庫塔-儒可夫斯基定理

庫塔-儒可夫斯基定理（Kutta–Joukowski theorem）是空氣動力學的基本定理，計算機翼或是二維物體（例如圓柱）在均勻流體中的升力，且此流場的速度夠快，使物體的速度場是穩定及無分離的。定理顯示出，機翼產生的升力與機翼通過流體的速度、流體密度以及環量有所關聯^[1]。庫塔-儒可夫斯基定理得名自德國科學家馬丁·威爾海姆·庫塔及俄國科學家尼古拉·葉戈羅維奇·茹科夫斯基，他們在二十世紀初首次提出這様的概念。庫塔-儒可夫斯基定理是考慮壓力及升力的無粘性理論，不過在典型的空氣動力學應用中，可以用來模擬實際的黏性流。

對於圍繞機翼的流體，環量被定義為與閉合迴路相切的「流體切線速度的線積分」^[2]，其速度的大小及方向會沿著路徑而改變。

庫塔-儒可夫斯基定理建立升力和環量的關係，類似馬格努斯效應建立旋轉和側向力的關係一樣^[1]。不過此處的環量不是因為機翼的旋轉而產生，而是因為以下提及的機制而產生。由於機翼的存在，氣流的變化可以視為平移流場及旋轉流場（渦旋）的疊加。此旋轉流是由翼型的外傾角、攻角及銳利的後緣角所產生，不同於外形像龍捲風的渦旋。若離機翼夠遠時，旋轉流可以視為是由渦旋所引發的，渦旋的中心線平行二維平面。在描述機翼的庫塔-儒可夫斯基定理時，一般會假設機翼是圓柱形或是其他的茹科夫斯基翼型。

升力公式

此定理和在二維流場中的翼型（或是翼展無窮大的圓柱）有關，可以計算單位翼展下的升力。當環量${\displaystyle \Gamma \,}$已知，其升力${\displaystyle L\,}$除以翼展下的單位翼展升力（或表示為${\displaystyle L'\,}$）可以表示為以下的方程式^[3]：

${\displaystyle L^{\prime }=-\rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma ,\,}$

1

其中

${\displaystyle \rho _{\infty }\,}$及${\displaystyle V_{\infty }\,}$分別為流體密度及在翼型上游，遠離翼型位置的流體速度，

${\displaystyle \Gamma \,}$為以下線積分定義的環量（逆時針為正值）

${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}V\cdot d\mathbf {s} =\oint _{C}V\cos \theta \;ds\,}$

上述環量是沿著一個封閉圍道${\displaystyle C}$進行，此圍道包覆著翼型或是圓柱，且沿著其正方向（逆時針）進行。其路徑需在位流的範圍內，不能在圓柱的邊界層內。被積分式${\displaystyle V\cos \theta \,}$是局部流體速度沿著曲線${\displaystyle C\,}$切線方向的分量，且${\displaystyle ds\,}$為曲線${\displaystyle C\,}$的無窮小面積。方程式(1)是庫塔-儒可夫斯基定理中的一個形式。

Kuethe和Schetzer用以下的話描述庫塔-儒可夫斯基定理：^[4]

任意截面積的柱形物體，其單位長度的受力等於${\displaystyle -\rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma }$，方向和${\displaystyle V_{\infty }.}$垂直。

在使用庫塔-儒可夫斯基定理時，需注意環量${\displaystyle \Gamma }$的計算。

環量和庫塔條件

一個產生升力的翼型或者具有彎度，或者是在均勻的流體中以一定攻角${\displaystyle \alpha >0\,}$（機翼弦線和平移方向的角度）平移。而且翼型需要有一個銳利的後緣。上述條件類似鳥的翅膀，有銳利的後緣，有彎度，在天空中有一定的攻角。

