二十四面體

在幾何學中，二十四面體是指有24個面的多面體^[3]，在二十四面體當中沒有任何一個形狀是正多面體，換言之即正二十四面體並不存在，但仍有許多由正多邊形組成的二十四面體，例如三側錐正十二面體（英語：Triaugmented dodecahedron）和五角錐球狀屋頂，也有一些接近球狀但並非由正多邊形組成的二十四面體，其中對稱性較高的是三角化八面體和鳶形二十四面體等卡塔蘭立體、對稱性較低的是部分詹森多面體的對偶多面體，例如雙四角帳塔反角柱（英語：Gyroelongated square bicupola）的對偶和異相雙四角帳塔柱的對偶。此外要構成二十四面體至少要有14個頂點^[4]。

二十四面體

部分的二十四面體
一種星形二十四面體[1][2]	四角化六面體
偽鳶形二十四面體（英語：Pseudo-deltoidal icositetrahedron）	三側錐正十二面體

常見的二十四面體

常見的二十四面體中有一些柱體與錐體以及部份的詹森多面體和卡塔蘭立體。

二十三角錐

二十三角錐是一種底面為二十三邊形的錐體，為二十四面體的一種，具有24個面、46條邊和24個頂點，其對偶多面體是自己本身^[5]。正二十三角錐是一種底面為正二十三邊形的二十三角錐，在施萊夫利符號中可以用{}∨{23}來表示。底邊長為${\displaystyle s}$、高為${\displaystyle h}$的正二十三角錐體積${\displaystyle V}$和表面積${\displaystyle S}$為^[5]：

${\displaystyle V={\frac {23hs^{2}\cot {\frac {\pi }{23}}}{12}}\approx 13.9448hs^{2}}$

${\displaystyle S={\frac {23s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{23}}}}+s\cot {\frac {\pi }{23}}\right)}{4}}\approx 5.75s\left({\sqrt {4h^{2}+52.9335s^{2}}}+7.27554s\right)}$

二十二角柱

二十二角柱是一種底面為二十二邊形的柱體，是二十四面體的一種，由24個面和66條邊和44個頂點組成。正二十二角柱代表每個面都是正多邊形的二十二角柱，其每個頂點都是2個正方形和1個二十二邊形的公共頂點，頂點圖以${\displaystyle 4{.}4{.}22}$表示。其在施萊夫利符號中可以用{22}×{}或t{2,22}來表示，在考克斯特符號（英語：Coxeter-Dynkin diagram）中可以用來表示，在威佐夫符號（英語：Wythoff symbol）中可以利用2 22 | 2來表示，在康威多面體表示法中可以利用P22來表示。底邊長為${\displaystyle s}$、高為${\displaystyle h}$的正二十二角柱體積${\displaystyle V}$和表面積${\displaystyle S}$為^[6]：

${\displaystyle V={\frac {11hs^{2}\cot {\frac {\pi }{22}}}{2}}\approx 38.2533hs^{2}}$

${\displaystyle S=11s\left(2h+s\cot {\frac {\pi }{22}}\right)\approx 11s\left(2h+6.95515s\right)}$

十一角反稜柱

十一角反稜柱

十一角反稜柱是指底面為十一邊形的反稜柱，由24個面、44條邊和22個頂點組成。正十一角反稜柱代表每個面都是正多邊形的十一角反稜柱，其每個頂點都是3個三角形和1個十一邊形的公共頂點，頂點圖以3.3.3.11表示。

十二方偏方面體

十二方偏方面體是一種以十二邊形為底的偏方面體，由24個全等的鳶形組成，為十二角反角柱的對偶多面體^[7]，同時也是鳶形多面體，是偏方面體系列的第十個成員。所有十二方偏方面體都有24個面、48條邊和26個頂點^[7]，其中，頂點有兩種，分別為12個鳶形的公共頂點和3個鳶形的公共頂點。

十二方偏方面體是一個等面圖形，即面可遞多面體，其所有面都相等。更具體來說，其不僅所有面都全等，且面與面必須能在其對稱性上遞移，也就是說，面必須位於同一個對稱性軌道內。這種凸多面體是能做成公正的骰子的形狀。^[8]

十二方偏方面體在施萊夫利符號中可以用{ }⨁{12}來表示，在考克斯特符號中可以用或來表示，在康威多面體表示法中可以用dA12來表示。

詹森多面體

在二十四面體中，有2個是詹森多面體，它們分別為：五角錐球狀屋頂和三側錐正十二面體（英語：Triaugmented dodecahedron）。

名稱	種類	圖像	編號	頂點	邊	面	面的種類	對稱性	展開圖
五角錐球狀屋頂	球狀屋頂變體		J90	16	38	24	20個正三角形 4個正方形	D2d
三側錐正十二面體（英語：Triaugmented dodecahedron）	側錐正多面體		J61	23	45	24	15個正三角形 9個五邊形	C3v

