地平坐標系 （英語 ：Horizontal coordinate system），是天球坐標系統 中的一種，以觀測者所在地為中心點，所在地的地平線 作為基礎平面 ，將天球適當的分成能看見的上半球 和看不見（被地球本身遮蔽）的下半球。上半球的頂點（最高點）稱為天頂 ，下半球的頂點（最低點）稱為地底 。
地平坐標系：方位角 可分為由北點開始向東方順時鐘方向所定義的北方位角(如圖中所示兩條藍線夾角)，或是從南點向西方順時鐘方向所定義的南方位角(如圖中紅色弧線所示夾角)，高度角 為星體與地平面的夾角（綠色弧線夾角） 地平坐標系統由兩個夾角來定義一個天體位置的極座標：
高度角（Altitude, Alt）或仰角又稱地平緯度 ，是天體和觀測者所在地的地平線的夾角。
方位角 （Azimuth, Az）又稱地平經度，是沿著地平線測量的角度. 一般文獻指稱的方位角是以正北方為0度起點, 順時鐘向東方測量. 但對於某些觀星者或航海家而言, 定義以南方為0度起點的方向角, 有其方便性. 因此以下將以
A
N
{\displaystyle A_{N}}
A
S
{\displaystyle A_{S}}
因此地平坐標系 有時也被稱為高度/方位（Alt/Az）坐標系統 。
地平坐標系統是固定在地球上而不是恆星，所以天體出現在天球上的高度和方位會隨著時間，在天球上不停的改變。另一方面，因為基礎平面是觀測者所在地的地平面，所以相同的天體在相同的時間從不同的位置觀察，也會有不同的高度和方位。
地平坐標系在測量天體的出沒上非常的好用，當一個天體的高度為0°，就表示他位於地平線上。此時若其高度增加，就代表上升；若高度減少，便是下降。然而天球上所有天體的運動都受到由西向東的周日運動 支配，所以與其笨拙的去觀察高度是增加或減少，不如改為觀察天體的方位更容易來判斷是上升或是下降：
當天體的方位在0°～180°之間（北方—東方—南方，亦即子午線 之東）是上升。
當天體的方位在180°～360°之間（南方—西方—北方，亦即子午線之西）是下降。 但在下面的特殊位置則例外：
在北極點，因為天頂就是北天極，所有的方向都是南方，所以無法定出方位，但這並不造成問題，因為所有天體的高度無論任何時間都不會改變，即既不升高也不降低，只繞北極星以逆時針 轉動。（頭朝下感覺天星是順時針轉，抬頭望天，才看見天星逆時針轉）
在南極，地面上所有方向都是北方，也會有與北極相同情況，只是所有星星皆繞天頂的南天極順時針 轉動。
在赤道，位於極點的天體會固定不動的永遠停留在地平線上的那一個點。（但實際上由於天極很接近地平線，在該處天體未必能直接看到） 需要注意的是：前面所考慮的衹是理論上的幾何地平 ，即不考慮地球大氣層對天體位置的影響，讓觀測者的地平線完全以理想的海平面構成。因為地球有弧度，實際上看見的視地平面 會隨著觀測者的高度增加而降低（出現負值）。另一方面大氣層也會將地平線下半度的天體折射到地平線上。
只要知道觀測者的地理坐標與時間，就可以將地平坐標轉換成赤道坐標，或是反過來將赤道坐標轉換成地平坐標。
在以下公式中，以
A
{\displaystyle A}
a
{\displaystyle a}
以
α
{\displaystyle \alpha }
赤經 ，
δ
{\displaystyle \delta }
赤緯 ，
H
{\displaystyle H}
時角 。
φ為觀測者所在地的緯度 。
不管赤緯或地理緯度, 都是以北極點為+90°，在赤道是0°，南極點是-90°。
在地平座標轉換前一般會先計算天體的本地時角 (Local Hour Angle, LHA) (或稱地方時角)。天體的本地時角
H
{\displaystyle H}
α
L
{\displaystyle \alpha _{L}}
α
{\displaystyle \alpha }
H
≡
α
L
−
α
{\displaystyle H\equiv \alpha _{L}-\alpha }
α
L
{\displaystyle \alpha _{L}}
恆星時 (Local Sidereal Time, LST,
L
S
T
≡
α
L
{\displaystyle LST\equiv \alpha _{L}}
恆星日 , 南方子午線上會陸續通過赤經為
0
h
,
1
h
,
.
.
.
,
α
h
{\displaystyle 0^{h},1^{h},...,\alpha ^{h}}
α
L
h
{\displaystyle \alpha _{L}^{h}}
24
h
(
≡
0
h
)
{\displaystyle 24^{h}(\equiv 0^{h})}
α
L
{\displaystyle \alpha _{L}}
L
S
T
{\displaystyle LST}
α
0
=
0
h
{\displaystyle \alpha _{0}=0^{h}}
t
{\displaystyle t}
λ
{\displaystyle \lambda }
α
L
=
α
L
(
t
,
λ
)
{\displaystyle \alpha _{L}=\alpha _{L}(t,\lambda )}
α
{\displaystyle \alpha }
t
,
λ
{\displaystyle t,\lambda }
H
{\displaystyle H}
H
(
α
,
t
,
λ
)
{\displaystyle H(\alpha ,t,\lambda )}
H
(
α
)
{\displaystyle H(\alpha )}
H
(
α
,
t
,
λ
)
=
L
S
T
(
t
,
λ
)
−
α
≡
α
L
−
α
L
S
T
(
j
d
,
λ
)
=
G
S
T
(
j
d
)
+
λ
≡
α
L
(
j
d
,
λ
)
G
S
T
(
j
d
)
=
241.3872
+
360.9856091
×
(
j
d
−
2440000.5
)
≡
L
S
T
(
j
d
,
0
∘
)
G
H
A
(
α
,
t
)
≡
H
(
α
,
t
,
0
∘
)
=
G
S
T
(
t
)
−
α
H
(
α
,
t
,
λ
)
=
G
H
A
(
α
,
t
)
+
λ
=
G
S
T
(
t
)
+
λ
−
α
{\displaystyle {\begin{aligned}H(\alpha ,t,\lambda )&=LST(t,\lambda )-\alpha &&\equiv \alpha _{L}-\alpha \\LST(jd,\lambda )&=GST(jd)+\lambda &&\equiv \alpha _{L}(jd,\lambda )\\GST(jd)&=241.3872+360.9856091\times (jd-2440000.5)&&\equiv LST(jd,0^{\circ })\\GHA(\alpha ,t)&\equiv H(\alpha ,t,0^{\circ })&&=GST(t)-\alpha \\H(\alpha ,t,\lambda )&=GHA(\alpha ,t)+\lambda &&=GST(t)+\lambda -\alpha \end{aligned}}}
如上所示, LST 可由 GST 加計本地地理經度求得. 其中, GST 為格林威治 恆星時, 亦即 0 度經線上之觀測站的 LST. 上述公式中,
θ
0
=
{\displaystyle \theta _{0}=}
曆元
T
0
=
{\displaystyle T_{0}=}
儒略日 , Julian Date) (相當於1968/5/24.0) 時, 經過格林威治本初子午線 的遙遠恆星的赤經.