實際的流體是有黏性的，流體速度在翼型邊緣為零，因此若考慮黏性流體，且以翼型形狀為圍道計算環量，其環量也為零。甚至由翼形上方及下方的流體會在後緣相會，而黏滯耗散會使流體不旋轉。這稱為真實流場的庫塔條件。普朗特發現若雷諾數${\displaystyle Re={\frac {\rho V_{\infty }c_{A}}{\mu }}\,}$夠大，攻角夠小，翼型夠薄，則流場可以分為靠近機翼小區域的黏滯層（稱為邊界層），以及其他區域的非黏性流。

庫塔和儒可夫斯基發現在計算雷諾數夠大，攻角夠小，厚度夠薄的翼型之壓力和升力時，若假定已考慮庫塔條件，可以假設整個流場是非黏性流。這稱為位流理論，在實務上結果相當接近。在非黏性流施加庫塔條件相當於計算環量。

簡單來說，類似鳥翅膀的機翼自然會產生升力，在飛行中的流場滿足庫塔條件。若使用位流理論（在計算壓力及升力時假設是非黏性流及無旋轉流，計算阻力時用普朗特邊界層來近似），要求飛行時間符合庫塔條件，會得到一個由=庫塔-儒可夫斯基定理和環量產生的升力，和實際的升力非常接近。

推導

以下有二種推導方式，第一個是基於物理的直覺，較啟發式的推導，第二種是比較正式及技術式的推導，需要用到向量分析及複變分析的知識。

啟發式的推導

以較啟發式的說法，考慮一個薄的機翼，其翼弦為${\displaystyle c}$，有無限長的翼展，在密度為${\displaystyle \rho }$的空氣中移動。令翼和氣流有一個攻角，使翼的一側的氣流速度為${\displaystyle V}$，另一側的氣流速度為${\displaystyle V+v}$，因此其環流為

${\displaystyle \Gamma =Vc-(V+v)c=-vc.\,}$

機翼兩側的壓力差${\displaystyle \Delta P}$可以由伯努利定律求得

${\displaystyle {\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+(P+\Delta P)={\frac {\rho }{2}}(V+v)^{2}+P,\,}$

${\displaystyle {\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+\Delta P={\frac {\rho }{2}}(V^{2}+2Vv+v^{2}),\,}$

${\displaystyle \Delta P=\rho Vv\qquad {\text{(ignoring }}{\frac {\rho }{2}}v^{2}),\,}$

