組合數學

組合數學（英語：Combinatorics），在總體上是一門研究可數或離散對象的科學。它可分為廣義上的和狹義上的兩種層面，若是前者 (廣義的組合數學) ，其相當於離散數學，而後者 (狹義的組合數學) 則是組合計數、圖論、代數結構、數理邏輯等的總稱，但這只是不同學者在稱謂上的區別。而隨著計算機科學日益發展，組合數學的重要性也日漸凸顯，因為計算機科學的核心內容是使用算法處理離散數據。

狹義的組合數學主要研究滿足一定條件的組態（也稱組合模型）的存在、計數以及構造等方面的問題。組合數學的主要內容有組合計數、組合設計(Combinatorial design（英語：Combinatorial design）)、組合矩陣(Combinatorial matrix theory（英語：Combinatorial matrix theory）)、組合最佳化（最佳組合）等。

歷史

An example of change ringing (with six bells), one of the earliest nontrivial results in graph theory.

最基本的組合數學的思想和枚舉的方法在古老時代就已經出現。西元前6世紀的古印度外科醫生妙聞指出可以由6種相異味道組合出63種相異結果（每種味道都可以選擇或不選擇，但不能都不選擇，因此有2⁶−1=63種組合）；古羅馬時期，希臘史學家普魯塔克與克律西波斯、喜帕恰斯討論了後來顯示與Schröder–Hipparchus數（英語：Schröder–Hipparchus number）有關的枚舉問題^[1][2]；西元前3世紀的阿基米德在其數學文章Ostomachion（英語：Ostomachion）中講述拼接拼圖的智力遊戲（tiling puzzle）。

中世紀時，組合數學持續發展（主要是歐洲外的文明）。西元850年的印度數學家Mahāvīra（英語：Mahāvīra (mathematician)）提供了關於排列數與組合的公式^[3][4]，甚至可能早在6世紀的印度數學家就對這些公式熟悉^[5] 。西元1140年哲學家與天文學家阿伯拉罕·伊本·埃茲拉確認了二項式係數的對稱性，而二項式係數公式則是由猶太人數學家吉爾松尼德在西元1321年得到^[6]。楊輝三角形最早可追溯至10世紀的數學論文，在中國則首現於13世紀南宋楊輝《詳解九章算法》。在英格蘭則出現與哈密頓迴路相關的例子^[7]。

文藝復興時期，與其他數學或科學領域一樣，組合數學再現生機。帕斯卡、牛頓、雅各布·白努利、歐拉等人的研究為此新興領域打下基礎。在更近代，西爾維斯特和馬克斯·馬奧尼也在組合計數和代數組合學有貢獻。數學家也對四色問題等圖論有極大興趣。

在20世紀下半葉，組合數學成長相當迅速，甚至出現數十種新的期刊和會議^[8]，這種成長某程度上是由與其他領域的連結與應用所帶動，如代數、機率論、泛函分析和數論。

組合數學中的著名問題

• 計算一些物品在特定條件下分組的方法數目。這些是關於排列、組合和整數分拆。
• 地圖著色問題：為地圖填色，每區用一色。如果要鄰區顏色相異，是否只需四色？這是圖論題。
• 船夫過河問題：船夫要把一匹狼、一隻羊和一棵菜運過河。只要船夫不在場，羊就會吃白菜、狼就會吃羊，但船每次只能運送一種東西。怎樣把所有東西運過河？這是線性規劃題。
• 中國郵差問題：由中華民國組合數學家管梅谷教授提出。郵差要穿過城市的每一條路至少一次，怎樣行走走過的路程最短？這不是NP完全問題，存在多項式複雜度算法：先求出度為奇數的點，用匹配算法算出這些點間的連接方式，然後再用歐拉路徑算法求解。也是圖論題。
• 任務分配問題（也稱分配問題）：有一些員工要完成一些任務。各員工完成不同任務用的時間都不同。每個員工只分配一項任務。每項任務只分給一個員工。怎樣分配員工與任務以使所花費的時間最少？也是線性規劃題。
• 如何構造幻方： 幻方為一方陣，填入不重複之自然數，並使其中每一縱列、橫列、對角線內數字之和皆相同。
• 數獨：遊戲一般由9個3×3個的九宮格組成。每一列的數字均須包含 1～9，不能缺少，也不能重複。每一宮(粗黑線圍起來的區域，通常是 3x3 的九宮格)的數字均須包含 1～9，不能缺少，也不能重複。^{參見Mathematics_of_Sudoku（英語：Mathematics_of_Sudoku）}

