截半立方體

在幾何學中，截半立方體是一種十四面體，由八個三角形與六個正方形組成，具有14個面、12個頂點以及24條邊。是一種阿基米德立體^[1]，屬於半正多面體和擬正多面體。其對偶多面體為菱形十二面體。

截半立方體

(按這裡觀看旋轉模型)
類別	半正多面體
對偶多面體	菱形十二面體
識別
名稱	截半立方體
參考索引	U07, C19, W11
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	co
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	t1{4,3} t0,2{3,3} r{4,3} rr{3,3}
威佐夫符號 （英語：Wythoff symbol）	2 | 3 4 3 3 | 2
康威表示法	aC aaT
性質
面	14
邊	24
頂點	12
歐拉特徵數	F=14, E=24, V=12 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	正三角形 正方形
面的佈局 （英語：Face configuration）	8個{3} 6個{4}
頂點圖	3.4.3.4
對稱性
對稱群	Oh群 and Th
特性
quasiregular
圖像
3.4.3.4 （頂點圖） 菱形十二面體 （對偶多面體） （展開圖）
閱 論 編

性質

截半立方體具有十二個結構相等的頂點，皆為兩個三角形與兩個正方形的公共頂點、24個結構相等的稜，相鄰面皆為三角形與正方形，兩面角為反正割負根號三^[2]，約125.26度，因此同時具有點可遞和邊可遞的性質，因此是一種均勻多面體、半正多面體和擬正多面體，並且為阿基米德發現的13種半正多面體之一，因此也屬於阿基米德立體。此外，由於截半立方體可以視為立方體和其對偶多面體正八面體中三角形與正方形的組合，因此又是一種立方體和其對偶多面體正八面體的立體混合物。

截半立方體形成的四個正六邊形，以顏色分隔

截半立方體是立方體透過截半變換構造而成的多面體，簡而言之是用立方體由一條棱斬到另一條棱的中點（即斬去立方體的頂點）而成。因此其正方形面的數目和立方體的面都為6，其三角形面數目和立方體的頂點數目都為8，共有面14個。因為同樣種類的正多邊形面棱不相交，故可以計算其邊數乘以面的數目來得其棱的數目：3×8=4×6=24。

截半立方體是立方體透過截半變換構造而成的多面體，也可以由對偶——正八面體透過截半變換構成^[3]，因此也稱為截半八面體。

截半立方體每六條棱可以成為一個正六邊形，共有四個獨立的六邊形。

座標

一個邊長為2的平方根的截半立方體，其頂點座標位於(0, ±1, ±1)、(±1, 0, ±1)、(±1, ±1, 0)^[4]的全排列。

體積與表面積

表面積${\displaystyle (6+2{\sqrt {3}})~a^{2}}$，體積${\displaystyle {5 \over 3}{\sqrt {2}}~a^{3}}$，其中${\displaystyle a}$是該截半立方體的邊長^[2]。

表面積 = ${\displaystyle (6+2{\sqrt {3}})~a^{2}\approx 9.4641~a^{2}}$

體積 = ${\displaystyle {5 \over 3}{\sqrt {2}}~a^{3}\approx 2.3570~a^{3}}$

作法

截半立方體的作法有兩種，一種由立方體出發，另外一種由正八面體出發，同樣都是透過截半變換來構造。從立方體出發的方法為：將立方體的八個頂點切到一半就可以得到一個截半立方體，而從正八面體出發的作法一樣是將頂點切到一半：將正八面體的六個頂點切到一半就可以得到一個截半立方體。

截半立方體的康威多面體記號為aC或aO，由於截半變換的性質，對偶後結伴得到相同結果，即 a = ad ，因此可以得到 aC （截半立方體） = adC = a(dC) = aO （截半八面體）。

另外也可以由編號3的詹森多面體，J₃——三角帳塔組成，兩個相反並交錯堆疊，稱為異相雙三角帳塔，而另外一種叫做同相雙三角帳塔，也是一種詹森多面體，編號J₂₇。

其他名稱

• 平行十四面體（英語：Heptaparallelohedron），在英語中，Heptaparallelohedron指的是有七組平行面的多面體，Hepta-代表七，Parallelo-代表平行，類似的命名方式例如Parallelogram，指平行四邊形。Heptaparallelohedron一詞巴克敏斯特·富勒首次使用代表截半立方體。
  • 富勒將「戴美心（英語：Dymaxion）^[5]」一詞，應用於這種形狀，並用在早期的戴美克森氏地圖投影^[6]中，他也把它稱為「向量平衡組」^[7]。
• 在O_h對稱性中，可以稱為截半立方體或截半八面體 （諾曼·約翰遜（英語：Norman_Johnson_(mathematician)））。
• 在T_d對稱性中，可以稱為小斜方截半（英語：Cantellation (geometry)）四面體。
• 在D_3d對稱性中，可以稱為異相雙三角帳塔。

