幻方，有時又稱魔術方陣（其簡稱「魔方」現一般指立方體的魔術方塊）或縱橫圖，由一組排放在正方形中的整數組成，其每行、每列以及每一條主對角線的和均相等。通常幻方由從到的連續整數組成，其中為正方形的行或列的數目。因此階幻方有行列，並且所填充的數為從到。
幻方可以使用階方陣來表示，方陣的每行、每列以及兩條對角線的和都等於常數，如果填充數為，那麼有
幻方簡史
《繫辭》云：「河出圖，洛出書，聖人則之。」在宋朝之前，洛書的記述只有文字。
九宮圖實物最早發現於西漢，1977年中國考古學家在安徽阜陽縣雙古堆西漢古墓中發現漢文帝七年（前173年）的太乙九宮占盤，乃是中國漢代幻方的實物。東漢《數術記遺》也有記載。
楊輝縱橫圖
南宋數學家楊輝著《續古摘奇算法》把類似於九宮圖的圖形命名為縱橫圖，書中列舉3、4、5、6、7、8、9、10階幻方。其中所述三階幻方構造法：「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足」，比法國數學家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百餘年。
構造法
根據構造方法的不同，幻方可以分成三類：奇數階幻方、階幻方和階幻方，其中為自然數，階幻方不存在。幻方構造法主要有：連續擺數法、階梯法（樓梯法）、奇偶數分開的菱形法、對稱法、對角線法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊爾法（基方、根方合成法）、鑲邊法、相乘法、幻方模式等。
假設要建構n階幻方，n為奇數。
- 先在第一橫列中央的方格填入1。
- 向右上方的格子推進，依次填入2、3、4、…、n2，若超過方陣框外，則將數字填入到該橫列或該直行的相對位置。
- 若右上方的格子已有數字，則將數字填入下面的格子中。
以下圖階幻方為例，填寫在（第一行第三列）的位置上；應當填寫在其右上方格即中，由於超出頂邊界，所以從最底行進入，即；填寫在的右上方格中；填寫在的右上方格中，由於超出右邊界，所以從最左列進入，即；填寫在的右上方格中；應該填寫的方格已經被所占據，因此填寫在的正下方格中；按照上面的步驟直到所有數填入。
| 階 | 階 | 階 |
魔方陣不是唯一的，比如5階魔方陣還可以是：
| 階 |
假設要建構n階幻方，n為奇數。
- 先在第一橫列中央的方格填入1。
- 向「右(n-1)/2格、上(n-1)/2格」的格子推進，依次填入2、3、4、…、n2，若超過方陣框外，則將數字填入到該橫列或該直行的相對位置。
- 若右上方的格子已有數字，則將數字填入下面的格子中。
假設要建構n階幻方，n為奇數。
- 先在中央格的正上方一格的方格填入1。
- 向右上方的格子推進，依次填入2、3、4、…、n2，若超過方陣框外，則將數字填入到該橫列或該直行的相對位置。
- 若右上方的格子已有數字，則將數字填入上面兩格的格子中。
假設要建構n階幻方，n為奇數。
- 先以對角線為兩邊，做一個包含n階方陣的菱形方陣，此方陣總共有2n2-2n+1（第n個中心正方形數）個格子。
- 從這個菱形方陣中的最上方的尖端格子，由左上往右下，再由右上往左下，依次填入1、2、3、4、…、n2。
- 將原先方陣上側外的格子向下平行移動n格，填入原方陣的空格處，相同的步驟，若格子是在下側，往上移，若格子是在左側，往右移，若格子是在右側，往左移。
- 將1、2、3、4、…、n2由上到下、再由左到右，依次填入。
- 將方陣以四階方陣為單位分割（可分割成n2個四階方陣），然後在每個四階方陣中，對角線上的數字擦掉。
- 把擦掉的數字由大的數開始，由上到下、再由左到右，依次填入。
假設要建構n階幻方，n為4的倍數。
- 將1、2、3、4、…、n2由上到下、再由左到右，依次填入。
- 將方陣以四階方陣為單位分割（可分割成n2個四階方陣），然後在每個四階方陣中，不在對角線上的數字擦掉。
- 把擦掉的數字由大的數開始，由上到下、再由左到右，依次填入。
如4階幻方的排列法：
按如上圖排列好，再將非主副對角線上的各個數關於中心對調，即成下圖：
八階幻方構造如下
即：
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc|cccc}\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup \\\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar \\\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar \\\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown \\\hline \diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup \\\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar \\\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar \\\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown \\\end{array}}\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a634984bcbba3ba69818bf693cd72e69db8c4b0c)
在(4M+2)×(4M+2）個方格的適當格點上，先排出2M+1階的幻方。在前M+1行的格點，全部標上「L」；在第M+1行的中間格點標上「U」，其餘格點標上「L」；在第M+2行的中間格點標上「L」，其餘格點標上「U」；在餘下的M-1行的格點全部標上「X」。將格點上的數乘以4再減4，再按下面的規則加上1至4其中一個數，填入對應的格上：
4 1 1 4 1 4 L U X 2 3 2 3 3 2
例子：
[ 68 65 96 93 4 1 32 29 60 57 ]
17L 24L 1L 8L 15L