R
0
=
{\displaystyle R_{0}=}
平太陽日 ) 之內地球轉動的度數. 乘以
t
{\displaystyle t}
T
0
{\displaystyle T_{0}}
t
{\displaystyle t}
一般導航用的天文年鑑或曆書 (almanac), 並無法把主要天文導航天體(如太陽, 月亮, 行星, 及約 57 顆導航用亮星), 在所有城市的本地時角, 都刊印出來, 僅能列印他們在格林威治所觀測到的天體時角, 即格林威治時角 (Greenwich Hour Angle, GHA), 再由領航員從
L
H
A
=
G
H
A
+
λ
{\displaystyle LHA=GHA+\lambda }
L
H
A
{\displaystyle LHA}
單位與慣例: 上列公式中的經度
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
E
{\displaystyle \lambda _{E}}
λ
W
{\displaystyle \lambda _{W}}
λ
W
=
−
λ
E
{\displaystyle \lambda _{W}=-\lambda _{E}}
λ
≡
λ
E
{\displaystyle \lambda \equiv \lambda _{E}}
360
∘
≡
2
π
rad
≡
24
h
{\displaystyle 360^{\circ }\equiv 2\pi {\text{ rad}}\equiv 24^{h}}
此外, 對同一觀測目標 (
α
{\displaystyle \alpha }
λ
{\displaystyle \lambda }
G
S
T
(
j
d
)
=
θ
0
+
R
0
×
(
j
d
−
T
0
)
=
L
S
T
(
j
d
,
λ
)
−
λ
=
H
(
α
,
t
,
λ
)
−
α
−
λ
Δ
S
T
≜
G
S
T
(
j
d
1
)
−
G
S
T
(
j
d
0
)
=
L
S
T
(
j
d
1
,
λ
)
−
L
S
T
(
j
d
0
,
λ
)
=
H
(
α
,
j
d
1
,
λ
)
−
H
(
α
,
j
d
0
,
λ
)
≜
Δ
H
Δ
S
T
=
R
0
×
(
j
d
1
−
j
d
0
)
=
Δ
t
×
R
0
=
Δ
H
Δ
t
≜
j
d
1
−
j
d
0
=
Δ
S
T
/
R
0
=
Δ
H
/
R
0
j
d
1
=
j
d
0
+
Δ
S
T
/
R
0
=
j
d
0
+
Δ
H
/
R
0
{\displaystyle {\begin{aligned}GST(jd)&=\theta _{0}+R_{0}\times (jd-T_{0})&&=LST(jd,\lambda )-\lambda &&=H(\alpha ,t,\lambda )-\alpha -\lambda \\\Delta ST&\triangleq GST(jd1)-GST(jd0)&&=LST(jd1,\lambda )-LST(jd0,\lambda )\\&=H(\alpha ,jd1,\lambda )-H(\alpha ,jd0,\lambda )&&\triangleq \Delta H\\\Delta ST&=R_{0}\times (jd1-jd0)&&=\Delta t\times R_{0}&&=\Delta H\\\Delta t&\triangleq jd1-jd0&&=\Delta ST/R_{0}&&=\Delta H/R_{0}\\jd1&=jd0+\Delta ST/R_{0}&&=jd0+\Delta H/R_{0}\\\end{aligned}}}
也就時說, 在同一觀測地, 恆星時差(
Δ
S
T
{\displaystyle \Delta ST}
Δ
H
{\displaystyle \Delta H}
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
太陽時 ), 就必須多除以
R
0
{\displaystyle R_{0}}
R
0
≈
(
365.25
+
1
)
/
365.25
×
360
o
{\displaystyle R_{0}\approx (365.25+1)/365.25\times 360^{o}}
t ) 的計算問題上 (如日出 時刻、日落 時刻、星體中天 時刻、曙暮光 始末時刻、日照 時間或白天長度)
[ 1]
Δ
S
T
=
360
0
{\displaystyle \Delta ST=360^{0}}
Δ
t
=
23
h
56
m
4.09
s
{\displaystyle \Delta t=23^{h}56^{m}4.09^{s}}
赤道坐標轉為地平坐標時, 可以透過以下的關係, 由天體的赤經 (
α
{\displaystyle \alpha }
δ
{\displaystyle \delta }
A
{\displaystyle A}
a
{\displaystyle a}
Z
h
=
sin
a
=
sin
ϕ
⋅
sin
δ
+
cos
ϕ
⋅
cos
δ
⋅
cos
H
X
h
=
cos
A
⋅
cos
a
=
−
cos
ϕ
⋅
sin
δ
+
sin
ϕ
⋅
cos
δ
⋅
cos
H
Y
h
=
sin
A
⋅
cos
a
=
cos
δ
⋅
sin
H
{\displaystyle {\begin{aligned}Z_{h}&=\sin a&&=\sin \phi \cdot \sin \delta +\cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H\\X_{h}&=\cos A\cdot \cos a&&=-\cos \phi \cdot \sin \delta +\sin \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H\\Y_{h}&=\sin A\cdot \cos a&&=\cos \delta \cdot \sin H\\\end{aligned}}}
根據以上關係式,
a
=
a
r
c
s
i
n
(
Z
h
)
{\displaystyle a=arcsin(Z_{h})}
A
{\displaystyle A}
X
h
,
Y
h
{\displaystyle X_{h},Y_{h}}
有種方式是把
Y
h
,
X
h
{\displaystyle Y_{h},X_{h}}
cos
a
{\displaystyle \cos a}
tan
A
=
Y
h
/
X
h
{\displaystyle \tan A=Y_{h}/X_{h}}
arctan
(
Y
h
/
X
h
)
{\displaystyle \arctan(Y_{h}/X_{h})}
A
{\displaystyle A}
arctan
(
Y
h
/
X
h
)
{\displaystyle \arctan(Y_{h}/X_{h})}
反正切 函數的值域只在[-90, 90] 度之間, 無法完整涵蓋 [0, 360] (或 [-180,+180]) 度的方位角. 而在 0 到 360 (或 [-180,+180]) 度之間,
tan
{\displaystyle \tan }
tan
A
=
tan
(
A
∓
180
)
=
Y
h
/
X
h
{\displaystyle \tan A=\tan(A\mp 180)=Y_{h}/X_{h}}
正切 值相同。因此, 必須根據
X
h
{\displaystyle X_{h}}
Y