因此單位翼展的浮力為

${\displaystyle L=c\Delta P=\rho Vvc=-\rho V\Gamma .\,}$

此理論的微分版本可應用在機翼中的每一個元素，也是薄翼理論（thin-airfoil theory）的基礎。

正式的推導

庫塔-儒可夫斯基定理的正式推導

首先先計算任何截面積、單位長度的長條物體在流體中的受力[5]。先令單位長度的力（以下簡稱為力）為${\displaystyle \mathbf {F} \,}$，因此總受力為： ${\displaystyle \mathbf {F} =-\oint _{C}p\mathbf {n} \,ds,}$ 其中C為長條物體的邊緣、${\displaystyle p}$為流體的靜壓（英語：Static pressure）、${\displaystyle \mathbf {n} \,}$為和長條物體表面垂直的單位向量、ds是截面積邊緣的弧狀元素。令${\displaystyle \phi }$為法向量和垂直的夾角，上述力的分量為： ${\displaystyle F_{x}=-\oint _{C}p\sin \phi \,ds\quad ,\qquad F_{y}=\oint _{C}p\cos \phi \,ds.}$ 以下是重要步驟：將上述的二維空間當作複數平面，每個向量可以用複數表示，第一個分量對應其實部數值，第二個分量對應其虛部數值，因此上述的力可以表示為： ${\displaystyle F=F_{x}+iF_{y}=-\oint _{C}p(\sin \phi -i\cos \phi )\,ds.}$ 下一步是取力${\displaystyle F}$的共軛複數，再做一些處理： ${\displaystyle {\bar {F}}=-\oint _{C}p(\sin \phi +i\cos \phi )\,ds=-i\oint _{C}p(\cos \phi -i\sin \phi )\,ds=-i\oint _{C}pe^{-i\phi }\,ds.}$ 表面元素ds和dz的變化有關： ${\displaystyle dz=dx+idy=ds(\cos \phi +i\sin \phi )=ds\,e^{i\phi }\qquad \Rightarrow \qquad d{\bar {z}}=e^{-i\phi }ds.}$ 將這些代入積分中，可得： ${\displaystyle {\bar {F}}=-i\oint _{C}p\,d{\bar {z}}.}$ 接下來為了將壓力移出積分以外，應用伯努利定律。假設沒有其他外在的力場，流體的質量密度為${\displaystyle \rho .}$，壓力${\displaystyle p}$和速度${\displaystyle v=v_{x}+iv_{y}}$有以下的關係： ${\displaystyle p=p_{0}-{\frac {\rho |v|^{2}}{2}}.}$ 將上式代入力的積分式，可得： ${\displaystyle {\bar {F}}=-ip_{0}\oint _{C}d{\bar {z}}+i{\frac {\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}.}$ 還剩下一個步驟要進行：引入${\displaystyle w=f(z),}$，流場的複變勢函數，和速度分量的關係是${\displaystyle w'=v_{x}-iv_{y}={\bar {v}},}$，其中撇號表示對複數變數z的微分。速度會相切於邊緣C，因此${\displaystyle v=\pm |v|e^{i\phi }.}$，則${\displaystyle v^{2}d{\bar {z}}=|v|^{2}dz,\,}$，受力的表示式可以改寫為下式： ${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}w'^{2}\,dz,}$ 稱為布拉烏斯-恰普雷金公式（[Blasius–Chaplygin formula）。 若要得到庫塔-儒可夫斯基定理，需計算上述積分的值，根據複變分析可知，一個全純函數可以用洛朗級數來表示，根據此問題的物理特性，複變勢函數${\displaystyle w}$的微分會如以下所示： ${\displaystyle w'(z)=a_{0}+{\frac {a_{1}}{z}}+{\frac {a_{2}}{z^{2}}}+\dots .}$ 因為在無窮遠處的速度為有限值，此函數沒有其他高階項。因此${\displaystyle a_{0}\,}$即為此函數在無窮遠處的導數：${\displaystyle a_{0}=v_{x\infty }-iv_{y\infty }\,}$. 下一個任務是找出${\displaystyle a_{1}\,}$的意義，根據留數定理可得 ${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}w'\,dz.}$ 再計算以下的積分： ${\displaystyle \oint _{C}w'(z)\,dz=\oint _{C}(v_{x}-iv_{y})(dx+idy)=\oint _{C}(v_{x}\,dx+v_{y}\,dy)+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\mathbf {v} \,{ds}+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx).}$ 第一個積分即為環量，可以用${\displaystyle \Gamma .}$表示，第二個積分可以用以下方式計算： ${\displaystyle \oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}dx\right)=\oint _{C}d\psi =0.}$ 此處${\displaystyle \psi \,}$為流函數（英語：stream function），因為邊界C本身即為流線，因此在上面流函數不會變化，即${\displaystyle d\psi =0\,}$，因此第二個積分為零，因此： ${\displaystyle a_{1}={\frac {\Gamma }{2\pi i}}.}$ 複變勢函數取平方： ${\displaystyle w'^{2}(z)=a_{0}^{2}+{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi iz}}+\dots .}$ 將上式代入布拉烏斯-恰普雷金公式中，利用留數定理算積分： ${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\left[2\pi i{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi i}}\right]=i\rho a_{0}\Gamma =i\rho \Gamma (v_{x\infty }-iv_{y\infty })=\rho \Gamma v_{y\infty }+i\rho \Gamma v_{x\infty }=F_{x}-iF_{y}.}$ 因此庫塔-儒可夫斯基定理為： ${\displaystyle F_{x}=\rho \Gamma v_{y\infty }\quad ,\qquad F_{y}=-\rho \Gamma v_{x\infty }.}$

