多項式除法是代數中的一種算法,用一個同次或低次的多項式去除另一個多項式。它可以很容易地手算,因為它將一個相對複雜的除法問題分解成更小的一些問題。
有時一個多項式的一個或多個根已知,也許已經發現使用有理數根定理。 如果 n 次多項式 P (x)的一個根 r 已知,那麼多項式長除法可以用來將 P (x)因子化為(x-r) Q (x) ,其中 Q (x)是 n-1次多項式。 Q (x)是除法過程得到的商; 因為 r 是 P (x)的根,所以餘數必為零。
同樣的,如果有幾個根 r,s, . . . 在 P (x)已知的情況下,可以劃分出一個線性因子(x-r)得到 Q (x) ,然後再劃分出(x-s)得到 Q (x)等。或者,可以將二次因子從 P (x)中分離出來,得到一個 n-2次商。
這種方法特別適用於三次多項式,有時可以得到一個高次多項式的所有根。 例如,如果有理數根定理產生一個五次多項式的單個(有理)根,它可以被分解出來得到一個四次(四次)商,那麼一個四次多項式的根的黎曼顯式公式可以被用來找到五次多項式的其他四個根。 然而,沒有一般的方法可以用純代數方法求解一個五次曲線,參見 Abel-Ruffini 定理。
多項式長除法可以用來求在特定點 x = r 上與多項式 p (x)定義的函數圖相切的直線的方程。如果 R (x)是 P (x)除以(x-r)2的餘數,那麼無論 r 是否是多項式的根,x = r 處的切線方程到函數 y = P (x)的圖是 y = R (x)。[3]
在 x = 1時,找到與下面曲線相切的直線的方程:
![{\displaystyle y=x^{3}-12x^{2}-42.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d958b0b744df43fdb503c170738f45486bdbcac)
首先將多項式除以(x-1)2 = x2-2x + 1:
![{\displaystyle {\begin{array}{r}x-10\\x^{2}-2x+1\ {\overline {)\ x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\{\underline {x^{3}-{\color {White}0}2x^{2}+{\color {White}1}x}}{\color {White}{}-42}\\-10x^{2}-{\color {White}01}x-42\\{\underline {-10x^{2}+20x-10}}\\-21x-32\end{array}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0780c7f4eed3405c2c9ff643ff88dcdee59cad)
切線是 y =-21x-32。
循環冗餘校驗使用多項式除法的其餘部分來檢測傳輸信息中的錯誤。
Strickland-Constable, Charles, "A simple method for finding tangents to polynomial graphs", Mathematical Gazette 89, November 2005: 466-467.
Strickland-Constable, Charles, "A simple method for finding tangents to polynomial graphs", Mathematical Gazette 89, November 2005: 466-467.
- 多項式餘數定理
- 合成除法,一種更簡潔的歐氏多項式除法
- Ruffini 的規矩
- 歐幾里得整環
- 格羅布納基礎
- 多項式的最大公約數
算法可以用如下偽代碼表示,其中 + 、-和 × 表示多項式算術,和/表示兩項的簡單除法:
函数 n/d 在每个步长 n = d × q + r 时,要求 d ≠0 q →0 r → n//
当 r ≠0且度(r)≥度(d)时,t → lead (r)/lead (d)//除以前导项 q → q + t r → r-t × d
回报率(q,r)
當度(n) < 度(d)時,這種方法同樣有效; 在這種情況下,結果只是平凡的(0,n)。
這個算法準確地描述了上面的紙和鉛筆法: d 寫在「)」的左邊; q 寫在水平線上,一個術語接著一個術語,最後一個術語是 t 的值; 水平線下的區域用來計算和寫下 r 的連續值。
對於 B ≠0的每一對多項式(A,B) ,多項式除法提供一個商 Q 和一個餘數 R,使得
![{\displaystyle A=BQ+R,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91beeaadb9abf70bea5891b7cfa9ff3e6385f398)
R = 0或學位(R) < 學位(B)。 而且(Q,R)是具有這一性質的唯一多項式對。
從 a 和 b 中得到唯一定義的多項式 Q 和 R 的過程稱為帶餘除法(有時是除法變換)。 因此,多項式長除法是帶餘除法的一種算法。[1]
Blomqvist 的方法是上面長除法的縮寫。[2] 這種筆和紙的方法使用與多項式長除法相同的算法,但是用心算來確定剩餘部分。 這需要較少的編寫,因此,一旦掌握了這種方法,可以成為一種更快的方法。
除法最初的寫法與長乘法相似,除數頂部為紅利,除數低於紅利。 商應該從左到右寫在條形圖的下面。
![{\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \qquad x^{3}-2x^{2}+{0x}-4\\{\underline {\div \quad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d764ba834b89e74b9fc923203ff37698e1d814)
除以除數的最大項(x3 x = x2)。 把結果放在橫條下面。 X3已被除去,沒有留下餘數,因此可以標記為使用反斜槓。 然後將結果 x2乘以除數 -3 = -3x2中的第二項。 通過減去-2x2-(- 3x2) = x2來確定部分餘數。 標記 -2x2,並將新的餘數 x2放在它上面。
![{\displaystyle {\begin{matrix}\qquad x^{2}\\\qquad \quad {\bcancel {x^{3}}}+{\bcancel {-2x^{2}}}+{0x}-4\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}\qquad \qquad \end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d655b6c3306627bab3e86396e3aaa2e1605734c4)
餘數的最高項除以除數的最高項(x2 x = x)。 把結果(+ x)放在橫條下面。 X2已被除去,不留餘數,因此可以標記為已使用。 然後將結果 x 乘以除數 -3 = -3x 中的第二項。 通過減去0x-(- 3x) = 3x 來確定部分餘數。 將0x 標記為已使用,並將新的剩餘部分放在其上方3倍。
![{\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \qquad \quad {\bcancel {x^{2}}}\quad 3x\\\qquad \quad {\bcancel {x^{3}}}+{\bcancel {-2x^{2}}}+{\bcancel {0x}}-4\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}+x\qquad \end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27e5664039e52924f2d7bf3891dbb0eefd444836)
餘數的最大項除以除數的最大項(3xx = 3)。 把結果(+ 3)放在橫條下面。 3x 已被分割,沒有留下任何餘數,因此可以標記為使用。 然後將結果3乘以除數 -3 = -9中的第二項。 通過減去 -4-(-9) = 5來確定部分餘數。 標記 -4,並將新的剩餘5放在它上面。
![{\displaystyle {\begin{matrix}\quad \qquad \qquad \qquad {\bcancel {x^{2}}}\quad {\bcancel {3x}}\quad 5\\\qquad \quad {\bcancel {x^{3}}}+{\bcancel {-2x^{2}}}+{\bcancel {0x}}{\bcancel {-4}}\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}+x+3\qquad \end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0448f63cc92822a1f83001be430f93a81a70a5d5)
條形圖下面的多項式是商 q (x) ,剩下的數字(5)是餘數 r (x)。
S. Barnard. Higher Algebra. READ BOOKS. 2008: 24. ISBN 978-1-4437-3086-0.S. Barnard (2008). Higher Algebra. READ BOOKS. p. 24. ISBN 978-1-4437-3086-0.