真空電容率

真空電容率，又稱為真空介電係數，或電常數，是一個常見於電磁學的物理常數，符號為${\displaystyle \epsilon _{0}}$。在國際單位制裏，真空電容率的數值為^[1]：

${\displaystyle \epsilon _{0}\approx 8.854\ 187\ 817\dots \ \times 10^{-12}}$ 法拉／米。

真空電容率 ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ 可以用公式定義為

${\displaystyle \epsilon _{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}{c_{0}}^{2}}}}$；

其中，${\displaystyle c_{0}}$ 是光波傳播於真空的光速^[2]，${\displaystyle \mu _{0}}$ 是真空磁導率。

採用國際單位制，${\displaystyle c_{0}}$ 的數值定義為^[3] ${\displaystyle 299\ 792\ 458}$ 公尺／秒，但根據2019年新國際單位制，${\displaystyle \mu _{0}}$ 的數值是近似值。因此，${\displaystyle \epsilon _{0}}$ 的數值不是定義值，近似為^[1]

${\displaystyle \epsilon _{0}\approx 8.854\ 187\ 817\ldots \times 10^{-12}}$ 安培²秒⁴公斤^-1米^-3（或者法拉／米）。

這些數值都可以在2006 CODATA報告裏找到^[4]。

真空電容率出現於電位移${\displaystyle \mathbf {D} \,\!}$的定義式：

${\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$是電場，${\displaystyle \mathbf {P} \,\!}$是電介質的古典電極化強度。

學術界常遇到一個錯誤的觀點，就是認為真空電容率${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$是一個可實現真空的一個物理性質。正確的觀點應該為，${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$是一個度量系統常數，是由國際公約發表和定義而產生的結果。${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$的定義值是由光波在參考系統的光速或基準（benchmark）光速的衍生而得到的數值。這參考系統稱為自由空間，被用為在其它各種介質的測量結果的比較基線。可實現真空，像外太空、超高真空（ultra high vacuum）、量子色動真空（QCD vacuum）、量子真空（quantum vacuum）等等，它們的物理性質都只是實驗和理論問題，應與${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$分題而論。${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$的含義和數值是一個度量衡學（metrology）問題，而不是關於可實現真空的問題。為了避免產生混淆，許多標準組織現在都傾向於採用電常數為${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$的名稱。

歷史背景

如同前面所述，真空電容率${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$是一個度量系統常數。它的出現於電磁量的定義方程式，主要是因為一個稱為理想化的程序。只使用純理論的推導，馬克士威方程組奇異地預測出，電磁波以光速傳播於自由空間。繼續推論這個預測，就可以給出${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$的數值。若想了解為什麼${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$會有這數值，必須稍微閱讀一下電磁度量系統的發展史。

在以下的講述中，請注意到我們古典物理並不特別區分「真空」和「自由空間」這兩個術語。當今文獻裏，「真空」可能指為很多種不同的實驗狀況和理論實體。在閱讀文獻時，只有上下文可以決定術語的含意。

單位理想化

查爾斯·庫侖和其它物理學家的實驗，證明庫侖定律：分開距離為${\displaystyle r\,\!}$，電量都是${\displaystyle Q\,\!}$的兩個點電荷，其交互作用於對方的力${\displaystyle F\,\!}$，可以用方程式表達為

${\displaystyle F={\frac {k_{\mathrm {e} }Q^{2}}{r^{2}}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle k_{\mathrm {e} }\,\!}$是個常數。

假若，對其它變量不加以任何約束，則${\displaystyle k_{\mathrm {e} }\,\!}$可以任意地設定。對於每一個不同的${\displaystyle k_{\mathrm {e} }\,\!}$數值設定，${\displaystyle Q\,\!}$的詮釋也相隨地不同。為了要避免混淆不清，每一個不同的詮釋必須有不同的名稱和標記符號^[5]。

公分-克-秒靜電制是一個十九世紀後期建立的標準系統。在這標準系統裏，常數${\displaystyle k_{\mathrm {e} }\,\!}$的數值被設定為1，電荷量的因次被稱為高斯電荷量。這樣，作用力的方程式變為

