內射對象與投射對象

在同調代數中，內射對象與投射對象是內射模與投射模在阿貝爾範疇中的推廣，二者的定義相對偶。以下固定一個阿貝爾範疇 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 。

• 若對象 ${\displaystyle P}$ 使得函子 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(P,-)}$ 為正合函子，則稱 ${\displaystyle P}$ 為投射對象。
• 若對象 ${\displaystyle I}$ 使得函子 ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,I)}$ 為正合函子，則稱 ${\displaystyle I}$ 為內射對象。

若對每個對象 ${\displaystyle X}$ 都存在投射對象 ${\displaystyle P}$ 及滿射 ${\displaystyle P\to X}$，則稱 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 有充足投射元。若對每個對象 ${\displaystyle X}$ 都存在內射對象 ${\displaystyle I}$ 及單射 ${\displaystyle X\to I}$，則稱 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 有充足內射元。對於有充足投射元（或內射元）的阿貝爾範疇，可以考慮對象的投射分解（或內射分解）。