此條目介紹的是範疇論中的廣群。關於具有單一二元運算的代數結構,請見「
原群」。
在數學中,尤其在範疇論和同倫論中,廣群(groupoid,或勃蘭特廣群,Brandt groupoid)是對群的概念的抽象化。廣群可被視為:
在存在依賴類型的情況下,一般來說,一個範疇可視作是類型化的么半群;廣群也可簡單視作類型化的群。對象到對象的態射形成類型的依賴族,於是態射可以是類型化的、。於是組合是全函數:,於是。
廣群的特例包括:
廣群常用於研究流形等幾何物體。廣群最先由海因里希·勃蘭特於1927年引入,其思想暗含在勃蘭特半群的概念中。[2]
廣群指的是代數結構,包含非空集G與定義在G上的二元偏函數''。
廣群是小範疇,其中每個態射都可逆,即是同構。[1]更明確地說,廣群G是對象集合,其中
- 每對對象x、y,都有從x到y的態射(或箭頭)的(可能是空)集合,其中的元素寫作
- 每個對象x,的指定元素
- 對任意三個元素x、y、z都有函數
- 對任意兩個元素x、y都有函數
- 、
- 、
若則稱x為f的源,記作;y稱作f的目標,記作。廣群G有時記作,當中是所有態射的集合,兩個箭頭代表源和目標。
更一般地,可以考慮任意範疇中的廣群對象,其允許有限的纖維積。
代數定義與範疇論定義等價,下面證明。給定範疇論定義廣群,令G為所有集合的不交並(即x到y的態射的集合);則、就成了G上的偏運算,而事實上在任意地方都可被定義。我們定義*為、−1為,這樣就得到了代數定義的廣群。可以不再明確提及(及)。
反過來,給定代數定義的廣群G,用定義其元素上的等價關係:
,若令G0為的等價類集合,即。若且,用記a ∗ a−1。
現在定義為所有使存在的f的集合。給定其組合定義為這是良定義的,因為可觀察到、都存在,也存在。這樣,x的恆等態射就是,f的範疇論逆是f−1。
上述定義中的集合可用類代替,這在範疇論中很常見。
的子廣群是子範疇,其本身是一個廣群。若它是寬或滿的子範疇,即都有或,則也稱其為寬或滿。
廣群映射簡單說就是兩個(範疇論)廣群間的函子。
有幾種特殊的廣群態射值得關注。若都有,使得,則廣群的態射稱作纖維化。若這樣的e是唯一的,則纖維化稱作覆蓋態射或廣群的覆蓋。廣群的覆蓋態射很有用,可用來模擬空間的覆蓋映射。[4]
同樣,給點廣群B的覆蓋態射範疇,等同於廣群B對對集合的作用範疇。
若X是集合體,即具有等價關係的集合,則「表示」這等價關係的廣群可由如下構成:
- 廣群對象是X的元素;
- 有單態射,若且唯若;
- 與的組合是。
這個廣群的頂點群總是平凡的;此外,這個廣群一般不傳遞,其軌道正是等價類。有兩個極端例子:
- X每個元素若都與X的其他元素有聯繫,則就得到了X的對廣群,其以整個作為箭頭集,且是傳遞的。
- X每個元素若只與自身有關係,就得到了單位廣群,其以X為箭頭集,,是完全不傳遞的(每個單子都是軌道)。
參見:單純流形和神經復形
切赫廣群[6]:5是一類特殊的廣群,與某個流形X的開覆蓋所給出的等價關係相關聯。其對象由不交並
給出,其箭頭是相交
.
源映射與目標映射由誘導映射給出
包含映射
則給出了廣群的結構。實際上,還可設置
為n次迭代的纖維積來進一步擴展,其中表示n個可組合箭頭的多元組。纖維積的結構映射隱含了目標映射,因為
是笛卡兒圖,其中到的映射是目標映射。這種構造可看作是某些∞-廣群的模型;此外,這種構造的另一個產物是k-上循環
對某個阿貝爾群之常數層可表為函數
給出了上同調類的明確表示。
若群G作用於集合X,則可由如下方式組成代表群作用的作用廣群或變換廣群:
- 對象是X的元素;
- ,態射對應,使得;
- 態射的複合解釋了G的二元運算。
更明確地說,作用廣群是小範疇、,源映射和目標映射分別為、。通常表示為(對於右作用記為)。廣群中的乘法(或組合)就是,定義條件是。
,頂點群由的組成,這只是給定作用在x處的迷向子群(這就是頂點群稱為迷向子群的原因)。同樣,作用廣群的軌道是群作用的軌道,廣群是傳遞的若且唯若群作用也有傳遞性。
另一種描述G集合的方法是函子範疇,當中是1個元素的廣群(範疇),同構於群G。事實上,這個範疇的每個函子F都定義了集合(即對中的每個態射)誘導了雙射:。函子F的範疇結構保證了F定義了集合G上的G作用。(唯一)可表函子F:是G的凱萊表示。事實上,這個函子與同構,因此將送到集合,後者的定義就是「集合」G和的態射g(即G的元素g)到集合G的置換。由米田嵌入推導出:群G同構於G的置換群的子群。
考慮在有限集上的群作用,其將每個數取負,於是、。商廣群是這個群作用的等價類集合,在其上有群作用。