${\displaystyle F={\frac {{q_{s}}^{2}}{r^{2}}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle q_{s}\,\!}$是高斯電荷量。

假設兩個點電荷的電荷量都是一個單位高斯電荷量，分隔距離是1公分。則兩個點電荷交互作用於對方的力是1 達因。那麼，高斯電荷量的因次也可以寫為「達因^1/2公分」。這與國際單位制的因次，「牛頓^1/2公尺」，有同樣的因次。但是，高斯電荷量與國際單位制電荷量的因次並不相同。高斯電荷量不是用庫侖來測量的。

後來，科學家覺得，對於球幾何案例，應該加入因子${\displaystyle 4\pi \,\!}$於庫侖定律，表達方程式為

${\displaystyle F=\;k'_{\mathrm {e} }{q'_{s}}^{2}/4\pi r^{2}\,\!}$；

其中，${\displaystyle k'_{\mathrm {e} }\,\!}$、${\displaystyle q'_{s}\,\!}$分別為新的常數和電荷量。

這個點子稱為理想化。設定${\displaystyle k'_{\mathrm {e} }=1\,\!}$。電量單位也改變了，但是，電量的因次仍舊是「達因^1/2公分」。

下一個步驟是將電量表達為一個獨自的基本物理量，標記為${\displaystyle q\,\!}$，將庫侖定律寫為它的現代形式：

${\displaystyle F=q^{2}/4\pi \epsilon _{0}r^{2}\,\!}$。

很明顯地，舊公分-克-秒靜電制裏的電量${\displaystyle q_{s}\,\!}$與新的國際標準制電量${\displaystyle q\,\!}$的關係式為

${\displaystyle q_{s}=q/{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}\,\!}$。

ε0數值的設定

採用國際標準制，要求力的單位為牛頓，距離的單位為公尺，電荷量的單位為工程師的實用單位，庫侖，定義為1 安培的電流在1秒鐘內所累積的電荷量。那麼，真空電容率的因次應該是 「庫侖²牛頓^-1公尺^-2」（或者，「法拉¹公尺^-1」）。

真空電容率的數值可以從馬克士威方程組求得。觀察在真空中的馬克士威方程組的微分形式：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0\,\!}$、

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!}$、

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!}$、

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}$ ;

其中，${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$是電場，${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$是磁感應強度。

取第四個馬克士威方程式的旋度，

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {E} )}{\partial t}}\,\!}$。

將第二個馬克士威方程式（法拉第方程式）代入，則可得到

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\,\!}$。

應用一個向量恆等式，

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\nabla ^{2}\mathbf {B} \,\!}$。

再注意到第三個馬克士威方程式（高斯磁定律），所以，

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\nabla ^{2}\mathbf {B} \,\!}$。

這樣，就可以得到光波的磁場波動方程式：

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=0\,\!}$。

以同樣的方式，也可得到光波的電場波動方程式：^{[註 1]}

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0}$。

這光波傳播的速度（光速${\displaystyle c_{0}\,\!}$）是

${\displaystyle c_{0}=1/{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,\!}$。

這方程式表達出光速、真空電容率、真空磁導率，這三個物理量的相互關係。原則上，科學家可以選擇以庫侖，或是以安培為基本電磁單位^[6]。經過仔細的考量，國際單位組織決定以安培為基本電磁單位。因此，${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$、${\displaystyle c_{0}\,\!}$的數值設定了${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$的數值。若想知道如何決定${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$的數值，請參閱條目真空磁導率。

可實現真空和自由空間

自由空間（free space）是一個理想的參考狀態，可以趨近，但是在物理上是永遠無法達到的狀態。可實現真空有時候被稱為部分真空（partial vacuum），意指需要超低氣壓，但超低氣壓並不是近似自由空間的唯一條件^[7]。

與古典物理內的真空不同，現今時代的物理真空意指的是真空態（vacuum state），或量子真空。這種真空絶對不是簡單的空無一物的空間^[8][9]。因此，自由空間不再是物理真空的同義詞。若想要知道更多細節，請參閱條目自由空間和真空態。

