拉東變換

數學上，拉東變換（又稱雷登變換）是一種積分變換，這個變換將二維平面函數${\displaystyle f}$變換成一個定義在二維空間上的一個線性函數${\displaystyle {\cal {R}}f}$(${\displaystyle {\cal {R}}f}$的意思是對${\displaystyle f}$做拉東變換)，而${\displaystyle {\cal {R}}f}$的值為函數${\displaystyle f}$對該條線${\displaystyle {\cal {R}}f}$做積分的值。以右圖為例，黃色區域即是${\displaystyle f}$，${\displaystyle A}$線則是代表${\displaystyle {\cal {R}}f}$。

拉東變換將函數 ${\displaystyle f(x,y)}$ 映射到${\displaystyle f(\alpha ,s)}$。

本圖是將下圖做拉東變換後得到的影像，越亮的區域代表值越大，黑色的區域為0。

原始函數是白色區域為1，黑色區域為0。

拉東變換是約翰·拉東在西元1917年提出^[1]，他也同時提出拉東變換的反變換公式，以及三次空間的拉東變換公式。 三次空間拉東變換，是對一個平面積分(對線積分則是X射線轉換（英語：X-ray_transform）)。而在不久之後，更高維度的歐幾里得空間的拉東變換被提出，更詳盡的廣義拉東變換要參見Integral geometry（英語：Integral_geometry）。 在複數上有和拉東變換相似的Penrose轉換（英語：Penrose_transform），拉東變換被廣泛的應用在斷層掃描，拉東反變換可以從斷層掃描的剖面圖重建出投影前的函數。

簡介

若函數${\displaystyle f}$表示一個未知的密度，對${\displaystyle f}$做拉東變換，相當於得到${\displaystyle f}$投影後的訊號，舉例來說：${\displaystyle f}$相當於人體組織，斷層掃描的輸出訊號相當於經過拉東變換的${\displaystyle f}$。 因此，可以用拉東反變換從投影後的密度函數，重建原始的密度函數，它也是重建斷層掃描的數學理論基礎，另一個被廣為人知名詞的是三維重建。

拉東變換後的訊號稱作正弦圖（sinogram），因為一個偏離中心的點的拉東變換是一條正弦曲線。所以對一些小點的拉東變換，會看起來像很多不同振福、相位的正弦函數重疊在一起。

拉東變換可以應用在：X射線電腦斷層掃描、條碼掃描器、大分子裝配（英語：Macromolecular_assembly）（Macromolecular assembly）的電子顯微鏡（例如：病毒、蛋白質複合體）、反射地震學，而且也是雙曲線偏微分方程式的解。

定義

令密度函數${\displaystyle f({\bf {x}})=f(x,y)}$是一個的定義域為 ${\displaystyle {\bf {R}}^{2}}$ 的緊支撐。令${\displaystyle {\cal {R}}}$為拉東變換的運算子(operator)，則${\displaystyle {\cal {R}}f(x,y)}$是一個定義在 ${\displaystyle {\bf {R}}^{2}}$空間中的直線${\displaystyle L}$，它的定義如下

${\displaystyle {\cal {R}}f(L)=\int _{L}f({\bf {x}})|d{\bf {x}}|}$

可以把直線 ${\displaystyle L}$改寫成一個弧長${\displaystyle z}$的參數式

${\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}$

${\displaystyle s}$是直線${\displaystyle L}$和原點的距離，而${\displaystyle \alpha }$是垂直於${\displaystyle L}$的法線和${\displaystyle x}$軸的夾角， 接下來，我們可以令${\displaystyle (\alpha ,s)}$當作${\displaystyle {\bf {R}}^{2}}$平面上的新座標系統，把這個座標變換帶入到拉東變換得到

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {R}}f(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz\end{aligned}}}$

