零一律

零一律是機率論中的一條定理。它是安德雷·科摩哥洛夫發現的，因此有時也叫科摩哥洛夫零一律。其內容是：尾事件發生的機率只能是一（幾乎肯定發生）或零（幾乎肯定不發生）。

尾事件以隨機變數的無窮序列定義。假設

${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots \,}$

是無窮多個的獨立的隨機變數（不一定有同樣的分布）。 記 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 為 ${\displaystyle X_{i}}$ 生成的 σ-代數，則一個尾事件 ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ 就是與任意有限多個這些隨機變數都獨立的事件。（注意： ${\displaystyle F}$ 屬於 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ，意味著事件 ${\displaystyle F}$ 發生或不發生由 ${\displaystyle X_{i}}$ 的值確定，但此條件不足以證明零一律。）

比如，序列${\displaystyle (X_{i})}$ 收斂便是一個尾事件。此外，級數

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }X_{k}}$

收斂也是一個尾事件。級數收斂且大於1的事件並不是尾事件，因為它不是與X₁的值無關。假如扔無窮多次硬幣，則連續100次數字面向上的事件出現無限多次是一個尾事件。

直觀地看，若可以無視前任意多個 ${\displaystyle X_{i}}$ 的值，而仍能判斷某事件是否發生，則該事件為尾事件。

許多時候，運用零一律很易證得某事件的機率必為 0 或 1，但卻很難判斷兩者之中，何者為其真正的機率。

無限猴子定理是零一律的一個例子。

定理敍述

科摩哥洛夫零一律更一般的論述對獨立的 σ代數序列適用。令 (Ω, F ,P ) 是一個機率空間，F_n 為包含於 F 的一列相互獨立的 σ-代數。 令

${\displaystyle G_{n}=\sigma {\bigg (}\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}{\bigg )}}$

是包含F_n, F_n+1, …的最小的 σ-代數。那麼科摩哥洛夫零一律斷言對任意的事件

${\displaystyle F\in \bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}$

都有 P (F ) = 0 或 1。

把以上的 F_n 取為由隨機變數 X_n 生成的 σ-代數，就得到定理對隨機變數的敍述。此時，尾事件定義為既在由所有的 X_n 生成的 σ-代數中可測，也與任意有限多個 X_n 都獨立的事件。換言之，尾事件是屬於 ${\displaystyle \textstyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}}$ 的事件。

相關條目

• 波萊爾－坎泰利引理
• 休伊特-薩維奇零一律（英語：Hewitt–Savage zero–one law）
• 李維零一律 (英語：Lévy's zero–one law)
• 長尾
• 尾風險（英語：Tail risk）

參考資料

• Stroock, Daniel. Probability theory: An analytic view revised. Cambridge University Press. 1999. ISBN 978-0-521-66349-6..
• Brzezniak, Zdzislaw; Zastawniak, Thomasz. Basic Stochastic Processes. Springer. 2000. ISBN 3-540-76175-6.
• Rosenthal, Jeffrey S. A first look at rigorous probability theory. Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2006: 37. ISBN 978-981-270-371-2.