h
{\displaystyle Y_{h}}
arctan
(
Y
/
X
)
{\displaystyle \arctan(Y/X)}
A
{\displaystyle A}
Y
h
{\displaystyle Y_{h}}
tan
A
=
cos
δ
⋅
sin
H
−
cos
ϕ
⋅
sin
δ
+
sin
ϕ
⋅
cos
δ
⋅
cos
H
=
Y
h
X
h
=
sin
H
−
cos
ϕ
⋅
tan
δ
+
sin
ϕ
⋅
cos
H
A
0
≜
arctan
Y
h
X
h
∈
[
−
90
,
90
]
A
=
{
A
0
X
h
>
0
∈
[
−
90
,
90
]
A
0
+
180
∘
Y
h
≥
0
,
X
h
<
0
∈
[
90
,
180
]
A
0
−
180
∘
Y
h
<
0
,
X
h
<
0
∈
[
−
90
,
−
180
]
+
90
∘
Y
h
>
0
,
X
h
=
0
−
90
∘
Y
h
<
0
,
X
h
=
0
undefined
Y
h
=
0
,
X
h
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan A&={\frac {\cos \delta \cdot \sin H}{-\cos \phi \cdot \sin \delta +\sin \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H}}&&={\frac {Y_{h}}{X_{h}}}\\&={\frac {\sin H}{-\cos \phi \cdot \tan \delta +\sin \phi \cdot \cos H}}\\A_{0}&\triangleq \arctan {\frac {Y_{h}}{X_{h}}}&&\in [-90,90]\\A&={\begin{cases}A_{0}&\qquad X_{h}>0&\in [-90,90]\\A_{0}+180^{\circ }&\qquad Y_{h}\geq 0,X_{h}<0&\in [90,180]\\A_{0}-180^{\circ }&\qquad Y_{h}<0,X_{h}<0&\in [-90,-180]\\+90^{\circ }&\qquad Y_{h}>0,X_{h}=0\\-90^{\circ }&\qquad Y_{h}<0,X_{h}=0\\{\text{undefined}}&\qquad Y_{h}=0,X_{h}=0\end{cases}}\end{aligned}}}
其實不少程式語言(如 C, C++, Java, Python) 都有提供一個叫做 ATAN2(Y,X) (或 ATAN2(X,Y)) 的反三角函數 (atan2 是已將象限 納入考量的反正切 函數), 可算出
arctan
(
Y
/
X
)
{\displaystyle \arctan(Y/X)}
a
{\displaystyle a}
Z
{\displaystyle Z}
a
=
arcsin
(
Z
)
{\displaystyle a=\arcsin(Z)}
a
{\displaystyle a}
arcsin
{\displaystyle \arcsin }
需要特別注意的是, 上面計算出來的方位角
A
{\displaystyle A}
(北)方位角 若表示成
A
N
{\displaystyle A_{N}}
A
{\displaystyle A}
A
S
{\displaystyle A_{S}}
南方位角 , 兩者相差正好 180 度, 可以用
A
N
=
A
S
+
180
{\displaystyle A_{N}=A_{S}+180}
南方向角 , 主要是一些北半球的觀星者平時觀測的星體以南方星體為主. 因此, 以南方為零度方位, 有其方便性.
上列公式並不容易理解其來由, 若移項重新整理, 並刻意以
A
s
{\displaystyle A_{s}}
X
h
=
cos
a
⋅
cos
A
S
=
sin
ϕ
⋅
cos
δ
⋅
cos
H
−
cos
ϕ
⋅
sin
δ
Y
h
=
cos
a
⋅
sin
A
S
=
cos
δ
⋅
sin
H
Z
h
=
sin
a
=
cos
ϕ
⋅
cos
δ
⋅
cos
H
+
sin
ϕ
⋅
sin
δ
{\displaystyle {\begin{aligned}X_{h}&=\cos a\cdot \cos A_{S}&&=\sin \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H-\cos \phi \cdot \sin \delta \\Y_{h}&=\cos a\cdot \sin A_{S}&&=\cos \delta \cdot \sin H\\Z_{h}&=\sin a&&=\cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H+\sin \phi \cdot \sin \delta \\\end{aligned}}}
其矩陣形式則為:
[
X
h
Y
h
Z
h
]
=
[
cos
a
⋅
cos
A
S
cos
a
⋅
sin
A
S
sin
a
]
=
[
sin
ϕ
0
−
cos
ϕ
0
1
0
cos
ϕ
0
sin
ϕ
]
×
[
cos
δ
⋅
cos
H
cos
δ
⋅
sin
H
sin
δ
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{h}\\Y_{h}\\Z_{h}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos a\cdot \cos A_{S}\\\cos a\cdot \sin A_{S}\\\sin a\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \phi &0&-\cos \phi \\0&1&0\\\cos \phi &0&\sin \phi \end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}\cos \delta \cdot \cos H\\\cos \delta \cdot \sin H\\\sin \delta \end{bmatrix}}}
A
S
=
a
t
a
n
2
(
Y
h
,
X
h
)
{\displaystyle A_{S}=atan2(Y_{h},X_{h})}
a
=
arcsin
(
Z
h
)
{\displaystyle a=\arcsin(Z_{h})}
其中, 最右邊要被轉換的行向量表示赤道極座標
(
α
,
δ
)
{\displaystyle (\alpha ,\delta )}
(
H
,
δ
)
{\displaystyle (H,\delta )}
H
=
L
S
T
−
α
{\displaystyle H=LST-\alpha }
(
X
e
,
Y
e
,
Z
e
)
{\displaystyle (X_{e},Y_{e},Z_{e})}
(
A
S
,
a
)
{\displaystyle (A_{S},a)}
(
X
h
,
Y
h
,
Z
h
)
{\displaystyle (X_{h},Y_{h},Z_{h})}
ϕ
{\displaystyle \phi }
旋轉矩陣 . 這樣的矩陣式說明了原公式的直覺意義, 對於需要時常計算的觀星者,航海家或天文計算程式員而言比較不必硬記, 也較不容易弄錯.