較複雜情形下的升力

庫塔-儒可夫斯基定理預測的升力是以無粘性流的勢流理論為基礎，但若流場是穩定且無分離的，庫塔-儒可夫斯基定理的結果很接近實際的黏性流^[6]。

在推導庫塔-儒可夫斯基定理時，有假設流場是無旋轉流，若在物體外有自由渦流，就像許多不穩定流的情形，此流場為旋轉流，在推導升力時就需要一些更複雜的理論。

• 小攻角下突然啟動的流場：若是機翼突然加速，或是攻角較小的情形下突然啟動的流場，在機翼後緣會連續的出現渦片（英語：vortex sheet）泄離，此時的升力是時變不穩定的。若是小攻角下啟動的流場，渦片會延著平面的路徑，升力係數的曲線會隨時間而變化，其形式會是Wagner函數^[7]。此時最終升力會如同庫塔-儒可夫斯基定理所預測的一樣，但初升力只有最終升力的一半^[8]。當機翼前進七倍翼弦的距離時，其升力才會達到最終升力的90%。

• 大攻角下突然啟動的流場：若攻角夠大的話，機翼後緣的渦片一開始會是螺旋形的，理論升力在一開始會是無限大^[9]。一般認為升力的曲線是隨時間單調遞增的，但在大攻角下，會有一段很短暫的時間會有升力下降的情形。

• 大攻角下啟動，有銳利的機翼前緣：若針對一片平粄，也有銳利的前緣，渦片泄離會出現在前緣，而前緣的渦片泄離有二種不同的效果：

1.若仍接近前緣，可以提昇Wagner升力曲線，可以增加升力。

2.若前緣的渦片泄離和後緣有關，引入新的後緣螺旋形渦片，延著升力增加的方向移動，則會破壞升力。

對於這種流場，渦升力線（VFL）圖^[10]可以用來了解不同情形下渦流帶來的效果（包括流場啟動及其他的條件），也可以控制渦流以增強或降低升力。渦升力線圖是一個二維的圖，其中會繪出渦升力線，其對升力的貢獻和其速度、環量及渦升力線和流線的餘弦成正比，因此渦升力線可以看出渦流對升力的提升或破壞程度。

• Lagally定理：若在機翼外面有固定的渦源，其對升力的修正可以表示為渦源的強度，及因其他因素造成渦源處誘導速度，這稱為Lagally定理。^[11]。

針對二相的非黏性流，傳統的庫塔-儒可夫斯基定理預測阻力為零，不過若機翼外有渦源，會產生阻力，其形成原因類似升力。

相關條目

• 馬格努斯效應
• 馬蹄形旋渦
• 升力係數
• 庫塔條件
• 翅膀

參考資料

1. Lift on rotating cylinders. NASA Glenn Research Center. 2010-11-09 [2013-11-07]. （原始內容存檔於2014-01-11）.
2. Anderson, J.D. Jr., Introduction to Flight, Section 5.19, McGraw-Hill, NY (3rd ed. 1989.)
3. Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 4.5
4. A.M. Kuethe and J.D. Schetzer, Foundations of Aerodynamics, Section 4.9 (2nd ed.)
5. Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, p 406
6. Anderson J Fundamentals of Aerodynamics, Mcgraw-Hill Series in Aeronautical and Aerospace Engineering, McGraw-Hill Education, New York 2010
7. Wagner H Uber die Entstehung des dynamischen Auftriebes von Tragflueln. Z. Angew. Math. Mech.1925, 5, 17.
8. Saffman PG Vortex dynamics, Cambridge University Press, New York, 1992 .
9. Graham JMR，The lift on an aerofoil in starting flow |publisher= Journal of Fluid Mechanics, 1983, vol 133, pp 413-425
10. Li J and Wu ZN. Unsteady lift for the Wagner problem in the presence of additional leading trailing edge vortices. Journal of Fluid Mechanics, 2015, Vol 769, pp 182 - 217.
11. Milne-Thomson LM Theoretical Hydrodynamics[p226], Macmillan Education LTD, Hong Kong.1968

• Batchelor, G. K. (1967) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press
• Clancy, L.J. (1975), Aerodynamics, Pitman Publishing Limited, London ISBN 0-273-01120-0
• A.M. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-50952-3