哈恩-巴拿赫定理

在泛函分析中，哈恩－巴拿赫定理是一個極為重要的工具。它允許了定義在某個向量空間上的有界線性算子擴張到整個空間，並說明了存在「足夠」的連續線性泛函，定義在每一個賦範向量空間，使對偶空間的研究變得有趣味。這個定理以漢斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他們在1920年代後期獨立證明了這個定理。

表述

定理的最一般的表述需要一些準備。給定純量體${\displaystyle \mathbb {K} }$（實數體或複數體）上的一個向量空間${\displaystyle V}$，一個函數${\displaystyle {\mathcal {N}}:V\rightarrow \mathbb {R} }$稱為次線性的，如果：

${\displaystyle {\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|{\mathcal {N}}(x)+|b|{\mathcal {N}}(y)\qquad \forall x,y\in V\quad \forall a,b\in \mathbb {K} .}$

可以很容易證明，${\displaystyle V}$上的每一個範數和每一個半範數都是次線性的。其它的次線性函數也可以是很有用的。

哈恩－巴拿赫定理說明，如果${\displaystyle {\mathcal {N}}:V\rightarrow \mathbb {R} }$是一個次線性函數，${\displaystyle \varphi :U\rightarrow \mathbb {K} }$是${\displaystyle V}$的子空間${\displaystyle U}$上的一個線性泛函，滿足：

${\displaystyle |\varphi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U}$

那麼存在φ到整個空間${\displaystyle V}$的一個線性擴張${\displaystyle \psi :V\rightarrow \mathbb {K} }$，也就是說，存在一個線性泛函ψ，使得：

${\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U}$

以及：

${\displaystyle |\psi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in V.}$

擴張ψ一般不是由φ唯一指定的，定理的證明也沒有給出任何求出ψ的方法：在無窮維空間${\displaystyle V}$的情形中，它依賴於佐恩引理——選擇公理的一個表述。

我們可以把${\displaystyle {\mathcal {N}}}$的次線性條件稍微減弱，只需要：

${\displaystyle {\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|{\mathcal {N}}(x)+|b|{\mathcal {N}}(y)\qquad \forall x,y\in V\quad |a|+|b|=1\in \mathbb {R} }$

根據（Reed and Simon, 1980）。這揭示了哈恩-巴拿赫定理與凸性的密切聯繫。

重要的結果

這個定理有一些重要的結果，其中有些也有時稱為「哈恩-巴拿赫定理」：

• 如果V是一個賦範向量空間，其子空間為U（不一定是閉的），且φ : U → K是連續和線性的，那麼存在φ的一個擴張ψ : V → K，也是連續和線性的，且範數與φ相同（關於線性映射的範數的討論，參見巴拿赫空間）。也就是說，在賦範向量空間的範疇中，空間${\displaystyle \mathbb {K} }$是一個內射物件。
• 如果V是一個賦範向量空間，其子空間為U（不一定是閉的），且z是V的一個元素，不在U的閉包內，那麼存在一個連續線性映射ψ : V → K，對於U內的所有x都滿足ψ(x) = 0，ψ(z) = 1，且||ψ|| = 1/dist(z,U)。

哈恩-巴拿赫分離定理

哈恩-巴拿赫定理的另外一種形式，稱為哈恩-巴拿赫分離定理。^[1][2]它在凸幾何中有許多用途。^[3]

定理：設${\displaystyle V}$為 ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$或${\displaystyle \mathbb {C} }$上的一個拓撲向量空間，${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$ 是 ${\displaystyle V}$的非空凸子集。假設${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$。那麼：

1. 如果${\displaystyle A}$是開集，那麼存在一個連續線性映射${\displaystyle \lambda \colon V\to \mathbb {K} }$和 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$，使得對於所有的${\displaystyle a\in A}$和${\displaystyle b\in B}$，都有 ${\displaystyle \operatorname {Re} \,\lambda (a)<t\leq \operatorname {Re} \,\lambda (b)}$。
2. 如果${\displaystyle V}$ 是局部凸的，${\displaystyle A}$ 是緊集，且${\displaystyle B}$ 是閉集，那麼存在一個連續線性映射 ${\displaystyle \lambda \colon V\to \mathbb {K} }$和 ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$，使得對於所有的${\displaystyle a\in A}$和${\displaystyle b\in B}$，都有 ${\displaystyle \operatorname {Re} \,\lambda (a)<t<s<\operatorname {Re} \,\lambda (b)}$。

與選擇公理的關係

前面已經提到，從選擇公理可以推出哈恩-巴拿赫定理。然而，反過來不成立。注意超濾子引理比選擇公理更弱，但從它也可以推出哈恩-巴拿赫定理（反過來則不行）。實際上，哈恩-巴拿赫定理還可以用比超濾子引理更弱的假設來證明。^[4]對於可分巴拿赫空間，Brown和Simpson證明了哈恩-巴拿赫定理可以從WKL₀——一個二階算術的弱子系統推出。^[5]

參見

• M·里斯擴張定理
• 自反空間

注釋

1. Klaus Thomsen, 哈恩-巴拿赫分離定理 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），Aarhus University, 高等分析講座 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
2. Gabriel Nagy, 實分析 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 講座 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
3. R. Harvey and H. B. Lawson, "An intrinsic characterisation of Kahler manifolds," Invent. Math 74 (1983) 169-198.
4. D. Pincus, The strength of Hahn–Banach's Theorem, in: Victoria Symposium on Non-standard Analysis, Lecture notes in Math. 369, Springer 1974, pp. 203-248. Citation from M. Foreman and F. Wehrung, The Hahn-Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），"Fundamenta Mathematicae" 138 (1991), p. 13-19.
5. D. K. Brown and S. G. Simpson, Which set existence axioms are needed to prove the separable Hahn-Banach theorem?, Annals of Pure and Applied Logic, 31, 1986, pp. 123-144. Source of citation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.

參考文獻

• Lawrence Narici and Edward Beckenstein, "The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times", Topology and its Applications, Volume 77, Issue 2 (1997) Pages 193-211.

• Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.

泛函分析中的定理

阿爾澤拉-阿斯科利定理 • 貝爾綱定理 • 巴拿赫-阿勞格魯定理 • 巴拿赫-馬祖爾定理 • 開映射定理 • 均勻有界原理 • 閉圖像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米爾格拉姆定理