上列矩陣轉換公式, 也讓地平座標轉赤道座標變得容易. 事實上, 只要把轉換對象調換, 並進行逆轉換即可. 換句話說, 前式的兩個行向量只要互相調換, 並把原來的轉換矩陣變成他的逆矩陣 (inverse matrix) 即可得到反向轉換公式. 有趣的是, 座標轉換的逆矩陣也是他的轉置矩陣 (transpose matrix), 也就是行列互換的矩陣, 因此並不需要費力去求原轉換矩陣的逆矩陣. 因此, 我們可以輕易得到:
[
X
e
Y
e
Z
e
]
=
[
cos
δ
⋅
cos
H
cos
δ
⋅
sin
H
sin
δ
]
=
[
sin
ϕ
0
cos
ϕ
0
1
0
−
cos
ϕ
0
sin
ϕ
]
×
[
cos
a
⋅
cos
A
S
cos
a
⋅
sin
A
S
sin
a
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{e}\\Y_{e}\\Z_{e}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \delta \cdot \cos H\\\cos \delta \cdot \sin H\\\sin \delta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \phi &0&\cos \phi \\0&1&0\\-\cos \phi &0&\sin \phi \end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}\cos a\cdot \cos A_{S}\\\cos a\cdot \sin A_{S}\\\sin a\\\end{bmatrix}}}
亦即
X
e
=
cos
δ
⋅
cos
H
=
sin
ϕ
⋅
cos
a
⋅
cos
A
S
+
cos
ϕ
⋅
sin
a
Y
e
=
cos
δ
⋅
sin
H
=
cos
a
⋅
sin
A
S
Z
e
=
sin
δ
=
−
cos
ϕ
⋅
cos
a
⋅
cos
A
S
+
sin
ϕ
⋅
sin
a
{\displaystyle {\begin{aligned}X_{e}&=\cos \delta \cdot \cos H&&=\sin \phi \cdot \cos a\cdot \cos A_{S}+\cos \phi \cdot \sin a\\Y_{e}&=\cos \delta \cdot \sin H&&=\cos a\cdot \sin A_{S}\\Z_{e}&=\sin \delta &&=-\cos \phi \cdot \cos a\cdot \cos A_{S}+\sin \phi \cdot \sin a\\\end{aligned}}}
H
=
a
t
a
n
2
(
Y
e
,
X
e
)
{\displaystyle H=atan2(Y_{e},X_{e})}
α
=
L
S
T
(
t
,
λ
)
−
H
(
α
)
{\displaystyle \alpha =LST(t,\lambda )-H(\alpha )}
δ
=
arcsin
(
Z
e
)
{\displaystyle \delta =\arcsin(Z_{e})}
其中,
L
S
T
(
t
,
λ
)
{\displaystyle LST(t,\lambda )}
λ
{\displaystyle \lambda }
t
{\displaystyle t}
赤道轉地平, 求
A
N
{\displaystyle A_{N}}
A
S
{\displaystyle A_{S}}
X
h
{\displaystyle X_{h}}
Y
h
{\displaystyle Y_{h}}
A
S
{\displaystyle A_{S}}
A
N
{\displaystyle A_{N}}
X
h
N
=
cos
a
⋅
cos
A
N
=
−
sin
ϕ
⋅
cos
δ
⋅
cos
H
+
cos
ϕ
⋅
sin
δ
=
−
X
h
Y
h
N
=
cos
a
⋅
sin
A
N
=
−
cos
δ
⋅
sin
H
=
−
Y
h
Z
h
N
=
sin
a
=
cos
ϕ
⋅
cos
δ
⋅
cos
H
+
sin
ϕ
⋅
sin
δ
=
+
Z
h
{\displaystyle {\begin{aligned}X_{hN}&=\cos a\cdot \cos A_{N}&&=-\sin \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H+\cos \phi \cdot \sin \delta &&=-X_{h}\\Y_{hN}&=\cos a\cdot \sin A_{N}&&=-\cos \delta \cdot \sin H&&=-Y_{h}\\Z_{hN}&=\sin a&&=\cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H+\sin \phi \cdot \sin \delta &&=+Z_{h}\\\end{aligned}}}
A
N
=
a
t
a
n
2
(
Y
h
N
,
X
h
N
)
{\displaystyle A_{N}=atan2(Y_{hN},X_{hN})}
a
=
arcsin
(
Z
h
N
)
{\displaystyle a=\arcsin(Z_{hN})}
A
N
=
a
t
a
n
2
(
−
Y
h
,
−
X
h
)
{\displaystyle A_{N}=atan2(-Y_{h},-X_{h})}
a
=
arcsin
(
Z
h
)
{\displaystyle a=\arcsin(Z_{h})}
tan
A
N
=
Y
h
N
X
h
N
=
−
Y
h
−
X
h
=
Y
h
X
h
=
tan
A
S
=
tan
A
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan A_{N}&={\frac {Y_{hN}}{X_{hN}}}={\frac {-Y_{h}}{-X_{h}}}={\frac {Y_{h}}{X_{h}}}=\tan A_{S}=\tan A\\\end{aligned}}}
兩者相除後，除正負號的區別外，形式完全一樣，已無法區分這裡的方位角是南方位角或北方位角。且已失去判斷象限的訊息，必須由分子分母的正負來輔助判斷。這跟之前討論如何由
tan
A
{\displaystyle \tan A}
tan
A
S
{\displaystyle \tan A_{S}}
A
{\displaystyle A}
有興趣者可以把他轉成矩陣轉換式, 會發現這樣的轉換是經過兩道轉換手續, 即先轉成原先的南地平, 再把 X 軸轉 180 度, 也就是 X 值跟 Y 值都取負號.
