謝爾賓斯基空間

在數學上，謝爾賓斯基空間（Sierpiński space，又稱兩點連通空間（connected two-point set））是一個包含兩個元素的有限拓樸空間，其中只有一個元素是閉合的。^[1]這個空間是所有非密著且非離散的拓樸空間中最小的，而這空間以波蘭數學家瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基的姓氏為名。

因為謝爾賓斯基空間在斯科特拓樸當中，是開集的分類空間（classifying space）之故，因此這集合在可計算性理論和語意處理上有重要的應用。^[2][3]

定義及基本性質

謝爾賓斯基空間${\displaystyle S}$是一個其點集合為${\displaystyle \{0,1\}}$的拓樸空間，其所有的開集如下：

${\displaystyle \{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}.}$

其所有的閉集如下：

${\displaystyle \{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\}.}$

也就是說，其單點集${\displaystyle \{0\}}$是閉集，而其單點集${\displaystyle \{1\}}$是開集，另外此處的${\displaystyle \varnothing }$代表空集合。

此空間的閉包如下：

${\displaystyle {\overline {\{0\}}}=\{0\},\qquad {\overline {\{1\}}}=\{0,1\}.}$

一個有限的拓樸空間亦可由其特殊化預序唯一定義，當中，這預序是一個偏序，其形式如下：

${\displaystyle 0\leq 0,\qquad 0\leq 1,\qquad 1\leq 1.}$

拓樸性質

謝爾賓斯基空間${\displaystyle S}$是特定點拓樸（particular point topology）（謝爾賓斯基空間的特定點為1）和排除點拓樸（excluded point topology）（謝爾賓斯基空間的排除點為0）的一個特殊例子，因此謝爾賓斯基空間和這兩類拓樸空間有許多共通之處。

分離性

• 在謝爾賓斯基空間中，0和1這兩點是拓撲可區分的，這是因為${\displaystyle \{1\}}$是一個只包含這兩者其中一點的開集之故，因此謝爾賓斯基空間是一個柯爾莫果洛夫空間（${\displaystyle T_{0}}$空間）。
• 然而謝爾賓斯基空間不是一個${\displaystyle T_{1}}$空間，這是因為${\displaystyle \{1\}}$這個單點集不是閉集之故，也因此謝爾賓斯基空間不是豪斯多夫空間或${\displaystyle T_{n}}$空間（其中${\displaystyle n\geq 1}$）。
• 然而謝爾賓斯基空間不是正則空間或完全正則空間，這是因為1這個點及其不相交集合${\displaystyle \{0\}}$不能以鄰域分離之故（另外點能以鄰域分離的${\displaystyle T_{0}}$空間是豪斯多夫空間）。
• 然而謝爾賓斯基空間可視為正規空間和完全正規空間，這是因為這空間中沒有非空的分離集合所致。
• 然而謝爾賓斯基空間不是完美正規空間，這是因為其彼此不相交的閉合${\displaystyle \varnothing }$和${\displaystyle \{0\}}$無法由函數完全分離所致。事實上，謝爾賓斯基空間的${\displaystyle \{0\}}$不能是任何連續函數${\displaystyle S\to R}$的零集（zero set），而這是因為任何這樣的連續函數都是常函數所致。

連通性

• 謝爾賓斯基空間同時是個超連通空間（Hyperconnected space）（這是因為其所有的非空開集都包含1所致）和特連通空間（Ultraconnected space）（這是因為其所有的非空閉集都包含0所致）。
• 謝爾賓斯基空間是個連通空間和道路連通空間。
• 一條連通謝爾賓斯基空間當中的0和1的道路${\displaystyle f:I\to S}$可定義如次：${\displaystyle f(0)=0}$且對於所有的${\displaystyle t>0}$而言${\displaystyle f(t)=1}$，這個函數是連續的，因為${\displaystyle f^{-1}(1)=(0,1]}$在${\displaystyle I}$是開集。
• 和所有的有限拓樸空間一樣，謝爾賓斯基空間是個局部道路連通空間。
• 謝爾賓斯基空間是個可壓縮空間（contractible space），因此其基本群是個當然群（這點對高階同倫群（higher homotopy groups）也成立）。

