狄利克雷問題

數學中，狄利克雷問題（Dirichlet problem）是尋找一個函數，使其為給定區域內一個指定的偏微分方程（PDE）的解，且在邊界上取預定值。

對許多偏微分方程，狄利克雷問題都可解，但最初是對拉普拉斯方程提出來的。在這種情形下問題可如下表述：

給定定義在Rⁿ中一個區域的邊界上一個函數f，是否存在惟一連續函數u在內部兩次連續可微，在邊界上連續，使得u在內部調和並在邊界上u = f？

這個條件稱為狄利克雷邊界條件。最主要的問題是證明解的存在性，因唯一性可利用Maximum principle（英語：极大值原理）證明。

歷史

狄利克雷問題以勒熱納·狄利克雷命名，他利用變分方法提出了一個解決辦法，這便是狄利克雷原理。唯一解的存在性由物理分析似乎很有理：邊界上任何電荷分布，由靜電學定律，將確定一個電勢做為一個解。

但魏爾斯特拉斯發現了狄利克雷證明的一個漏洞，存在性嚴格的證明直到1900年才由希爾伯特給出。結論是解的存在性微妙地依賴於邊界與預定值的光滑性。

一般解

對具有足夠光滑邊界${\displaystyle \partial D}$一個區域${\displaystyle D}$，狄利克雷問題的一般解由

${\displaystyle u(x)=\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}ds\,}$

給出，這裡${\displaystyle G(x,y)}$是這個偏微分方程的格林函數，而

${\displaystyle {\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}={\widehat {n}}\cdot \nabla _{s}G(x,s)=\sum _{i}n_{i}{\frac {\partial G(x,s)}{\partial s_{i}}}\,}$

是格林函數沿著內單位法向${\displaystyle {\widehat {n}}}$的導數。在邊界上對測度${\displaystyle ds}$進行積分。函數${\displaystyle \nu (s)}$由第二類弗里德霍姆積分方程（英語：Fredholm integral equation）的惟一解給出

${\displaystyle f(x)=-{\frac {\nu (x)}{2}}+\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}ds.\,}$

上一個積分中的格林函數在邊界上為零：

${\displaystyle G(x,s)=0}$對${\displaystyle s\in \partial D}$與${\displaystyle x\in D}$。

這樣的格林函數通常是自由域格林函數與一個微分方程的調和解之和。

存在性

調和函數的狄利克雷問題總有解，當邊界足夠光滑且${\displaystyle f(s)}$連續則解是惟一的。更準確地說，當

${\displaystyle \partial D\in C^{(1,\alpha )},\,}$對${\displaystyle 0<\alpha ,\,}$

時有解。這裡${\displaystyle C^{(1,\alpha )}}$表示赫爾德條件。

例子：二維單位圓盤

在一些簡單情形狄利克雷問題可以明確地解出來。例如對R²中單位圓盤的狄利克雷問題的解由泊松積分公式給出。

如果${\displaystyle f}$是單位圓盤${\displaystyle D}$的邊界${\displaystyle \partial D}$上一個連續函數，則狄利克雷問題的解${\displaystyle u(z)}$由積分給出：

${\displaystyle u(z)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\psi }){\frac {1-\vert z\vert ^{2}}{\vert z-e^{i\psi }\vert ^{2}}}d\psi ,\\f(z),\end{cases}}}$	如果${\displaystyle z\in D,\,}$
	如果${\displaystyle z\in \partial D.\,}$

解${\displaystyle u}$在閉單位圓盤${\displaystyle {\bar {D}}}$上連續在${\displaystyle D}$內調和。

被積函數稱為泊松核；這個解由二維格林函數導出：

${\displaystyle G(z,x)=-{\frac {1}{2\pi }}\log \vert z-x\vert +\gamma (z,x)}$

這裡${\displaystyle \gamma (z,x)}$調和

${\displaystyle \Delta _{x}\gamma (z,x)=0,\,}$

並使得對${\displaystyle x\in \partial D}$有${\displaystyle G(z,x)=0}$。

推廣

狄利克雷問題是典型的橢圓型微分方程、位勢論和拉普拉斯方程。其他例子包括雙調和方程（英語：Biharmonic equation）以及彈性理論中相關方程。

狄利克雷問題是在邊界上給出信息的偏微分方程問題中一類，其他類型包括諾伊曼問題和柯西問題。

參考文獻

• A. Yanushauskas, Dirichlet problem, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• S. G. Krantz, The Dirichlet Problem. §7.3.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 93, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.
• S. Axler, P. Gorkin, K. Voss, The Dirichlet problem on quadratic surfaces （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Mathematics of Computation 73 (2004), 637-651.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Dirichlet Problem. MathWorld.
• Dirichlet Problem Module by John H. Mathews