對於為了測量國際單位的數值，而在實驗室製成的任何部分真空，一個很重要的問題是，部分真空是否可以被滿意地視為自由空間的實現？還有，我們必須怎樣修正實驗的結果，才能使這些結果適用於基線？例如，為了彌補氣壓高於零而造成的誤差，科學家可以做一些修正^[10]。

若想知道怎樣才能製成優良的部分真空，請參閱條目超高真空（ultra high vacuum）和自由空間。

請注意，這些缺陷並不會影響真空電容率${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$的意義或數值。${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$是個定義值，是由國際標準組織，通過光速和真空磁導率的定義值而衍生的。

參閱

• 偶極子
• 電極化強度
• 電偶極矩
• 磁化向量
• 卡西米爾效應

註釋

1. 取第二個馬克士威方程式（法拉第方程式）的旋度，並將第四個馬克士威方程式${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$代入，則可得到

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )&=-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {B} )}{\partial t}}\\&=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\end{aligned}}}$。

   應用一個向量恆等式，再代入第一個馬克士威方程式${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0}$，即得

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} \\&=-\nabla ^{2}\mathbf {E} \\\end{aligned}}}$。

   這樣，就可以得到光波的電場波動方程式

   ${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0}$。

參考文獻

1. CODATA. Electric constant. 2006 CODATA recommended values. NIST. [2007-08-08]. （原始內容存檔於2007-04-23）.
2. 引述自 NIST（國家標準與技術學院）：現行的慣例是按照ISO 31的建議，用 ${\displaystyle c_{0}}$ 來標記在真空的光速。原本的1983年建議書主張採用 ${\displaystyle c}$ 來做此用途。
3. NIST對於公尺的定義 (html). NIST. [2009-06-01]. （原始內容存檔於2011-08-22）.
4. CODATA報告 (pdf). NIST. [2009-06-01]. （原始內容存檔 (PDF)於2018-06-12）.
5. Cardarelli, François. Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins 2nd. Springer. 2004. ISBN 9781852336820.
6. John David Jackson. Classical electrodynamics Third. New York: Wiley. 1999: Appendix on units and dimensions; pp. 775 et seq.。. ISBN 047130932X.怎樣選擇獨立單位的敘述
7. 物理術語部分真空指出，近似真空和自由空間的一個主要分歧源點，是來自於無法達到0氣壓。但是，還有其它非理想性的可能源點。參閱，例如，Di Piazza, Antonino; K. Hatsagortsyan & C. Keitel, Light diffraction by a strong standing electromagnetic wave, Phys.Rev.Lett., 2006, 97: 083603 [2016-02-21], （原始內容存檔於2021-05-20）Gies, Holger; J. Jaeckel & A. Ringwald, Polarized light propagating in a magnetic field as a probe for millicharged fermions, Phys. Rev. Letts., 2006, 97: 140402 [2009-06-01], （原始內容存檔於2021-05-20）
8. Astrid Lambrecht (Hartmut Figger, Dieter Meschede, Claus Zimmermann Eds.). Observing mechanical dissipation in the quantum vacuum: an experimental challenge；在物理書 Laser physics at the limits. Berlin/New York: Springer. 2002: 197. ISBN 3540424180.
9. Walter Dittrich & Gies H. Probing the quantum vacuum: perturbative effective action approach. Berlin: Springer. 2000. ISBN 3540674284.
10. 對於這類修正，CIPM RECOMMENDATION 1 (CI-2002)p. 195 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）的建議是：

    ♦ …在每一個案例裏，為了要處理真實發生的事件，像繞射、地心重力，或不完美的真空等等，任何必要的修正都必須仔細執行。

    除此以外，

    ♦ …科學家認為公尺是單位固有長度（proper length）。公尺的定義，只適用於一個足夠小的區域內，這樣，可以忽略重力場的不均勻性。

    CIPM是國際重量和度量會議（International Committee for Weights and Measures）的首字母縮略字。