給定具有廣群態射的廣群圖
其中、,可組成廣群,其對象為三元組,其中。態射可定義為一對態射,其中,使得對三元組中有的交換圖。[7]
魔方可用群論來建模(見魔方群),也有些遊戲更適合用廣群建模。[8]
數字推盤遊戲的變換就是廣群(不是群,因為並非所有移動都能複合)。[9][10][11]這一廣群作用作用於構型。
馬蒂厄廣群是約翰·何頓·康威提出的作用於13個點的群,這樣固定一個點的元素就構成了馬蒂厄群M12的一個副本。
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若廣群只有一個對象,則其態射集構成群。由代數定義,這樣的廣群實際上就是群。 [12]群論的許多概念都能推廣到廣群,用函子概念取代群同態。
每個傳遞/連通的廣群(即如上所述,任意兩對象都由至少一個態射相連)都與作用廣群(如上定義)同構。根據傳遞性,這個作用下只有一個軌道。
注意剛才提到的同構不唯一,也沒有自然的選擇。為一個傳遞廣群選擇這樣的同構實際上等於選擇對象、群同構、態射。
若廣群沒有傳遞性,則就同構於上述類型的廣群的不交並,也稱作其連通成分(每個連通成分可能具有不同的群G與集合X)。
用範疇論的術語來說,廣群的每個連通成分都等價(但不同構)於只有1個對象的廣群,即單群。因此,任何廣群都等價於無關群的多重集;換句話說,對等價(而非同構),我們不需要指定集合X,而只需指定群G。例如,
- X的基本廣群等價於X的每個路徑連通成分的基本群的集合,但同構要指定每個成分的點集;
- 具有等價關係的集合X等價(作為廣群)於每個等價類的平凡群的一個副本,但同構需要說明每個等價類;
- 具備群G的作用的集合X等價(作為廣群)於作用的每個軌道的G的一個副本,但同構需要說明每個軌道是什麼集合。
即使從範疇論的角度來看,把廣群坍縮為單純的群集合也會失去一些信息,因為是不自然的。因此,當廣群以其他結構出現時,保持整個廣群是有幫助的;否則就必須選擇一種方法,以從單群的角度看待每個,而這一選擇是任意的。在拓撲學的例子中,必須連貫地選擇路徑(或路徑的等價類),從相同路徑連通成分的每個p點到每個q點。
一個更有啟發性的例子是,有自同態的廣群的分類並不能歸結為單純的群論考慮。這類似於有一個自同態的向量空間的分類並不平凡。
廣群的態射比群的更多樣:例如,有纖維化、覆蓋態射、泛態射、商態射。因此,群G的子群H會產生『』G對G中H的陪集集的作用,從而產生K到G的覆蓋態射p,其中K是頂點群與H同構的廣群。這樣,群G的表示就可以「提升」到廣群K的表示,這是獲取子群H的表現信息的有用方法。
對象是廣群、態射是廣群態射的範疇稱作廣群範疇,記作Grpd。
Grpd與小範疇相似,是笛卡兒閉範疇:對任意廣群,我們都可以構造廣群,其對象是態射、箭頭是態射的自然等價。於是,若只是群,則這些箭頭就是態射的共軛。主要結果是,對任何廣群都有自然雙射
即使所有廣群都只是群,這個結果也有意義。
Grpd既是完全範疇,又是余完全範疇。
神經函子將Grpd嵌入為單純集範疇的子範疇。廣群的神經總是闞復形。
神經有左伴隨
當中表示單純集X的基本廣群。
主條目:雙重廣群
廣群範疇內部的範疇還可派生一種額外結構,即雙重廣群。[13][14]因為Grpd是2範疇,這些對象構成了2範疇,比1範疇有額外的結構。本質上說,這些對象是具有函子
的廣群,以及由恆等函子
給出的嵌入。思考這些2廣群的一種方法是其包含對象、態射與可以縱橫組合的方塊。例如,給定方塊
與
其中是同一個態射,則可以垂直相連,得到圖
可將垂直箭頭轉置,得到另一個方塊。方塊的橫向連接也有類似規律。
研究幾何對象時,產生的廣群通常帶有拓撲,使其成為拓撲廣群;一些微分結構還能將其變為李廣群。最後這些對象也可根據其相關的李代數胚進行研究,這與李群和李代數之間的關係類似。
從幾何產生的廣群通常具有與群乘法相互作用的結構。例如,泊松幾何中有辛廣群的概念,後者是具有相容辛形式的李廣群。同樣,也可擁有具備相容黎曼度量或複流形等結構的廣群。
第一個性質的證明:由公理2、3,可知將1式代入2式,再應用公理3:得證。
第二個性質的證明:由於定義了,於是是因此也定義了。進一步地,由於定義了,有也定義了。由公理3可知得證。
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- nLab的fundamental groupoid條目
- nLab的core條目