from basic principles, but does not treat the pseudo-Riemannian case).
• David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981) Addison-Wesley Publishing, New York' ISBN 0-201-10096-7. (Provides condensed review of non-Riemannian differential geometry in chapter 0).