5的主平方根是一個正的實數,為無理數[2],一般稱為「根號5」,記為
。
乘以它本身的值為5。
和黃金比值有關。5的主平方根數值為:
- 2.236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897… (OEIS數列A002163)
可以四捨五入為2.236,有99.99%的準確度。截至1994年4月,其數值在小數點後已計算到至少100萬個位數[3]。
可以表示為連分數[2; 4, 4, 4, 4, 4...] (OEIS數列A040002)。最佳有理數逼近的數列如下:
![{\displaystyle {\color {OliveGreen}{\frac {2}{1}}},{\frac {7}{3}},{\color {OliveGreen}{\frac {9}{4}}},{\frac {20}{9}},{\frac {29}{13}},{\color {OliveGreen}{\frac {38}{17}}},{\frac {123}{55}},{\color {OliveGreen}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {OliveGreen}{\frac {682}{305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {OliveGreen}{\frac {2889}{1292}}},\dots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f53ba86fc010625449b8a1c91e39ffef3651ad6d)
綠色的數字是
的連分數的漸近分數,其分子為數列A001077,而分母則為數列A001076。其他黑色的數字則是半收斂的部份。
邊長為1正方形的一半,形成的長方形對角線長為√5/2,此特性可用在黃金矩形的繪製
黃金比例
是
和1的算術平均數[4]。
、黃金比例和共軛黃金比例(
)之間的代數關係可以用以下幾個數學式來表示:
![{\displaystyle {\sqrt {5}}=\varphi +\Phi =2\varphi -1=2\Phi +1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1377a98078af7c4e8bd6b9408d5b25a2f155fd25)
![{\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20d43139cc688139bcc5dedc510dcb7f8fda11dc)
![{\displaystyle \Phi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09717cb4d2da29864539dcad17403d879738fc5)
費氏數列也可以用包括
及黃金比例的式子來表示:
![{\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17803a08636640dc01bb62875865bfeede5c3b1f)
除以
得到的商(或
和Φ的積)及其倒數的連分數有特別的模式,而且和費氏數列及盧卡斯數的比值有關[5]:
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{\varphi }}=\Phi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}=1.3819660112501051518\dots =[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897e8abc1620309ed4a9c4ce466cc4b468279475)
![{\displaystyle {\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\Phi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}=0.72360679774997896964\dots =[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5c5c2a550a1ff46be0bb2fa9f2ae0794253eea9)
其有理數逼近的數列,分子及分母分別為費氏數列及盧卡斯數:
![{\displaystyle {1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},{\frac {47}{34}},{\frac {76}{55}},{\frac {123}{89}}},\dots \dots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a70f0d2d9e7b7b1610d3477bc2717274a6a590)
![{\displaystyle {1,{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{7}},{\frac {8}{11}},{\frac {13}{18}},{\frac {21}{29}},{\frac {34}{47}},{\frac {55}{76}},{\frac {89}{123}}},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd56830ef6a47257270f35032fa3443c1a65da2)
數學家拉馬努金發現的許多連分數恆等式都和
有關[10][11]。
例如以下的羅傑·拉馬努金連分數:
![{\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{\frac {2\pi }{5}}=e^{\frac {2\pi }{5}}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f27acc02b97a7c6863cc05a6636e255c7ebb4cff)
![{\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{\frac {3}{4}}(\varphi -1)^{\frac {5}{2}}-1\right]^{\frac {1}{5}}}-\varphi \right)e^{\frac {2\pi }{\sqrt {5}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e077713fe55755e79bee30e681ab6bb3e84688)
![{\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/896cb7eeec81243377351ac3668806a9ad902733)