[
X
h
N
Y
h
N
Z
h
N
]
=
[
cos
a
⋅
cos
A
N
cos
a
⋅
sin
A
N
sin
a
]
=
[
−
1
0
0
0
−
1
0
0
0
1
]
×
[
sin
ϕ
0
−
cos
ϕ
0
1
0
cos
ϕ
0
sin
ϕ
]
×
[
cos
δ
⋅
cos
H
cos
δ
⋅
sin
H
sin
δ
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{hN}\\Y_{hN}\\Z_{hN}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos a\cdot \cos A_{N}\\\cos a\cdot \sin A_{N}\\\sin a\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}\sin \phi &0&-\cos \phi \\0&1&0\\\cos \phi &0&\sin \phi \end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}\cos \delta \cdot \cos H\\\cos \delta \cdot \sin H\\\sin \delta \end{bmatrix}}}
要得到使用
A
N
{\displaystyle A_{N}}
A
S
=
A
N
−
180
{\displaystyle A_{S}=A_{N}-180}
cos
(
A
S
)
=
cos
(
A
N
−
180
)
=
−
cos
(
A
N
)
{\displaystyle \cos(A_{S})=\cos(A_{N}-180)=-\cos(A_{N})}
sin
(
A
S
)
=
sin
(
A
N
−
180
)
=
−
sin
(
A
N
)
{\displaystyle \sin(A_{S})=\sin(A_{N}-180)=-\sin(A_{N})}
X
e
N
=
cos
δ
⋅
cos
H
=
−
sin
ϕ
⋅
cos
a
⋅
cos
A
N
+
cos
ϕ
⋅
sin
a
=
X
e
Y
e
N
=
cos
δ
⋅
sin
H
=
−
cos
a
⋅
sin
A
N
=
Y
e
Z
e
N
=
sin
δ
=
cos
ϕ
⋅
cos
a
⋅
cos
A
N
+
sin
ϕ
⋅
sin
a
=
Z
e
{\displaystyle {\begin{aligned}X_{eN}&=\cos \delta \cdot \cos H&&=-\sin \phi \cdot \cos a\cdot \cos A_{N}+\cos \phi \cdot \sin a&&=X_{e}\\Y_{eN}&=\cos \delta \cdot \sin H&&=-\cos a\cdot \sin A_{N}&&=Y_{e}\\Z_{eN}&=\sin \delta &&=\cos \phi \cdot \cos a\cdot \cos A_{N}+\sin \phi \cdot \sin a&&=Z_{e}\\\end{aligned}}}
H
=
a
t
a
n
2
(
Y
e
N
,
X
e
N
)
{\displaystyle H=atan2(Y_{eN},X_{eN})}
α
=
L
S
T
(
t
,
λ
)
−
H
(
α
)
{\displaystyle \alpha =LST(t,\lambda )-H(\alpha )}
δ
=
arcsin
(
Z
e
N
)
{\displaystyle \delta =\arcsin(Z_{eN})}
其中,
L
S
T
(
t
,
λ
)
{\displaystyle LST(t,\lambda )}
λ
{\displaystyle \lambda }
t
{\displaystyle t}
(
X
e
N
,
Y
e
N
,
Z
e
N
)
{\displaystyle (X_{eN},Y_{eN},Z_{eN})}
(
X
e
,
Y
e
,
Z
e
)
{\displaystyle (X_{e},Y_{e},Z_{e})}
A
S
{\displaystyle A_{S}}
A
N
{\displaystyle A_{N}}
比較
(
X
e
N
,
Y
e
N
,
Z
e
N
)
{\displaystyle (X_{eN},Y_{eN},Z_{eN})}
(
X
h
N
,
Y
h
N
,
Z
h
N
)
{\displaystyle (X_{hN},Y_{hN},Z_{hN})}
H
{\displaystyle H}
δ
{\displaystyle \delta }
A
N
{\displaystyle A_{N}}
a
{\displaystyle a}
A
N
{\displaystyle A_{N}}
赤道座標與地平座標之轉換, 牽涉到觀測時間
t
{\displaystyle t}
G
S
T
(
t
)
{\displaystyle GST(t)}
L
S
T
(
t
,
λ
)
{\displaystyle LST(t,\lambda )}
λ
,
ϕ
{\displaystyle \lambda ,\phi }
α
,
δ
{\displaystyle \alpha ,\delta }
H
(
α
,
t
,
λ
)
,
δ
)
{\displaystyle H(\alpha ,t,\lambda ),\delta )}
(
a
,
A
)
{\displaystyle (a,A)}
天文導航 (celestial navigation) 等方面, 應用極為廣泛. 舉例而言:
天體位置追蹤: 由觀測時地
t
,
(
λ
,
ϕ
)
{\displaystyle t,(\lambda ,\phi )}
(
α
,
δ
)
{\displaystyle (\alpha ,\delta )}
(
a
,
A
)
{\displaystyle (a,A)}
標定天體的方位及高度, 以規劃適當的觀測場地, 設置觀測儀器, 進行觀測活動.
太陽位置追蹤及太陽能 應用:
將地面或太空船上的太陽光電 模組、太陽熱能模組對準陽光方向, 以獲得最大日照強度 及能量.
日蝕 時, 由太陽及月球相對方位及高度繪製模擬過程. 提供太陽能設備特殊處理所需的位置資訊. 事件時程預測: 由觀測地位置
(
λ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\lambda ,\phi )}
(
α
,
δ
)
{\displaystyle (\alpha ,\delta )}
t
{\displaystyle t}
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
(
a
,
A
)
{\displaystyle (a,A)}
可由
Z
h
(
≡
Z
h
N
)
{\displaystyle Z_{h}(\equiv Z_{hN})}
H
{\displaystyle H}
G
S
T
{\displaystyle GST}
Z
e
{\displaystyle Z_{e}}
(
Z
e
N
)
{\displaystyle (Z_{eN})}
星起 (rise)、星落 (set)、中天 (transit)時刻、可觀測時間(duration).曙光 開始及暮光 終止(twilight)時間: 決定最佳觀測或活動時間窗口.太陽活動(日出日落)時間 及太陽能 應用:
計算日出 (sunrise)、日落 (sunset)、中天時間、方位, 及時啟動及關閉太陽能裝置, 適時啟動備用儲能 系統或其他發電系統.
計算日照 時間, 預測太陽光電全年發電量, 規劃與其他發電裝置及儲能系統的最佳搭配.
由太陽及月亮位置, 預測日蝕 發生時間. 提前預警太陽能設備進行特殊處理所需的時間資訊.
