質因數表
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質因數表又稱整數分解表是一種數學用表,表中紀錄了自然數的整數分解。 自然數可以是零、單位(即1)、質數或合數。在質因數表中,每個自然數後面跟著的是其質因數分解,形式為若干個質數之整數冪的乘積。例如,45這個數可以被分解為[1],因此在表中會將32×5記載於45後方。也有些質因數表會採用類似對數表的方式將尾數作為欄位,也就是每行有10個數的質因數,來列出特定範圍內的數之質因數。[2]:646
特別地,1這個數稱為單位,沒有質因數,既不是質數[3]也不是合數。此外,0不在可因數分解的整數的範圍內,因為任意質數皆為零的因數。
性質
自然數的許多性質可以從其質因數分解觀察到或計算得到。
- 某數的某個質因數的冪數,是該質數冪可以整除該數的最大冪次。即n有質因數p,若p的冪數是m,則pm是最大可以整除n的p次冪。質因數表會列出每個質因數的冪數。如果該質因數沒有標示冪數則代表該質因數的冪數為1(因為p=p1)。對於不能整除該數的質數,其冪數就是零或未定義的。
- 質數Omega函數是用於計算質因數數量的函數。分為大質數Ω函數(Ω(n))和小質數Ω函數(ω(n))。其中,大質數Ω函數Ω(n)式計算所有質因數冪數的總和。[4]
- 質數皆滿足Ω(n)=1,這些數為2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31、 37……(OEIS數列A000040)。
- 合數皆滿足Ω(n)>1,這些數為4、 6、 8、 9、 10、 12、 14、 15、 16、 18、 20、 21。
- 半質數滿足Ω(n)=2(半質數是合數),這些數為4、 6、 9、 10、 14、 15、 21、 22、 25、 26、 33、 34。
- 偶數都有2這個質因數
- 奇數的質因數中都沒有2
- 平方數的質因數的冪數都是偶數
- 立方數的質因數的冪數都是三的倍數
質因數
下表列出了1至5000的質因數分解。
- 註:若數本身是質數時,因數以粗體顯示。
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參見
參考文獻
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