更進一步，我們可以把${\displaystyle {\bf {R}}^{2}}$推廣到${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$的歐幾里得空間，對一個緊支撐的連續函數${\displaystyle f}$做拉東變換後的函數${\displaystyle {\cal {R}}f}$是定義在 ${\displaystyle \Sigma _{n}}$的超平面上，

${\displaystyle {\cal {R}}f(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad {\rm {for}}\quad \xi \in \Sigma _{n}}$

積分的對象是自然超平面測度(natural hypersurface measure)，而${\displaystyle d\Delta }$是原本的${\displaystyle |d{\bf {x}}|}$的高維推廣。可以觀察到對${\displaystyle \Sigma _{n}}$裡的任意元素， 都是某個軌跡方程式的解

${\displaystyle {\bf {x}}\cdot \alpha =s.}$

而${\displaystyle \alpha }$是一個單位向量且屬於${\displaystyle {\rm {S}}^{n-1}}$，${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$，n維的拉東變換可以改寫成定義在 ${\displaystyle {\rm {S}}^{n-1}\times {\bf {R}}}$上的函數

${\displaystyle {\cal {R}}f(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} )}$

也可以藉由其他方式將拉東變換推廣，也就是對${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$的k維仿射子空間作(k-dimensional affine subspaces)積分。 而這種推廣拉東變換的特殊情況被廣泛應用在X射線電腦斷層掃描，他的做法是對一條直線積分。

與傅立葉變換的關係

主條目：投影切片定理

拉東變換和傅立葉變換之間有很強的關聯性。單變數的傅立葉變換的定義是

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx}$

而雙變數${\displaystyle ({\bf {x}})=(x,y)}$的傅立葉變換是

${\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy}$

把拉東變換的運算子的表記從${\displaystyle {\cal {R}}[f](s)}$ 改成 ${\displaystyle {\cal {R}}[f](\alpha ,s)}$。根據投影切片定理學說，

${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha )),\quad \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )}$

因此一個初始函數沿著一條線傾角${\displaystyle \alpha }$的二維的傅立葉變換，相當於對拉東變換做一維的傅立葉變換。這個結果可以推廣到n維

${\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds}$

對偶變換

對偶拉東變換是拉東變換的埃爾米特伴隨。令在空間${\displaystyle \Sigma _{n}}$上的函數${\displaystyle g}$，而對偶拉東變換的運算子定義為${\displaystyle {\cal {R}}^{*}}$。作用在${\displaystyle g}$上

${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(x)=\int _{x\in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi )}$

積分的範圍是所有和${\displaystyle x\in {\bf {R}}^{2}}$相交的超平面集合，而測度(measure)${\displaystyle d\mu }$是集合${\displaystyle \xi |x\in \xi }$特殊的機率測度(Probability measure)， 當對著${\displaystyle x}$旋轉時，${\displaystyle d\mu }$的值不會改變

對於一個二維的拉東變換，其對偶變換是

${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha }$

在影像處理的文章中，對偶變換經常被稱作反向投影(back-projection) ^[2]，因為它將平面中每條線上定義的函數 投影到該線上，從而生成圖像。

交結性質

根據拉普拉斯算子${\displaystyle \Delta }$在 ${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$的定義是

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}$

這是一個旋轉不變性的二階微分算子，在空間${\displaystyle \Sigma _{n}}$，半徑的二階導數

${\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)}$

也是旋轉不變性。 而拉東變換與其對偶變換屬於交結運算子(intertwining operator)，是因為

${\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g)}$

重建方法

重建處理是指從投影影像重建一個影像，或是一個函數${\displaystyle f}$。重建處理是一種逆問題(inverse problem)。

拉東反變換公式

對於二維拉東變換，最常被使用的解析公式(analytical formula)${\displaystyle f}$，是Filtered Backprojection Formula或拉東反變換公式，反變換公式為

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )d\theta }$ ^[3]

函數${\displaystyle h}$滿足${\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|}$^[4]，摺積核 (convolution kernel) ${\displaystyle h}$在一些文章中稱作Ramp filter。

不適定問題 (ill-posedness)