預測人造衛星進入地影時間. 觀測者地理位置定位 (positioning)及天文導航 (celestial navigation) 應用:
定位: 由一個或多個已知星體
(
α
,
δ
)
{\displaystyle (\alpha ,\delta )}
(
H
(
α
,
t
,
λ
)
,
δ
)
{\displaystyle (H(\alpha ,t,\lambda ),\delta )}
t
{\displaystyle t}
(
a
,
A
)
{\displaystyle (a,A)}
(
λ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\lambda ,\phi )}
原理: 所有位置中, 會觀測到天體的高度角為
a
{\displaystyle a}
星下點 地理位置 GP 為中心(半徑為餘高, co-altitude,
90
∘
−
a
{\displaystyle 90^{\circ }-a}
公式: 利用地平座標中的參數
Z
h
{\displaystyle Z_{h}}
a
{\displaystyle a}
t
{\displaystyle t}
導航: 由假設的地理位置 (AP, Assumed Position) (
λ
A
P
,
ϕ
A
P
{\displaystyle \lambda _{AP},\phi _{AP}}
a
A
P
,
A
A
P
{\displaystyle a_{AP},A_{AP}}
a
{\displaystyle a}
截距法 (intercept method , IM)[ 2] 航位推測 (Dead reckoning ) 的誤差. 天體地面位置投影及軌跡推測:
計算天體於特定時間
t
{\displaystyle t}
星下點 Substellar point)的地理位置 (GP, Geographic Position) (以經緯度表示).
G
P
(
α
,
δ
,
t
)
≜
(
λ
G
P
,
ϕ
G
P
)
{\displaystyle GP(\alpha ,\delta ,t)\triangleq (\lambda _{GP},\phi _{GP})}
−
G
H
A
(
α
,
t
)
,
δ
{\displaystyle -GHA(\alpha ,t),\delta }
α
−
G
S
T
(
t
)
,
δ
{\displaystyle \alpha -GST(t),\delta }
GHA: 天體的格林威治時角 (向西為正向東為負).
此處經度(
λ
G
P
{\displaystyle \lambda _{GP}}
λ
≡
λ
E
{\displaystyle \lambda \equiv \lambda _{E}}
λ
W
{\displaystyle \lambda _{W}}
計算天體及人造衛星的地面軌跡 (ground track).
繪製太陽所定義出來的晨昏線 (circle of illumination , Terminator (solar) ).
繪製日全蝕的地面的全蝕路徑 (path of totality). 天體軌道測定 (orbit determination): 由移動天體或人造衛星在不同時間
t
{\displaystyle t}
(
a
,
A
)
{\displaystyle (a,A)}
(
α
,
δ
)
{\displaystyle (\alpha ,\delta )}
狀態向量 ), 並透過軌道力學 公式, 推測天體的 軌道要素 (英語：Orbital elements
t
{\displaystyle t}
(
α
,
δ
)
{\displaystyle (\alpha ,\delta )}
(
a
,
A
)
{\displaystyle (a,A)}
給定出沒時的天體高度角
a
0
{\displaystyle a_{0}}
H
0
{\displaystyle H_{0}}
日(星)出 、日(星)落 、曙暮光 等事件的時間可摘要如下：
sin
a
0
=
cos
ϕ
⋅
cos
δ
⋅
cos
H
0
+
sin
ϕ
⋅
sin
δ
(
≜
Z
h
0
)
⇒
cos
H
0
=
sin
a
0
−
sin
ϕ
⋅
sin
δ
cos
ϕ
⋅
cos
δ
=
sin
a
0
cos
ϕ
⋅
cos
δ
−
tan
ϕ
⋅
tan
δ
(if
a
0
≠
0
)
=
−
tan
ϕ
⋅
tan
δ
(if
a
0
=
0
)
Let
H
0
=
arccos
(
sin
a
0
−
sin
ϕ
⋅
sin
δ
cos
ϕ
⋅
cos
δ
)
if
c
o
s
H
0
∈
[
−
1
,
+
1
]
⇒
H
0
R
=
−
H
0
≡
360
∘
−
H
0
(HA at Rise time)
H
0
S
=
+
H
0
(HA at Set time)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin a_{0}&=\cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H_{0}+\sin \phi \cdot \sin \delta &&(\triangleq Z_{h}^{0})\\\Rightarrow \cos H_{0}&={\frac {\sin a_{0}-\sin \phi \cdot \sin \delta }{\cos \phi \cdot \cos \delta }}={\frac {\sin a_{0}}{\cos \phi \cdot \cos \delta }}-\tan \phi \cdot \tan \delta &&{\text{(if }}a_{0}\neq 0{\text{)}}\\&=-\tan \phi \cdot \tan \delta &&{\text{(if }}a_{0}=0{\text{)}}\\{\text{Let }}H_{0}&=\arccos({\frac {\sin a_{0}-\sin \phi \cdot \sin \delta }{\cos \phi \cdot \cos \delta }})&&{\text{if }}cosH_{0}\in [-1,+1]\\\Rightarrow H_{0R}&=-H_{0}\equiv 360^{\circ }-H_{0}&&{\text{(HA at Rise time)}}\\H_{0S}&=+H_{0}&&{\text{(HA at Set time)}}\\\end{aligned}}}
此處, 天體出現時的天體時角為
H
0
R
=
−
H
0
{\displaystyle H_{0R}=-H_{0}}
H
0
S
=
+
H
0
{\displaystyle H_{0S}=+H_{0}}
c
o
s
(
A
)
=
c
o
s
(
−
A
)
{\displaystyle cos(A)=cos(-A)}
arccos
(
⋅
)
∈
[
0
,
180
∘
]
{\displaystyle \arccos(\cdot )\in [0,180^{\circ }]}
c
o
s
(
A
)
=
B
{\displaystyle cos(A)=B}
A
∈
{\displaystyle A\in }
A
=
∓
arccos
(
B
)
{\displaystyle A=\mp \arccos(B)}
注意, 如果
cos
H
0
>
+
1
(
≈
tan
ϕ
⋅
t
a
n
δ
<
−
1
)
{\displaystyle \cos H_{0}>+1(\approx \tan \phi \cdot tan\delta <-1)}
cos
H
0
<
−
1
(
≈
tan
ϕ
⋅
t
a
n
δ
>
+
1
)
{\displaystyle \cos H_{0}<-1(\approx \tan \phi \cdot tan\delta >+1)}
tan
ϕ
{\displaystyle \tan \phi }
tan
δ
{\displaystyle \tan \delta }
永晝 現象，到了冬至則看不到太陽升起而有永夜 的情境。這都可以由以上公式精確算出來。 若無永晝永夜之類的極端情況，則可由
H
0
{\displaystyle H_{0}}
G
S
T
0
h
{\displaystyle GST_{0h}}
L
S
T
0
=
α
∓
H
0
(LST for Rise/Set)
G
S
T
0
=
L
S
T
0
−
λ
(GST for Rise/Set)
Δ
S
T
0
h
=
G
S
T
0
−
G
S
T
0
h
(
Δ
S
