整函數

整函數（英語：Entire function）是在整個複平面上全純的函數。典型的例子有多項式函數、指數函數、以及它們的和、積及複合函數。每一個整函數都可以表示為處處收斂的冪級數。而對數函數和平方根都不是整函數。

整函數${\displaystyle f(z)}$的階可以用上極限定義如下：

${\displaystyle \rho =\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln(\ln(M(r)))}{\ln(r)}},}$

其中${\displaystyle r}$是到${\displaystyle 0}$的距離，${\displaystyle M(r)}$是${\displaystyle \left|z\right|=r}$時${\displaystyle f(z)}$的最大絕對值。如果${\displaystyle 0<\rho <\infty }$，我們也可以定義它的類型：

${\displaystyle \sigma =\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln(M(r))}{r^{\rho }}}.}$

整函數在無窮遠處可能具有奇點，甚至是本性奇點，這時該函數便稱為超越整函數。根據劉維爾定理，在整個黎曼球面（複平面和無窮遠處的點）上的整函數是常數。

劉維爾定理確立了整函數的一個重要的性質：任何一個有界的整函數都是常數。這個性質可以用來證明代數基本定理。皮卡小定理強化了劉維爾定理，它表明任何一個不是常數的整函數都取遍所有的複數值，最多只有一個值例外，例如指數函數永遠不能是零。

參見

• 魏爾施特拉斯分解定理

參考文獻

• Ralph P. Boas. Entire Functions. Academic Press. 1954. OCLC 847696.