緊緻性

• 和所有有限拓樸空間一樣，謝爾賓斯基空間是個緊緻空間和第二可數空間。
• 謝爾賓斯基空間的緊子集${\displaystyle \{1\}}$不是閉集，而這顯示了${\displaystyle T_{0}}$空間的緊集不必然是閉集。
• 任何謝爾賓斯基空間的開覆蓋都必然包含謝爾賓斯基空間本身，這是因為謝爾賓斯基空間為0的唯一的開鄰域之故，因此任何的謝爾賓斯基空間的開覆蓋都有包含一個集合的子覆蓋，就是${\displaystyle \{S\}}$。
• 而這表示說謝爾賓斯基空間是個滿正規空間（fully normal space，仿緊空間的一個子類）。^[4]

收斂性

• 任何謝爾賓斯基空間當中的序列都收斂至0，這是因為在謝爾賓斯基空間當中，0唯一的鄰域是謝爾賓斯基空間本身。
• 在謝爾賓斯基空間當中一個序列收斂至1，當且僅當該序列僅有有限多項為0。
• 在謝爾賓斯基空間當中，1是某序列的一個聚集點，當且僅當該序列包含無限多項的1。
• 例子如下：
  • 1不是${\displaystyle (0,0,0,0,...)}$這序列的聚集點。
  • 1是${\displaystyle (0,1,0,1,0,1,...)}$這序列的聚集點1，但並非極限點。
  • ${\displaystyle (1,1,1,1,...)}$這序列同時收斂至0和1。

度量化可能性

• 謝爾賓斯基空間不是可度量化的空間，甚至也不是可偽度量化的空間，這是因為任何偽度量化的空間都必須是完全正則空間，而謝爾賓斯基空間就連正則空間都不是之故。
• 謝爾賓斯基空間可由偽擬度量生成，其中${\displaystyle d(0,1)=0}$且${\displaystyle d(1,0)=1}$。

其他性質

• 謝爾賓斯基空間只有三個映至自身的連續函數：恆等函數、兩個分別映至0和1的常函數。
• 而這表示說謝爾賓斯基空間的同胚群（英語：homeomorphism group）是當然群。

映至謝爾賓斯基空間的連續函數

設${\displaystyle X}$是一個任意集合，那麼一般會將所有從${\displaystyle X}$映至${\displaystyle \{0,1\}}$的函數的集合給記做${\displaystyle 2^{X}}$，這些函數即是${\displaystyle X}$的指示函數，所有的指示函數都有如下的形式：

${\displaystyle \chi _{U}(x)={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\not \in U\end{cases}}}$

在其中${\displaystyle U}$是${\displaystyle X}$的一個子集。換句話說${\displaystyle 2^{X}}$這個函數的集合和${\displaystyle X}$的冪集${\displaystyle P(X)}$間，有著雙射的關係。每個${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle U}$都有自己的指示函數${\displaystyle \chi _{U}}$，而每個從${\displaystyle X}$映至${\displaystyle \{0,1\}}$的函數都有如此的形式。

現在假定${\displaystyle X}$是個拓樸空間，而${\displaystyle \{0,1\}}$有著謝爾賓斯基拓樸，那麼${\displaystyle \chi _{U}:X\to S}$是個連續函數，當且僅當${\displaystyle \chi _{U}^{-1}(U):X\to S}$在${\displaystyle X}$中是個開集；然而根據定義，我們有

${\displaystyle \chi _{U}^{-1}(1)=U.}$

因此${\displaystyle \chi _{U}}$是個連續函數，當且僅當${\displaystyle U}$在${\displaystyle X}$中是個開集。

假定${\displaystyle C(X,S)}$是所有從${\displaystyle X}$映至${\displaystyle S}$的連續函數的集合，並假定${\displaystyle T(X)}$是${\displaystyle X}$的拓樸（也就是所有開集的集族），那麼就存在一個從${\displaystyle T(X)}$映至${\displaystyle C(X,S)}$的雙射，這映射會將${\displaystyle U}$映至${\displaystyle \chi _{U}}$之上。

${\displaystyle C(X,S)\cong {\mathcal {T}}(X)}$

也就是說，假若將${\displaystyle 2^{X}}$和${\displaystyle P(X)}$對等，那麼其連續映射的子集${\displaystyle C(X,S)\subset 2^{X}}$會是${\displaystyle T(X)\subset P(X)}$的拓樸。

一個特別值得注意的例子是在對偏序集合的斯科特拓樸中，謝爾賓斯基空間會在指示函數保持定向連接（directed join）的狀況下，成為其開集的分類空間。^[5]