直覺上，反變換公式應該和微分類似，${\displaystyle {\widehat {\frac {d}{dx}}}f(x)=ik{\hat {f}}(k)}$。我們可以看的出來反變換公式 的行為類似微分。大致上來說，這個反變換公式把目標奇異化(singular)；要如何量化拉東反轉化的不適定問題 (ill-posedness)呢？首先可以寫出

${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{||\mathbf {k} ||}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}$

${\displaystyle {\cal {R}}^{*}}$即是前面定義的反變換運算子，且伴隨著(adjoint to)拉東變換，因此${\displaystyle g({\bf {x}})=e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}$，上式變成

${\displaystyle {\cal {R}}^{*}{\cal {R}}g={\frac {1}{||{\bf {k}}||}}e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}$

複數指數函數${\displaystyle e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}$，是${\displaystyle {\cal {R}}^{*}{\cal {R}}}$的固有函數 (eigenfunction) ， 而特徵值 (eigenvalue)為${\displaystyle {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}$。${\displaystyle {\cal {R}}}$的奇異值 (singular values) 是${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}}$， 因為這些奇異值 (singular values)會趨近於0，所以${\displaystyle {\cal {R}}^{-1}}$是無界的(unbounded) ^[4]。

反變換公式

外顯(explicit)且計算效率好的拉東反變換公式，以及他的對偶是存在的。n維的反拉東變換可以由^[5]

${\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}{\cal {R}}^{*}\{{\cal {R}}f\}}$

其中

${\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}}$

而${\displaystyle \Delta }$是拉普拉斯算子(Laplacian)，${\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}}$是偽微分算子(pseudodifferential operator)

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[(-\Delta )^{(n-1)/2}\phi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}{\mathcal {F}}\phi (\xi ).}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是傅立葉變換的運算子(operator)。

參見

• 反摺積
• X-ray變換（英語：X-ray transform）
• Funk變換（英語：Funk transform）
• 霍夫變換
• 疊代稀疏漸近最小變異數算法

注釋

1. 存档副本. [2017-06-29]. （原始內容存檔於2017-07-19）.
2. Kak, Avinash C.; Slaney, Malcolm. Principles of Computerized Tomographic Imaging. Classics in applied mathematics. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. 2001. ISBN 978-0-89871-494-4.
3. 存档副本 (PDF). [2017-06-29]. （原始內容 (PDF)存檔於2018-11-25）.
4. 存档副本 (PDF). [2017-06-29]. （原始內容 (PDF)存檔於2018-11-25）.
5. Helgason 1984，Theorem I.2.13

參考

• Deans, Stanley R., The Radon Transform and Some of Its Applications, New York: John Wiley & Sons, 1983.
• Helgason, Sigurdur, Geometric analysis on symmetric spaces, Mathematical Surveys and Monographs 39 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2008, ISBN 978-0-8218-4530-1, MR 2463854.
• Helgason, Sigurdur, Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions, Academic Press, 1984, ISBN 0-12-338301-3.
• Herman, Gabor T., Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections 2nd, Springer, 2009, ISBN 978-1-85233-617-2.
• Minlos, R.A., Radon transform, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
• Natterer, Frank, The Mathematics of Computerized Tomography, Classics in Applied Mathematics 32, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-493-1
• Natterer, Frank; Wübbeling, Frank, Mathematical Methods in Image Reconstruction, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-472-9.
• Radon, Johann, Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten, Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse [Reports on the proceedings of the Royal Saxonian Academy of Sciences at Leipzig, mathematical and physical section] (Leipzig: Teubner), 1917, (69): 262–277; Translation: Radon, J.; Parks, P.C. (translator), On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, IEEE Transactions on Medical Imaging, 1986, 5 (4): 170–176, PMID 18244009, doi:10.1109/TMI.1986.4307775.
• Roerdink, J.B.T.M., Tomography, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
• 埃里克·韋斯坦因. 拉東變換. MathWorld..