克卜勒方程式 （英語：Kepler's equation ）把軌道力學 中受到連心力 影響的軌道中天體多種幾何性質聯繫起來。
圖為五種由0到1不同離心率的克卜勒方程式解 這條方程式最早由約翰內斯·克卜勒 得出，推導過程見於他在1609年出版的著作《新天文學 》的第60章[ 1] [ 2] 哥白尼天文學概要 [ 3] [ 4] 天體力學 史上。
克卜勒方程式 如下：
M
=
E
−
e
sin
E
{\displaystyle M=E-e\sin E}
其中M 平近點角 ，E 偏近點角 ，而e 離心率 .
偏近點角E x = a (1 − e )y = 0t = t 0 平均運動 n M = n (t − t 0 )M E
x
=
a
(
cos
E
−
e
)
y
=
b
sin
E
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&a(\cos E-e)\\y&=&b\sin E\end{array}}}
其中a 半長軸 ，而b 半短軸 。
由於正弦 是超越函數 ，所以克卜勒方程式是超越方程式 ，即是說不能用代數方法 解出E E 數值分析 和級數 。
克卜勒方程式共有幾種形式。每一種形式都同一種特定軌道類型有關。標準的克卜勒方程式用於橢圓軌道（0 ≤e e e e 巴克方程式
當e = 0時，軌道是圓形的。增加e 會導致圓形變成橢圓。當e = 1時共有三種可能性：
拋物線軌跡；
沿著從吸引中心起始無限長射線向內或向外的軌跡；
或沿著由吸引中心和距其一定距離的點所形成的線段來回移動的軌跡。 把e e 趨向無限時，軌道則變成長度無限的直線。
雙曲克卜勒方程式如下：
M
=
e
sinh
H
−
H
{\displaystyle M=e\sinh H-H}
其中H M −1的平方根 乘上橢圓方程式的右邊而得：
M
=
i
(
E
−
e
sin
E
)
{\displaystyle M=i\left(E-e\sin E\right)}
（其中E iH E
徑向克卜勒方程式如下：
t
(
x
)
=
sin
−
1
(
x
)
−
x
(
1
−
x
)
{\displaystyle t(x)=\sin ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x(1-x)}}}
其中t x 1/2 e
t
(
x
)
=
1
2
[
E
−
sin
(
E
)
]
{\displaystyle t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin(E)\right]}
代入得
E
=
2
sin
−
1
(
x
)
{\displaystyle E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}})}
可以利用已知的E M M E 解析解 。
可以使用拉格朗日反算法 級數 表達式，但所有e M
文獻中對克卜勒方程式可解性的混淆已存在了四個世紀[ 5]
“
對於它［克卜勒方程式］不能用演繹法求解這點我是足夠滿意的，因為弧和正弦之間有著本質上的差異。但若果我錯了的話，任何人都應該給我指出來，而那個人在我眼中就是偉大的阿波羅尼奧斯 。
”
——約翰內斯·克卜勒[ 6]
逆克卜勒方程式是所有實數值
e
{\displaystyle e}
E
=
{
∑
n
=
1
∞
M
n
3
n
!
lim
θ
→
0
+
(
d
n
−
1
d
θ
n
−
1
(
(
θ
θ
−
sin
(
θ
)
3
)
n
)
)
,
e
=
1
∑
n
=
1
∞
M
n
n
!
lim
θ
→
0
+
(
d
n
−
1
d
θ
n
−
1
(
(
θ
θ
−
e
sin
(
θ
)
)
n
)
)
,
e
≠
1
{\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}}
展開得：
E
=
{
s
+
1
60
s
3
+
1
1400
s
5
+
1
25200
s
7
+
43
17248000
s
9
+
1213
7207200000
s
11
+
151439
12713500800000
s
13
+
⋯
|
s
=
(
6
M
)
1
/
3
,
e
=
1
1
1
−
e
M
−
e
(
1
−
e
)
4
M
3
3
!
+
(
9
e
2
+
e
)
(
1
−
e
)
7
M
5
5
!