卡塔蘭立體

主條目：卡塔蘭立體

在二十四面體中，有5種拓樸結構明顯不同的卡塔蘭立體^[9]，分別為三角化八面體、四角化六面體、鳶形二十四面體和五角化二十四面體，其中五角化二十四面體具有2個手性鏡像，因此幾何上只包含了四種不同的卡塔蘭立體。

名稱	圖像	展開圖	對偶	面	邊	頂點	頂點布局	點群
三角化八面體	(動畫)		截角立方體	24	36	14	等腰三角形 V3.8.8	Oh群
四角化六面體	(動畫)		截角八面體	24	36	14	等腰三角形 V4.6.6	Oh群
鳶形二十四面體	(動畫)		小斜方截半立方體	24	48	26	鳶形 V3.4.4.4	Oh群
五角二十四面體 (有兩種手性鏡像)	(動畫) (動畫)		扭稜立方體	24	60	38	不等邊五邊形 V3.3.3.3.4	O群

均勻星形多面體

部分的均勻星形多面體也具有24個面：

名稱	圖像	威佐夫 符號（英語：Wythoff symbol）	頂點圖	對稱性	C#	W#	U#	K#	頂點	邊	面	歐拉	密度（英語：Density_(polytope)）	面種類
雙三斜十二面體		3 | 5/3 5	(5/3.5)3	Ih	C53	W080	U41	K46	20	60	24	-16	4	12{5}+12{5/2}
截半大十二面體		3 | 5/3 5	(5/3.5)3	Ih	C53	W080	U41	K46	20	60	24	-16	4	12{5}+12{5/2}
截角大十二面體		2 5/2 | 5	10.10.5/2	Ih	C47	W075	U37	K42	60	90	24	-6	3	12{5/2}+12{10}
小星形截角十二面體		2 5 | 5/3	10/3.10/3.5	Ih	C74	W097	U58	K63	60	90	24	-6	9	12{5}+12{10/3}

二十四面體列表

名稱	種類	圖像	符號	頂點	邊	面	χ	面的種類	對稱性	展開圖
二十二角柱	稜柱體		t{2,22} {22}x{}	44	66	24	2	2個二十二邊形（英語：Icosidigon） 22個矩形	D22h, [22,2], (*22 2 2), order 88
二十三角錐	稜錐體		( )∨{23}	24	46	24	2	1個二十三邊形（日語：二十三角形） 23個三角形	C23v, [23], (*23 23)
二十二角錐台	錐台			44	66	24	2	2個二十二邊形 22個梯形	D22h, [22,2], (*22 2 2), order 88
雙十二角錐	雙錐體		{ } + {12}	14	36	24	2	12個三角形	D12h, [12,2], (*2 2 12), order 48
十二方偏方面體	偏方面體		{ }⨁{12}[10]:235	26	48	24	2	24個鳶形	D12d, [2+,12], (2*12)
十一角反稜柱	反稜柱		s{2,22} sr{2,11}	22	44	24	2	2個十一邊形 22個三角形	D11d, [2+,22], (2*11), order 44
十一角帳塔	帳塔			33	55	24	2	11個正三角形 11個正方形 1個正十一邊形 1個正二十二邊形	D11d, [2+,22], (2*11), 44階
異相雙四角 帳塔柱的對偶 偽鳶形二十四面體[11]	詹森多面體對偶			26	48	24	2	24個鳶形	D4d

參見

• 二十四邊形

參考文獻

1. Isohedron 24k. loki3.com. [2016-08-29]. （原始內容存檔於2019-02-18）. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
2. The Isometric Crystal System. metafysica.nl. [2016-08-29]. （原始內容存檔於2018-11-29）. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
3. Weisstein, Eric W. (編). Icositetrahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
4. Counting polyhedra. numericana.com. [2016-01-10]. （原始內容存檔於2020-08-20）. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
5. Wolfram, Stephen. "Icositrigonal pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英語）.
6. Wolfram, Stephen. "Icosidigonal prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英語）.
7. Wolfram, Stephen. "12-trapezohedron". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英語）.
8. McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822, doi:10.2307/3619822.
9. Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
10. Johnson, N.W. Chapter 11: Finite symmetry groups. Geometries and Transformations. 2018. ISBN 978-1-107-10340-5.
11. George Hart. pseudo-rhombicuboctahedra. georgehart.com. [2017-07-22]. （原始內容存檔於2012-12-08）. （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. 二十四面體. MathWorld.