排列

主條目：排列

從${\displaystyle n}$個元素取出${\displaystyle k}$個元素，${\displaystyle k}$個元素的排列數量為：

${\displaystyle P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$

以賽馬為例，有8匹馬參賽，玩家需在彩票上填入前三匹勝出的馬匹號碼，從8匹馬取出3匹來排前3名，排列數量為：

${\displaystyle P_{3}^{8}={\frac {8!}{(8-3)!}}=8\times 7\times 6=336}$

因為有336種排列，因此玩家在一次填入中中獎的概率是：

${\displaystyle P={\frac {1}{336}}=0.00298}$ (假設每匹馬贏的機會相等)

不過，中國大陸的教科書則是把從n取k的情況記作${\displaystyle P_{n}^{k}}$或${\displaystyle A_{n}^{k}}$（A代表Arrangement，即排列^[9]）。

上例是在取出元素不重複出現的狀況建立。

從${\displaystyle n}$個元素取出${\displaystyle k}$個元素，${\displaystyle k}$個元素可以重複出現，這排列數量為：

${\displaystyle U_{k}^{n}=n^{k}}$^[10]

以四星彩為例，10個數取4個，因可能重複所以排列數量為：

${\displaystyle U_{4}^{10}=10^{4}=10000}$

這時的一次性添入中獎的概率就是：

${\displaystyle P={\frac {1}{10000}}=0.0001}$

組合

主條目：組合

和排列不同的是，組合不考慮取出元素的順序。

從${\displaystyle n}$個元素取出${\displaystyle k}$個，${\displaystyle k}$個元素的組合數量為：

${\displaystyle C_{k}^{n}={n \choose k}={\frac {P_{k}^{n}}{k!}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

中國大陸的教科書則是把從${\displaystyle n}$取${\displaystyle k}$的情況記作${\displaystyle C_{n}^{k}}$^[11]。

以香港六合彩為例，六合彩49顆球選6顆的組合數量為：

${\displaystyle C_{6}^{49}={49 \choose 6}={\frac {49!}{6!43!}}=13983816}$

如同排列，上面的例子是建立在取出元素不重複出現狀況。

從${\displaystyle n}$個元素取出${\displaystyle k}$個元素，${\displaystyle k}$個元素可以重複出現，組合數量為：

${\displaystyle H_{k}^{n}=C_{k}^{n+k-1}}$

以取色球為例，每種顏色的球有無限多顆，從8種色球取出5顆球，這組合數量為：

${\displaystyle H_{5}^{8}=C_{5}^{8+5-1}=C_{5}^{12}={\frac {12!}{5!7!}}=792}$

因為組合數量公式特性，重複組合轉換成組合有另一種公式為：

${\displaystyle H_{k}^{n}=C_{k}^{n+k-1}={\frac {(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}=C_{n-1}^{n+k-1}}$

另外${\displaystyle H_{k}^{n}}$也可以記為${\displaystyle F_{k}^{n}}$^[12]

${\displaystyle F_{k}^{n}=H_{k}^{n}}$

總結

${\displaystyle n}$中取${\displaystyle k}$	直線排列 （考慮順序）	環狀排列	組合 （不考慮順序）
不重複出現 （不放回去）	${\displaystyle P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$ （OEIS數列A008279）	${\displaystyle {\frac {n!}{k\cdot (n-k)!}}}$ （OEIS數列A111492）	${\displaystyle C_{k}^{n}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}}$ （OEIS數列A007318）
可重複出現 （再放回去）	${\displaystyle U_{k}^{n}=n^{k}}$ （OEIS數列A004248）	${\displaystyle {\frac {\sum _{r|k}(r\cdot \varphi (r)\cdot n^{\frac {k}{r}})}{k}}}$ （OEIS數列A075195）	${\displaystyle H_{k}^{n}={\frac {(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}}$ （OEIS數列A097805）

參見

• 階乘
• 階乘符號
• 排列
• 組合
• 組合優化