複分析

複分析（英語：Complex analysis）是研究複變的函數，特別是亞純函數和複變解析函數的數學理論。

研究中常用的理論、公式以及方法包括柯西積分定理、柯西積分公式、留數定理、洛朗級數展開等。複變分析的應用領域較為廣泛，在其它數學分支和物理學中也起著重要的作用。包括數論、應用數學、流體力學、熱力學和電動力學。

複變函數

曼德博集合，碎形

複變函數，是自變數和應變數皆為複數的函數。更確切的說，複變函數的值域與定義域都是複數平面的子集。在複變分析中，自變數又稱為函數的「宗量」^[1]。

對於複變函數，自變數和應變量可分成實部和虛部:

${\displaystyle z=x+iy\,}$

${\displaystyle w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\,}$

其中${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \,}$和${\displaystyle u(x,y),v(x,y)\,}$是實數函數。

用另一句話說，就是函數${\displaystyle f(z)}$的成分,

${\displaystyle u=u(x,y)\,}$

${\displaystyle v=v(x,y),\,}$

可以理解成變量${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的二元實函數。

全純函數

主條目：全純函數

參見：解析函數

全純函數（holomorphic function）是定義在複數平面${\displaystyle \mathbb {C} }$的開子集上的，在複數平面${\displaystyle \mathbb {C} }$中取值的，在每點上皆可微的函數。^[2]

複變函數為全純函數的充分必要條件是複變函數的實部和虛部同時滿足柯西-黎曼方程式^[3]：

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}}$

和

${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.}$

通過上面的這個方程組也可以由全純函數的實部或者虛部之一來求解另一個^[4]。

柯西積分定理

主條目：柯西積分定理

柯西積分定理指出，如果全純函數的封閉積分路徑沒有包括奇異點，那麼其積分值為0；如果包含奇異點，則外部閉合路徑正向^[5]積分的值等於包圍這個奇異點的內環上閉合路徑的正向積分值。

柯西積分公式

主條目：柯西積分公式

假設${\displaystyle U}$是複數平面${\displaystyle \mathbb {C} }$的一個開子集，${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} }$是一個在閉圓盤${\displaystyle D}$上複可微的方程式，
並且閉圓盤${\displaystyle D=\left\{z:\left\vert z-z_{0}\right\vert \leq r\right\}}$是${\displaystyle U}$的子集。 設${\displaystyle C}$為${\displaystyle D}$的邊界。則可以推得每個在${\displaystyle D}$內部的點${\displaystyle a}$：

${\displaystyle f(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over z-a}\,dz}$

其中的積分為逆時針方向沿著${\displaystyle C}$的積分。

亞純函數

主條目：亞純函數

在複變分析中，一個複數平面的開子集${\displaystyle D}$上的亞純函數是一個在${\displaystyle D}$上除一個或若干個孤立點集合之外的區域全純的函數，那些孤立點稱為該函數的極點。

複變函數的級數展開

參見：冪級數

複函數的可微性有比實函數的可微性更強的性質。例如：每一個正則函數在其定義域中的每個開圓盤都可以冪級數來表示：

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}+a_{3}(z-z_{0})^{3}+\cdots }$。

特別地，全純函數都是無限次可微的^[6]，性質對實可微函數而言普遍不成立。大部分初等函數（多項式、指數函數、三角函數）都是全純函數。常用的方法有泰勒級數展開等。

洛朗級數

主條目：洛朗級數

複變函數${\displaystyle f(z)}$的洛朗級數，是冪級數的一種，它不僅包含了正數次數的項，也包含了負數次數的項。有時無法把函數表示為泰勒級數，但可以表示為洛朗級數。

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$

奇異點的情況

主條目：孤立奇異點

對於複變函數的孤立奇異點，有如下三類。

本質奇異點

主條目：本質奇異點

複變函數在某孤立奇異點鄰域的洛朗級數展開，如果存在無窮個負冪項，那麼這個點稱為「本質奇異點」^[7]。

對複數平面${\displaystyle C}$上的給定的開子集${\displaystyle U}$，以及${\displaystyle U}$中的一點${\displaystyle a}$，亞純函數${\displaystyle f:U\setminus \left\{a\right\}\rightarrow C}$在${\displaystyle a}$處有本質奇異點若且唯若它不是極點也不是可去奇異點。

