可分空間

在數學中，一個拓撲空間被稱為可分空間當它包含一個可數的稠密子集，也就是說，存在一個序列${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$，使得此空間中的每個非空的開子集都有這個序列中的至少一個元素。

如可數性公理一樣，可分性是一種對空間「大小」的「限制」，雖然這個限制並不一定就是對空間中元素多少的限制（然而在豪斯多夫公理成立的時候這兩者是一樣的）。特別地，可分空間中的每個連續函數，只要其圖像是某個豪斯多夫空間的子集的話，就會被其在某個可數的稠密子集上的取值所確定。

一般來說，對於經典分析學和幾何學中的空間來說，可分性是一個很有用的技術性假設，也被認為是比較弱的假設。

例子

首先，所有的由有限集或者可數集構成的空間都是可分空間。由不可數集所構成的拓撲空間中，一個可分空間的重要例子是由所有實數組成的實數集空間，因為所有的有理數在其中構成了一個可數的稠密子集。類似地，所有由向量${\displaystyle (r_{1},\ldots ,r_{n})}$ 所構成的空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$也是可分空間，也即是說，所有的有限維歐幾里德空間都是可分的。

不可分空間的一個簡單例子是基數不可數的離散空間。

可分性與第二可數性

每個第二可數空間都是可分的: 如果 ${\displaystyle \{U_{n}\}}$ 是一個可數基底，那麼只要選擇任意一個 ${\displaystyle x_{n}\in U_{n}}$ 就可以得到一個可數並且稠密的子集。反過來說，一個度量空間可分若且唯若它是第二可數的或林德洛夫空間。

參考來源

• Kelley, John L., General Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1975, ISBN 978-0-387-90125-1, MR0370454
• Sierpinski, Waclaw, General topology, Mathematical Expositions, No. 7, Toronto, Ont.: University of Toronto Press, 1952, MR0050870
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446
• Willard, Stephen, General Topology, Addison-Wesley, 1970, ISBN 978-0-201-08707-9, MR0264581
• Juha Heinonen, Geometric embeddings of metric spaces (PDF), January 2003 [6 February 2009], （原始內容存檔 (PDF)於2019-07-11）