邊值問題

在微分方程式中，邊值問題是一個微分方程式和一組稱之為邊界條件的約束條件。邊值問題的解通常是符合約束條件的微分方程式的解。

物理學中經常遇到邊值問題，例如波動方程式等。許多重要的邊值問題屬於Sturm-Liouville問題。這類問題的分析會和微分算子的本徵函數有關。

在實際應用中，邊值問題應當是適定的（即：存在解，解唯一且解會隨著初始值連續地變化）。許多偏微分方程式領域的理論提出是為要證明科學及工程應用的許多邊值問題都是適定問題。

最早研究的邊值問題是狄利克雷問題，是要找出調和函數，也就是拉普拉斯方程式的解，後來是用狄利克雷原理找到相關的解。

邊值問題類似初值問題，邊值問題的條件是在區域的邊界上，而初值問題的條件都是在獨立變數及其導數在某一特定值時的數值（一般是定義域的下限，所以稱為初值問題）。

例如獨立變數是時間，定義域為[0,1]，邊值問題的條件會是 $y(t)$ 在 $t=0$ 及 $t=1$ 時的數值，而初值問題的條件會是 $t=0$ 時的 $y(t)$ 及 $y'(t)$ 之值。

若鐵棒的一端為絕對零度，另一端溫度為水的凝固點，要找到鐵棒溫度隨位置的變化即為一個邊值問題。

若問題和時間和空間都有關，邊界條件需為某一個特定點下所有時間對應的值，以及某一個特定時間時所有位置對應的值。

以下是一個邊值問題的例子

y''(x)+y(x)=0\,

要求解滿足以下邊界條件的函數 $y(x)$

y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.

若沒有邊界條件，以上微分方程式的通解是

y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).\,

根據邊界條件 $y(0)=0$ ，可得

0=A\cdot 0+B\cdot 1

可以得到 $B=0$ 的結論。根據邊界條件 $y(\pi /2)=2$ ，可得

2=A\cdot 1

因此 $A=2$ 。因此可以找到滿足上述邊界條件的唯一解，即為

y(x)=2\sin(x).\,

根據條件的形式，邊值條件分以下三類^[1]：

第一類邊值條件：也稱為狄利克雷邊界條件，直接描述物理系統邊界上的物理量，例如振動的弦兩端與平衡位置的距離；
第二類邊值條件：也稱為諾伊曼邊界條件，描述物理系統邊界上物理量垂直邊界的導數的情況，例如導熱細杆端點的熱流；
第三類邊值條件：物理系統邊界上物理量與垂直邊界導數的線性組合，例如，細杆端點的自由冷卻，溫度、熱流均不確定，但是二者的關係確定，即可列出二者線性組合而成的邊值條件。

邊值條件也可以根據邊值問題對應的微分算子來分類：若是使用橢圓算子，則問題為橢圓邊值問題；使用雙曲線算子，則問題為雙曲線邊值問題。依微分算子還可以將問題再細分為線性及非線性等。

[1]
Qiang Wang Guoding Li Ke Gong. 電磁場理論基礎. 台北: 五南圖書出版股份有限公司. 2003: p88 [2010-09-23].

說明