範疇論的描述

上述的結構可以用範疇論的語言很好地表達。有個從拓撲空間範疇到集合範疇的反變函子${\displaystyle T:Top\to Set}$將每個拓樸空間${\displaystyle X}$給指派給其開集的集合${\displaystyle T(X)}$，並將每個連續函數${\displaystyle f:X\to Y}$給指派給其原像：

${\displaystyle f^{-1}:{\mathcal {T}}(Y)\to {\mathcal {T}}(X).}$

而相關敘述如下：${\displaystyle T}$這個函子由${\displaystyle (S,\{1\})}$表示，其中${\displaystyle S}$為謝爾賓斯基空間，也就是說，${\displaystyle T}$和同態函子（Hom functor）${\displaystyle Hom(-,S)}$間有著自然同構，而這自然同構由泛元素${\displaystyle \{1\}\in T(S)}$決定，而這可由預層的概念一般化。^[6]

初拓撲

任何的拓樸空間${\displaystyle X}$都有由映至謝爾賓斯基空間的連續函數的集族${\displaystyle C(X,S)}$所引致的初拓撲。事實上，若要將${\displaystyle X}$的拓樸變得更加粗糙，那就必須將一些開集給移除；然而若將開集${\displaystyle U}$給移除，那麼${\displaystyle \chi _{U}}$這個函數就會變得不連續，因此在${\displaystyle C(X,S)}$當中的每個函數都連續的情況下，${\displaystyle X}$有著最粗糙的拓樸。

函數的集族${\displaystyle C(X,S)}$區分${\displaystyle X}$上的點，當且僅當${\displaystyle X}$是個${\displaystyle T_{0}}$空間。${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$這兩點可由指示函數${\displaystyle \chi _{U}}$區分，當且僅當開集${\displaystyle U}$包含其中一點但不同時包含兩者。這也就是${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$拓樸可區分的確實含意。

也就是說，若${\displaystyle X}$是個${\displaystyle T_{0}}$空間，那就可以將${\displaystyle X}$給嵌入謝爾賓斯基空間的積空間中，在其中對於每個${\displaystyle X}$的開集${\displaystyle U}$而言，都有一個${\displaystyle S}$的複本與之對應。其嵌入函數

${\displaystyle e:X\to \prod _{U\in {\mathcal {T}}(X)}S=S^{{\mathcal {T}}(X)}}$

可由下列函數得出：

${\displaystyle e(x)_{U}=\chi _{U}(x).\,}$

由於${\displaystyle T_{0}}$空間的子空間和積空間還是${\displaystyle T_{0}}$空間之故，因此一個拓樸空間是${\displaystyle T_{0}}$空間，當且僅當其與謝爾賓斯基空間的積空間的某個子空間同胚。

在代數幾何中

在代數幾何中，謝爾賓斯基空間會作為${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$（整數在質數${\displaystyle p}$生成的素理想上的局部化）之類的離散賦值環（Discrete valuation ring）${\displaystyle R}$的譜${\displaystyle Spec(R)}$出現。其中${\displaystyle Spec(R)}$起自零理想的一般點（generic point）會對應至開集點1；而${\displaystyle Spec(R)}$起自極大理想的特殊點（special point）會對應至閉集點0。

參見

• 有限拓樸空間（Finite topological space）
• 拓樸列表（List of topologies）
• 偽圓（Pseudocircle）

註解

1. nLab的Sierpinski space條目
2. 一篇網路文章解釋了為何拓樸學可用在電腦科學中對「概念」的研究之上，詳情可見Alex Simpson的《Mathematical Structures for Semantics （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）》一文的第三章《Topological Spaces from a Computational Perspective （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）》，其中的「參照」一節提供了許多網路上關於域理論的文章。
3. Escardó, Martín. Synthetic topology of data types and classical spaces. Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87. Elsevier. 2004.
4. Steen和Seebach二氏錯誤地認為謝爾賓斯基空間不是滿正規空間（或以其術語來說，不是滿${\displaystyle T_{4}}$空間）。
5. nLab的Scott topology條目
6. Saunders MacLane, Ieke Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, (1992) Springer-Verlag Universitext ISBN 978-0387977102

參考

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
• Michael Tiefenback (1977) "Topological Genealogy", Mathematics Magazine 50(3): 158–60 doi:10.2307/2689505