T
as
Δ
G
S
T
w.r.t. midnight)
=
L
S
T
0
−
L
S
T
0
h
(or as
Δ
L
S
T
, both in Degrees)
Δ
t
=
Δ
S
T
0
h
/
R
0
(difference in Solar time, in Days)
t
R
S
=
t
0
h
+
Δ
t
×
24
h
=
Δ
S
T
0
h
/
R
0
×
24
h
(Rise/Set times, in Hour)
{\displaystyle {\begin{aligned}LST_{0}&=\alpha \mp H_{0}&&{\text{(LST for Rise/Set)}}\\GST_{0}&=LST_{0}-\lambda &&{\text{(GST for Rise/Set)}}\\\Delta ST_{0h}&=GST_{0}-GST_{0h}&&{\text{(}}\Delta ST{\text{ as }}\Delta GST{\text{ w.r.t. midnight)}}\\&=LST_{0}-LST_{0h}&&{\text{(or as }}\Delta LST{\text{, both in Degrees)}}\\\Delta t&=\Delta ST_{0h}/R_{0}&&{\text{(difference in Solar time, in Days)}}\\t_{RS}&=t_{0h}+\Delta t\times {24^{h}}=\Delta ST_{0h}/R_{0}\times {24^{h}}&&{\text{(Rise/Set times, in Hour)}}\\\end{aligned}}}
注意，以上計算是假設天體的位置 (
α
,
δ
{\displaystyle \alpha ,\delta }
天體出沒的方位角，顯然只跟天體所在的赤緯平行圈及觀測地緯度有關，與出沒時間無關。所有赤緯相同的天體都在同一天球赤緯平行圈上，該平行圈與地平線交於相同的兩點，其方位即天體出或沒時的方位。給定出沒時的天體高度角
a
0
{\displaystyle a_{0}}
ϕ
{\displaystyle \phi }
A
S
0
{\displaystyle A_{S0}}
A
N
0
{\displaystyle A_{N0}}
sin
δ
=
−
cos
ϕ
⋅
cos
a
0
⋅
cos
A
S
0
+
sin
ϕ
⋅
sin
a
0
(
≜
Z
e
0
)
⇒
cos
A
S
0
=
sin
δ
−
sin
ϕ
⋅
sin
a
0
−
cos
ϕ
⋅
cos
a
0
(if
a
0
≠
0
)
=
sin
δ
−
cos
ϕ
(if
a
0
=
0
)
Let
A
S
0
=
arccos
(
sin
δ
−
sin
ϕ
⋅
sin
a
0
−
cos
ϕ
⋅
cos
a
0
)
if
c
o
s
H
0
∈
[
−
1
,
+
1
]
,
has rise/set
⇒
A
S
0
R
=
−
A
S
0
≡
360
∘
−
A
S
0
H
0
∈
[
−
0
,
−
180
]
(South Azimuth for Rise)
A
S
0
S
=
+
A
S
0
H
0
∈
[
+
0
,
+
180
]
(South Azimuth for Set)
and,
A
N
0
=
A
S
0
+
180
∘
(North Azimuth)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \delta &=-\cos \phi \cdot \cos a_{0}\cdot \cos A_{S0}+\sin \phi \cdot \sin a_{0}&&(\triangleq Z_{e}^{0})\\\Rightarrow \cos A_{S0}&={\frac {\sin \delta -\sin \phi \cdot \sin a_{0}}{-\cos \phi \cdot \cos a_{0}}}&&{\text{(if }}a_{0}\neq 0{\text{)}}\\&={\frac {\sin \delta }{-\cos \phi }}&&{\text{(if }}a_{0}=0{\text{)}}\\{\text{Let }}A_{S0}&=\arccos({\frac {\sin \delta -\sin \phi \cdot \sin a_{0}}{-\cos \phi \cdot \cos a_{0}}})&&{\text{if }}cosH_{0}\in [-1,+1],{\text{has rise/set}}\\\Rightarrow A_{S0R}&=-A_{S0}\equiv 360^{\circ }-A_{S0}&&H_{0}\in [-0,-180]{\text{ (South Azimuth for Rise)}}\\A_{S0S}&=+A_{S0}&&H_{0}\in [+0,+180]{\text{ (South Azimuth for Set)}}\\{\text{and, }}A_{N0}&=A_{S0}+180^{\circ }&&{\text{(North Azimuth)}}\\\end{aligned}}}
另外, 也可以直接由
A
N
{\displaystyle A_{N}}
sin
δ
=
cos
ϕ
⋅
cos
a
0
⋅
cos
A
N
0
+
sin
ϕ
⋅
sin
a
0
(
≜
Z
e
N
0
)
⇒
cos
A
N
0
=
sin
δ
−
sin
ϕ
⋅
sin
a
0
cos
ϕ
⋅
cos
a
0
(if
a
0
≠
0
)
=
sin
δ
cos
ϕ
(if
a
0
=
0
)
Let
A
N
0
=
arccos
(
sin
δ
−
sin
ϕ
⋅
sin
a
0
cos
ϕ
⋅
cos
a
0
)
if
c
o
s
H
0
∈
[
−
1
,
+
1
]
,
has rise/set
⇒
A
N
0
R
=
+
A
N
0
H
0
∈
[
−
0
,
−
180
]
(North Azimuth for Rise)
A
N
0
S
=
−
A
N
0
≡
360
∘
−
A
N
0
H
0
∈
[
+
0
,
+
180
]
(North Azimuth for Set)
and,
A
S
0
=
A
N
0
−
180
∘
(South Azimuth)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \delta &=\cos \phi \cdot \cos a_{0}\cdot \cos A_{N0}+\sin \phi \cdot \sin a_{0}&&(\triangleq Z_{eN}^{0})\\\Rightarrow \cos A_{N0}&={\frac {\sin \delta -\sin \phi \cdot \sin a_{0}}{\cos \phi \cdot \cos a_{0}}}&&{\text{(if }}a_{0}\neq 0{\text{)}}\\&={\frac {\sin \delta }{\cos \phi }}&&{\text{(if }}a_{0}=0{\text{)}}\\{\text{Let }}A_{N0}&=\arccos({\frac {\sin \delta -\sin \phi \cdot \sin a_{0}}{\cos \phi \cdot \cos a_{0}}})&&{\text{if }}cosH_{0}\in [-1,+1],{\text{has rise/set}}\\\Rightarrow A_{N0R}&=+A_{N0}&&H_{0}\in [-0,-180]{\text{ (North Azimuth for Rise)}}\\A_{N0S}&=-A_{N0}\equiv 360^{\circ }-A_{N0}&&H_{0}\in [+0,+180]{\text{ (North Azimuth for Set)}}\\{\text{and, }}A_{S0}&=A_{N0}-180^{\circ }&&{\text{(South Azimuth)}}\\\end{aligned}}}
火箭、人造衛星、彈道飛彈 、太空梭 、太空船也可以用明亮的恆星執行導航任務。執行此類導航的裝置通常稱為恆星追蹤儀
對於固定軌道的彈道飛彈而言，則可預先計算每個預訂時刻在預定位置可以觀察到的亮星，及其相對於飛行路徑的假想地平面的高度角及方位角。並從實際的觀測值與計算值的差距，產生錯誤修正訊號，以修正其飛行軌跡，最終將飛彈導引至目的地。[ 3]
