埃爾米特伴隨

數學中，特別是算子理論中，每個內積空間中的線性算子 ${\displaystyle A}$ 都個有一個對應的伴隨算子（英語：adjoint operator），記作 ${\displaystyle A^{*}}$，伴隨算子可由以下關係定義

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$

• 數學主題

提示：此條目的主題不是伴隨矩陣。

其中 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ 是向量空間中的內積。

算子 ${\displaystyle A}$ 的伴隨 ${\displaystyle A^{*}}$ 亦可稱作埃爾米特伴隨（英語：Hermitian adjoint），以夏爾·埃爾米特命名。在物理學，尤其是量子力學中，算子 ${\displaystyle A}$ 的埃爾米特伴隨常被記作 ${\displaystyle A^{\dagger }}$（狄拉克符號記法）。

有限維向量空間中算子可以以矩陣的形式表示，而伴隨算子的矩陣等於原矩陣的共軛轉置。

泛函分析中，上述對伴隨算子的定義可以直接套用於希爾伯特空間中的線性算子。

有界算子

假設${\displaystyle H}$是一個希爾伯特空間，帶有內積 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$。考慮連續線性算子${\displaystyle A:H\rightarrow H}$（這與有界算子相同）。

利用里斯表示定理，我們可以證明存在唯一的連續線性算子

${\displaystyle A^{*}:H\rightarrow H}$具有如下性質：

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$，對所有${\displaystyle x,y\in H}$。

這個算子${\displaystyle A^{*}}$是${\displaystyle A}$的伴隨。

這可以視為一個方塊矩陣的轉置共軛或伴隨矩陣推廣，在標準（復）內積下具有相似的性質。

性質

馬上可得的性質

1. ${\displaystyle A^{**}=A}$
2. 如${\displaystyle A}$可逆，則${\displaystyle A^{*}}$也可逆，且${\displaystyle (A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}}$
3. ${\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}}$
4. ${\displaystyle (\lambda A)^{*}=\lambda ^{*}A^{*}}$，這裡${\displaystyle \lambda ^{*}}$表示複數${\displaystyle \lambda }$的復共軛
5. ${\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}$

如果我們定義${\displaystyle A}$的算子範數為

${\displaystyle \|A\|_{op}:=\sup\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\}}$

則

${\displaystyle \|A^{*}\|_{op}=\|A\|_{op},}$

而且有

${\displaystyle \|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2}}$。

希爾伯特空間${\displaystyle H}$上有界線性算子與伴隨算子以及算子範數給出一個C*代數例子。

${\displaystyle A}$的像與它的伴隨的核的關係為

${\displaystyle \ker A^{*}=\left(\operatorname {im} \ A\right)^{\bot },}$

${\displaystyle \left(\ker A^{*}\right)^{\bot }={\overline {\operatorname {im} \ A}}}$。

第一個等式的證明：

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}x=0&\iff \langle A^{*}x,y\rangle =0\quad \forall y\in H\\&\iff \langle x,Ay\rangle =0\quad \forall y\in H\\&\iff x\ \bot \ \operatorname {im} \ A\end{aligned}}}$

第二個等式由第一個推出，於兩邊取正交空間即可。注意到一般地，像未必是閉的，但連續算子的核總是閉的。

埃爾米特算子

有界算子${\displaystyle A:H\rightarrow H}$稱為埃爾米特或自伴如果

${\displaystyle A=A^{*}}$

這等價於

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\forall x,y\in H}$。

在某種意義下，這種算子起著實數（等於他們的復共軛）的作用。他們在量子力學中作為實值可觀測量的模型。更多細節參見自伴算子一文。

無界算子的伴隨

許多重要的算子不是連續的或只定義在希爾伯特的一個子空間上。在這種情形，我們仍然能定義伴隨，在自伴算子一文有解釋。

其他伴隨

範疇論中，方程

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$

形式上類似地定義了伴隨函子偶性質，這也是伴隨函子得名之由來。

又見

• 數學概念
  • 線性代數
  • 內積
  • 希爾伯特空間
  • 埃爾米特算子
  • 範數
  • 算子範數
  • 線性映射的轉置
• 物理應用
  • 對偶空間
  • 狄拉克符號
  • 量子力學
  • 可觀測量

參考文獻

• Walter Rudin. Functional Analysis(2nd ed.), China Machine Press, 2006