[ 66 67 94 95 2 3 30 31 58 59 ]
[ 92 89 20 17 28 25 56 53 64 61 ]
23L 5L 7L 14L 16L
[ 90 91 18 19 26 27 54 55 62 63 ]
[ 16 13 24 21 49 52 80 77 88 85 ]
4L 6L 13U 20L 22L
[ 14 15 22 23 50 51 78 79 86 87 ]
[ 37 40 45 48 76 73 81 84 9 12 ]
10U 12U 19L 21U 3U
[ 38 39 46 47 74 75 82 83 10 11 ]
[ 41 44 69 72 97 100 5 8 33 36 ]
11X 18X 25X 2X 9X
[ 43 42 71 70 99 98 7 6 35 34 ]
此方法可用來建構任何階數的幻方，當要建構n階幻方時，使用兩個方陣，一個填入正整數1到n各n次，另一個則填入0、n、2n、3n、…、(n-1)*n各n次，儘管奇數階幻方與偶數階幻方的填入方式有所不同。
對於奇數階幻方：
第一個方陣：在第一橫列中央的方格填入1，並且往左下角不斷填入1，若超出方陣外，則向右平移n格，直到每一橫列都有一個方格填入1為止，再把所有填入1的方格右邊的格子填入2（若超出方陣外，則向左平移n格），再把所有填入2的方格右邊的格子填入3，一直到填入n為止。
第二個方陣：在第一直行中央的方格填入0，並且往右下角不斷填入1，若超出方陣外，則向上平移n格，直到每一直行都有一個方格填入0為止，再把所有填入0的方格右邊的格子填入n（若超出方陣外，則向上平移n格）。再把所有填入n的方格右邊的格子填入2n，一直到填入(n-1)*n為止。
再把兩個方陣中的數相加。
事實上，你可以將這兩個方陣中的每一個相同數字都替換為另一個數字，只要這兩個方陣中原本有出現的n個數字都仍然各出現n次即可，唯一的條件是第一個方陣中(n+1)/2這個數字，以及第二個方陣中(n-1)*n/2這個數字，不能被替換。
對於偶數階幻方：
第一個方陣：第一直行由上到下依次填入1到n，第二直行由下到上依次填入1到n，第三直行與第二直行相同，第四直行與第一直行相同，若超過四直行，則重複第一到第四直行的步驟。
第二個方陣：第一橫列由上到下依次填入0到n*(n-1)，第二橫列由下到上依次填入0到n*(n-1)，第三橫列與第二橫列相同，第四橫列與第一橫列相同，若超過四橫列，則重複第一到第四橫列的步驟。
此方法暫時只適用於4k階的幻方。
事實上，你可以將這兩個方陣中的每一個相同數字都替換為另一個數字，只要這兩個方陣中原本有出現的n個數字都仍然各出現n次即可，唯一的條件是第一個方陣中每個直行相對的兩個數字之和必須是n+1，以及第二個方陣中每個橫列相對的兩個數字之和必須是n*(n-1)。
如果是4k+2階的幻方，就必須在第二個方陣中，檢查每個直行相對的兩個數字之和為n*(n-1)的格子，對於這些格子，第一個方陣的對應格子。
當n為大於等於5的正整數時，此方法可由n-2階幻方外圍加上一圈來構造n階幻方。
以階為例子，先排出階的幻方，如上圖，再將圖中每一個數都加上，有下圖：
在外圍加上一圈格子，把和這些數安排在外圈格子內，但要使相對兩數之和等於。對於這些數是：；。
結果如下：
當n可以分解成兩個大於等於3的正整數a與b的乘積時，此方法可由a階幻方與b階幻方來構造n階幻方。
- 以a(k)表示a階幻方中的每一個數字加上k*a2的結果，則所有的a(k)都是幻方，且a(0)=原本的a階幻方。
- 將b階幻方中的數字k都用幻方a(k-1)取代。
#include<stdio.h>
int a[17],b[17],m;
void s(int i)
{ /*搜索全部四階幻方，C代碼,運行時間7秒*/
int n=0,j=0;
while(++j<17)
if(!a[j])
{
a[b[i]=j]=1;
switch(i)
{
case 1:case 2:case 3:case 5:case 6:case 7:case 9:case 10:s(i+1);break;
case 11:if(b[6]+b[7]+b[10]+b[11]==34)s(12);break;
case 4:case 8:case 12:if(b[i-3]+b[i-2]+b[i-1]+b[i]==34)s(i+1);break;
case 13:if(b[1]+b[5]+b[9]+b[13]==34&&b[4]+b[7]+b[10]+b[13]==34)s(14);break;
case 14:case 15:if(b[i-12]+b[i-8]+b[i-4]+b[i]==34)s(i+1);break;
case 16:for(printf("\n"),++m;++n<17;n%4?0:printf("\n"))printf("%2d ",b[n]);
}
a[j]=0;
}
}
int main(void)
{
s(1);
printf("四階幻方總數量:%d(含旋轉反射相同)",m);
return 0;
}
/**
* @author: contribute to wikipedia according GNU
* @description:用於創建奇數階的幻方
*/
public class magic_squre_odd {
static int[][] matrix;
static int n;
public static void magic_squre_odd_generate()
{ matrix = new int[n][n];
//所有的數初始化為0
matrix[0][(n-1)/2] = 1;
int x = 0,y = (n-1)/2;
//count:記住已經插入過的數
for(int count = 2; count<=n*n;count++)
while(true)
{
//先x-1 y+1
x--;
y++;
//判斷是否可以插入
while(true)
{//循環判斷是否越界，直到一個地方不越界為止
//判斷是否越界：
//越上界x<0，則移到最下方x=x+n，y不變; continue
if(x<0)
{
x += n;