在實際運用上，天體導航有時會與其他導航系統結合，截長補短，以提高導航的精確度。例如，恆星追蹤儀可能跟慣性導航系統 (INS, Inertial Navigation System) 結合，形成所謂的星光慣性導航系統 (Stellar Inertial Navigation Systems)。
其他移動的天體，如行星 、彗星 、小行星 、月亮 、行星的衛星 、人造衛星 、太空船 等，也可以透過解克卜勒方程式 ，求得它們在其軌道面的即時位置，再透過適當的座標轉換 ，將軌道面座標轉換到赤道座標，再轉換到水平座標。這樣就可以預測它們的方位角及高度角，再以人工或自動的方式，加以追蹤。(太陽系行星位置計算及行星軌道要素
[ 4] 外部鏈結 .)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan A&={\frac {\cos \delta \cdot \sin H}{-\cos \phi \cdot \sin \delta +\sin \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H}}&&={\frac {Y_{h}}{X_{h}}}\\&={\frac {\sin H}{-\cos \phi \cdot \tan \delta +\sin \phi \cdot \cos H}}\\A_{0}&\triangleq \arctan {\frac {Y_{h}}{X_{h}}}&&\in [-90,90]\\A&={\begin{cases}A_{0}&\qquad X_{h}>0&\in [-90,90]\\A_{0}+180^{\circ }&\qquad Y_{h}\geq 0,X_{h}<0&\in [90,180]\\A_{0}-180^{\circ }&\qquad Y_{h}<0,X_{h}<0&\in [-90,-180]\\+90^{\circ }&\qquad Y_{h}>0,X_{h}=0\\-90^{\circ }&\qquad Y_{h}<0,X_{h}=0\\{\text{undefined}}&\qquad Y_{h}=0,X_{h}=0\end{cases}}\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4fec198839bd844d01203b76d34b7cb6a10c73)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin a_{0}&=\cos \phi \cdot \cos \delta \cdot \cos H_{0}+\sin \phi \cdot \sin \delta &&(\triangleq Z_{h}^{0})\\\Rightarrow \cos H_{0}&={\frac {\sin a_{0}-\sin \phi \cdot \sin \delta }{\cos \phi \cdot \cos \delta }}={\frac {\sin a_{0}}{\cos \phi \cdot \cos \delta }}-\tan \phi \cdot \tan \delta &&{\text{(if }}a_{0}\neq 0{\text{)}}\\&=-\tan \phi \cdot \tan \delta &&{\text{(if }}a_{0}=0{\text{)}}\\{\text{Let }}H_{0}&=\arccos({\frac {\sin a_{0}-\sin \phi \cdot \sin \delta }{\cos \phi \cdot \cos \delta }})&&{\text{if }}cosH_{0}\in [-1,+1]\\\Rightarrow H_{0R}&=-H_{0}\equiv 360^{\circ }-H_{0}&&{\text{(HA at Rise time)}}\\H_{0S}&=+H_{0}&&{\text{(HA at Set time)}}\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f77cff8268a5a027cb6a563095222b77646d692)
![{\displaystyle \arccos(\cdot )\in [0,180^{\circ }]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f7f024cfe99517147162da60e2fcbb9589c7cf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \delta &=-\cos \phi \cdot \cos a_{0}\cdot \cos A_{S0}+\sin \phi \cdot \sin a_{0}&&(\triangleq Z_{e}^{0})\\\Rightarrow \cos A_{S0}&={\frac {\sin \delta -\sin \phi \cdot \sin a_{0}}{-\cos \phi \cdot \cos a_{0}}}&&{\text{(if }}a_{0}\neq 0{\text{)}}\\&={\frac {\sin \delta }{-\cos \phi }}&&{\text{(if }}a_{0}=0{\text{)}}\\{\text{Let }}A_{S0}&=\arccos({\frac {\sin \delta -\sin \phi \cdot \sin a_{0}}{-\cos \phi \cdot \cos a_{0}}})&&{\text{if }}cosH_{0}\in [-1,+1],{\text{has rise/set}}\\\Rightarrow A_{S0R}&=-A_{S0}\equiv 360^{\circ }-A_{S0}&&H_{0}\in [-0,-180]{\text{ (South Azimuth for Rise)}}\\A_{S0S}&=+A_{S0}&&H_{0}\in [+0,+180]{\text{ (South Azimuth for Set)}}\\{\text{and, }}A_{N0}&=A_{S0}+180^{\circ }&&{\text{(North Azimuth)}}\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1982ce8232e56ff402028d92f82b643a151c307)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \delta &=\cos \phi \cdot \cos a_{0}\cdot \cos A_{N0}+\sin \phi \cdot \sin a_{0}&&(\triangleq Z_{eN}^{0})\\\Rightarrow \cos A_{N0}&={\frac {\sin \delta -\sin \phi \cdot \sin a_{0}}{\cos \phi \cdot \cos a_{0}}}&&{\text{(if }}a_{0}\neq 0{\text{)}}\\&={\frac {\sin \delta }{\cos \phi }}&&{\text{(if }}a_{0}=0{\text{)}}\\{\text{Let }}A_{N0}&=\arccos({\frac {\sin \delta -\sin \phi \cdot \sin a_{0}}{\cos \phi \cdot \cos a_{0}}})&&{\text{if }}cosH_{0}\in [-1,+1],{\text{has rise/set}}\\\Rightarrow A_{N0R}&=+A_{N0}&&H_{0}\in [-0,-180]{\text{ (North Azimuth for Rise)}}\\A_{N0S}&=-A_{N0}\equiv 360^{\circ }-A_{N0}&&H_{0}\in [+0,+180]{\text{ (North Azimuth for Set)}}\\{\text{and, }}A_{S0}&=A_{N0}-180^{\circ }&&{\text{(South Azimuth)}}\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6a19fc0df8c33f43d6e67897d59ed891722d3d)