極點

主條目：極點 (代數)

複變函數在某孤立奇異點鄰域的洛朗級數展開，如果存在有限個負冪項，那麼這個點稱為「極點」^[7]。

亞純函數的極點是一種特殊的奇異點，它的表現如同${\displaystyle z-a=0}$時${\displaystyle {\frac {1}{\left(z-a\right)^{n}}}}$的奇異點。這就是說，如果當${\displaystyle z}$趨於${\displaystyle a}$時，函數${\displaystyle f(z)}$趨於無窮大，那麼${\displaystyle f(z)}$在${\displaystyle z=a}$處便具有極點。

可去奇異點

主條目：可去奇異點

複變函數在某孤立奇異點鄰域的洛朗級數展開，如果沒有負冪項，那麼這個點稱為「可去奇異點」^[7]。

如果${\displaystyle U}$是複數平面${\displaystyle C}$的一個開集，${\displaystyle a}$是${\displaystyle U}$中一點，${\displaystyle f:U-\left\{a\right\}\rightarrow C}$是一個全純函數，如果存在一個在${\displaystyle U-\left\{a\right\}}$與${\displaystyle f}$相等的全純函數${\displaystyle g:U\rightarrow C}$，則${\displaystyle a}$稱為${\displaystyle f}$的一個可去奇異點。如果這樣的${\displaystyle g}$存在，我們說${\displaystyle f}$在${\displaystyle a}$是可全純延拓的。

留數

主條目：留數

定義

在複分析中，留數是一個複數，描述亞純函數在奇異點周圍的路徑積分的表現。

亞純函數${\displaystyle f}$在孤立奇異點${\displaystyle a}$的留數，通常記為${\displaystyle Res(f,a)}$，是使

${\displaystyle f(z)-{R \over (z-a)}}$

在圓盤${\displaystyle 0<|z-a|<\delta }$內具有解析原函數的唯一值${\displaystyle R}$

留數定理

主條目：留數定理

在複分析中，留數定理是用來計算解析函數沿著閉曲線的路徑積分的一個有力的工具，也可以用來計算實函數的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣。

假設U是複數平面上的一個單連通開子集，a₁、……、a_n是複數平面上有限個點，f是定義在U \ {a₁、……、a_n}的全純函數。如果γ是一條把a₁、……、a_n包圍起來的可求長曲線，但不經過任何一個a_k，並且其起點與終點重合，那麼：

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$

一些難於計算的實函數的積分可以通過轉化為複變函數，然後利用留數定理來進行計算^[8]。

注釋及參考文獻

1. 梁昆淼 等. 数学物理方法（第四版）. 高等教育出版社. 2010: 6頁. ISBN 978-7-04-028352-5.
2. 全純函數有時也被稱作解析函數，但後者有幾個其他的含義。
3. 梁昆淼 等. 数学物理方法（第四版）. 高等教育出版社. 2010: 13. ISBN 978-7-04-028352-5.
4. 在積分的時候需要一定的初始條件才能得到確定的解。
5. 沿積分路徑前進時，閉合路徑包圍的區域總在前進方向左側。定義這個方向為「正向」。
6. 梁昆淼 等. 数学物理方法（第四版）. 高等教育出版社. 2010: 12頁. ISBN 978-7-04-028352-5.
7. 梁昆淼 等. 数学物理方法（第四版）. 高等教育出版社. 2010: 48頁. ISBN 978-7-04-028352-5.
8. 梁昆淼 等. 数学物理方法（第四版）. 高等教育出版社. 2010: 56頁. ISBN 978-7-04-028352-5.

參考書目

• （美）布朗 等. 复变函数及应用. 機械工業出版社. 2005. ISBN 978-7-11-115830-1.