continue;
}
//越右界y>=n，則y=y-n，x不變;continue
if(y>=n)
{
y -= n;
continue;
}
//循環判斷是否該位置已經有數據，直到找到一個空位
//如果有數據，則移到x = x + 2;y = y - 1; continue
if (y<0){y+=n;continue;}
if(matrix[x][y] != 0 )
{
x += 2;y -= 1;
if (x>=n){x-=n;continue;}
if (y<0){y+=n;continue;}
continue;
}
break;
}
//將當前的count值賦給選出的空位
matrix[x][y]= count;
break;
}
}
public static void print()
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
for(int j = 0; j < n; j++)
{
//System.out.println(matrix[i][j]);
System.out.print(matrix[i][j]);
System.out.print("_");
}
System.out.println();
}
}
public static void main(String[] args)
{ //手工輸入n的值，並確保為奇數
n = 11;
magic_squre_odd_generate();
print();
}
}
以下是本算法將n設置為11時得出的11階幻方的構造結果：
68 81 94 107 120 1 14 27 40 53 66 80 93 106 119 11 13 26 39 52 65 67 92 105 118 10 12 25 38 51 64 77 79 104 117 9 22 24 37 50 63 76 78 91 116 8 21 23 36 49 62 75 88 90 103 7 20 33 35 48 61 74 87 89 102 115 19 32 34 47 60 73 86 99 101 114 6 31 44 46 59 72 85 98 100 113 5 18 43 45 58 71 84 97 110 112 4 17 30 55 57 70 83 96 109 111 3 16 29 42 56 69 82 95 108 121 2 15 28 41 54
/**
* @author: contribute to wikipedia according GNU
* @description:用於創建4階的幻方
*
*/
public class magic_square_4m {
/**
* @param args
*/
static int matrix[][];
static int n;
static void magic_squre_4m_generate()
{
//初始化matrix
matrix = new int[n][n];
//將matrix裡的位置用數順序排列
int ini = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)
matrix[i][j] = ++ini;
//輸出對調前的樣子
System.out.println("對調之前的樣子：");
print();
//然後對調（僅對右上方的數進行遍歷）
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = i + 1; j < n; j++)
{
if(( i != j) && (i + j) != (n -1) )
{ //對不在主付對角線上的數關於中心對調
int temp;
temp = matrix[i][j];
matrix[i][j] = matrix[n -1 - i][n - 1 - j];
matrix[n -1 - i][n - 1 - j] = temp;
}
}
}
public static void print()
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
for(int j = 0; j < n; j++)
{
System.out.print(matrix[i][j]);
System.out.print("_");
}
System.out.print("\n");
}
}
public static void main(String[] args) {
//這裡手動設置n的數值為4，這裡只能設置為4，因為只求4階幻方
n = 4;
magic_squre_4m_generate();
System.out.println("對調之後的樣子：");
print();
}
}
以下是本算法輸出的結果：
對調之前的樣子： 1_2_3_4_ 5_6_7_8_ 9_10_11_12_ 13_14_15_16_ 對調之後的樣子： 1_15_14_4_ 12_6_7_9_ 8_10_11_5_ 13_3_2_16_
研究價值
知名華人數學家陳省身曾在數學演講中說幻方只是一個奇蹟，它在數學中沒有引起更普遍深刻的影響，不屬於「好的數學」。[2]
對幻方的學習和研究一直局限於趣味數學本身，更接近數字遊戲或文字遊戲，缺乏與主流數學的聯繫(和璇璣圖在中國詩歌中的地位有一些相似)。數學和物理中也有具有更多學術價值的特殊數字方陣，如推動了試驗設計研究的拉丁方陣和已有應用的阿達瑪矩陣，還有在量子力學中有重要價值的泡利矩陣及其推廣版本蓋爾曼矩陣。魔術方塊則可以與群論建立聯繫(見魔方群)，可以作為抽象代數的入門教具，也是計算群論的研究案例之一，並非單純的幾何玩具。高性能的計算機誕生後，幻方、幻星、素數環(prime ring problem)等很多這類需要滿足特殊規律的填數問題，只要所需的數字規模不大，都可以考慮通過深度優先搜索算法暴力求解和枚舉。
藝術與流行文化
參見
參考資料
外部連結
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