正交投影

截半立方體的正交投影

正方形 面	正三角形 面	頂點	邊	歪斜
[4]	[6]	[2]	[2]
菱形十二面體為截半立方體的對偶

球面鑲嵌

	以正方形為中心	以正三角形為中心
平行投影	施萊格爾投影（英語：Schlegel diagram）

相關多面體及鑲嵌

正四面體家族半正多面體

對稱性: [3,3], (*332)							[3,3]+, (332)
{3,3}	t0,1{3,3}	t1{3,3}	t1,2{3,3}	t2{3,3}	t0,2{3,3}	t0,1,2{3,3}	s{3,3}
半正多面體對偶
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

也可以由倒角立方體經過特殊的切割方式而得。在切割成截半立方體之前可以得到一些不同的多面體，例如：

	（可能的來源）	倒角立方體 （截邊立方體）	截角倒角立方體 （截邊截角立方體）	截半倒角立方體 （截邊截半立方體）	截半立方體
圖像	菱形十二面體	倒角立方體	小斜方截半立方體	大斜方截半立方體	截半立方體
考克斯特符號（英語：Coxeter–Dynkin diagram）
對偶多面體
對偶	截半立方體	四角化截半立方體	鳶形二十四面體	四角化菱形十二面體	菱形十二面體
考克斯特符號（英語：Coxeter–Dynkin diagram）

半正正八面體家族多面體

對稱性: [4,3], (*432)							[4,3]+, (432)	[1+,4,3], (*332)	[4,3+], (3*2)
{4,3}	t0,1{4,3}	t1{4,3}	t1,2{4,3}	{3,4}	t0,2{4,3}	t0,1,2{4,3}	s{4,3}	h{4,3}	h1,2{4,3}
半正多面體的對偶
V4.4.4	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4	V3.3.3	V3.3.3.3.3

截半立方體圖

截半立方體圖
四階對稱性
頂點	12
邊	24
自同構群	48
屬性	Quartic graph, Hamiltonian, regular
閱 論 編

在圖論的數學領域中，與截半立方體相關的圖為截半立方體圖，是截半立方體之邊與頂點的圖（英語：1-skeleton），是一種阿基米德圖（英語：Archimedean graph）。其共有12個頂點和24條稜，且是四次（英語：quartic graph）的阿基米德圖（英語：Archimedean graph）^[8]。

正交投影

六階對稱性

其他領域

截半立方體是甲烷水合物的一種形式 即甲烷被排列成截半立方體的冰分子包住

參見

• 截半二十面體
• 小斜方截半立方體
• 大斜方截半立方體 （截角的截半立方體）

參考文獻

1. Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
2. Weisstein, Eric W. (編), Cuboctahedron, (Archimedean solid), at MathWorld--A Wolfram Web Resource,Wolfram Research, Inc. （英語）
3. Ghyka, Matila. The geometry of art and life. [Nachdr.] New York: Dover Publications. 1977: 51–56, 81–84. ISBN 9780486235424.
4. Weisstein, Eric W. Cuboctahedron. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. 2nd. Hoboken: CRC Press: 620–621. 2002. ISBN 9781420035223.
5. 珍．E．霍夫特（Jane E. Hoffelt）. 我們住在同一個世界. 大穎【生活學習】. 胡洲賢 譯. 大穎. 2009. ISBN 9789866407758. 我們住在同一個世界（培養孩子包容的世界觀）～獲第32次中小學生優良課外讀物推介 網際網路檔案館的存檔，存檔日期2016-02-04. 戴美心地圖 [2016-1-27]
6. 一般性地圖資料代碼 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 國家圖書館編目 第四頁 dg = 戴美克森氏投影 (dimaxion) 2001年10月
7. Vector Equilibrium: R. Buckminster Fuller. [2016-01-27]. （原始內容存檔於2016-03-08）.
8. Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press: 269, 1998

• Richter, David A., Two Models of the Real Projective Plane, [2016-01-27], （原始內容存檔於2016-03-03）
• Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因, 截半立方體 （參閱阿基米德立體） 於MathWorld（英文）
• The Uniform Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Virtual Reality Polyhedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） The Encyclopedia of Polyhedra
• Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra o3x4o - co. bendwavy.org.
• Editable printable net of a Cuboctahedron with interactive 3D view （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）