−
(
225
e
3
+
54
e
2
+
e
)
(
1
−
e
)
10
M
7
7
!
+
(
11025
e
4
+
4131
e
3
+
243
e
2
+
e
)
(
1
−
e
)
13
M
9
9
!
+
⋯
,
e
≠
1
{\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5}+{\frac {1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}s^{13}+\cdots {\bigg |}{s=(6M)^{1/3}},&e=1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-e}}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e^{2}+e)}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{2}+e)}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3}+243e^{2}+e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{cases}}}
以上的級數可用Wolfram Mathematica 的InverseSeries運算得出。
InverseSeries [ Series [ M - Sin [ M ], { M , 0 , 10 }]] InverseSeries [ Series [ M - e Sin [ M ], { M , 0 , 10 }]] 這些函數只是簡單的麥克勞林級數 。這樣的超越函數泰勒級數寫法可被視為那些函數的定義。因此，這個解是逆克卜勒方程式的正式定義。然而，在e E M 整函數 。其導數
d
M
/
d
E
=
1
−
e
cos
E
{\displaystyle dM/dE=1-e\cos E}
在e
E
=
±
i
cosh
−
1
(
1
/
e
)
{\displaystyle E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e)}
M
=
E
−
e
sin
E
=
±
i
(
cosh
−
1
(
1
/
e
)
−
1
−
e
2
)
{\displaystyle M=E-e\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}
（其中逆cosh取正值），而dE/dM
cosh
−
1
(
1
/
e
)
−
1
−
e
2
{\displaystyle \cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}}
M
cos
−
1
(
1
/
e
)
−
e
2
−
1
{\displaystyle \cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}}
e M <2π
還可以寫出用e e 拉普拉斯極限 （約為0.66）時不會收歛，與M M 2π e M M M 2π
逆徑向克卜勒方程式（e = 1）可被寫成：
x
(
t
)
=
∑
n
=
1
∞
[
lim
r
→
0
+
(
t
2
3
n
n
!
d
n
−
1
d
r
n
−
1
(
r
n
(
3
2
(
sin
−
1
(
r
)
−
r
−
r
2
)
)
−
2
3
n
)
)
]
{\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]}
展開得：
x
(
t
)
=
p
−
1
5
p
2
−
3
175
p
3
−
23
7875
p
4
−
1894
3931875
p
5
−
3293
21896875
p
6
−
2418092
62077640625
p
7
−
⋯
|
p
=
(
3
2
t
)
2
/
3
{\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3931875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3}}}
上述結果可用Wolfram Mathematica 求得:
InverseSeries [ Series [ ArcSin [ Sqrt [ t ]] - Sqrt [( 1 - t ) t ], { t , 0 , 15 }]]
逆問題在大部份的應用中都能以數值方法求得函數的根 ：
f
(
E
)
=
E
−
e
sin
(
E
)
−
M
(
t
)
{\displaystyle f(E)=E-e\sin(E)-M(t)}
可以經牛頓法 來進行迭代：
E
n
+
1
=
E
n
−
f
(
E
n
)
f
′
(
E
n
)
=
E
n
−
E
n
−
e
sin
(
E
n
)
−
M
(
t
)
1
−
e
cos
(
E
n
)
{\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}}
注意在這個計算E M f(E) E 0 = M (t ) 已經足夠。而對e > 0.8的軌道而言，則應取起始值{{{1}}} [ 7] :66-67 。而在面對拋物線軌跡的個案時則使用巴克方程式
克卜勒方程式常被聲稱「沒有解釋解」；例子見這裏 （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）。至於這是否真確取決於是否認為無限級數（或不一定收歛的級數）算解釋解。也有其他作者無理地聲稱此方程式無解；例子見M. V. K. Chari, Sheppard Joel Salon 2000 Technology & Engineering.
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![{\displaystyle t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin(E)\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ac18a34c030c0ecabc83bdc27a39e23b74db2f)
![{\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9b5648a447da6d4efa9ec7969d4c3378598c3cb)
![{\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47bb7605f35d5f52f7c5c7439592bae70e1b2f33)
