3的主平方根

3的主平方根是一個正的實數，它的平方等於3，記為：

${\displaystyle {\sqrt {3}}}$。

3的主平方根

無理數 ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {2}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}\varphi }$ - ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {3}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {5}}}$ - ${\displaystyle \color {blue}\delta _{S}}$ - ${\displaystyle \color {blue}e}$ - ${\displaystyle \color {blue}\pi }$ 邊長為2的正三角形高為3的平方根
識別
位數數列編號	A002194
性質
連分數	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}$[註1]
以此為根的多項式或函數	${\displaystyle x^{2}-3=0}$
表示方式
值	1.7320508075688772935
二進制	1.101110110110011110101110…
十進制	1.732050807568877293527446…
十六進制	1.BB67AE8584CAA73B25742D70…
閱 論 編

其最初60個數字為：

1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 5580... （OEIS數列A002194）

它是一個無理數，近似值分別為:${\displaystyle 2}$、${\displaystyle {\frac {7}{4}}}$、${\displaystyle {\frac {26}{15}}}$、${\displaystyle {\frac {97}{56}}}$、${\displaystyle {\frac {362}{209}}}$、${\displaystyle {\frac {1351}{780}}}$、${\displaystyle {\frac {131719}{76048}}}$。

幾何學

如果把一個邊長為1的等邊三角形切成兩個全等的直角三角形，則直角三角形的斜邊長度為1，直角邊為${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$和${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$。因此，60度的正切等於${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

它是邊長為1的正六邊形的互相平行的兩邊之間的距離。

如圖：

在邊長為1的正六邊形${\displaystyle ABCDEF}$中, ${\displaystyle BD={\sqrt {3}}.}$

它是單位立方體（棱長為1的立方體）的對角線長度。

如圖：

在棱長為1的立方體${\displaystyle ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}$中, ${\displaystyle AC_{1}={\sqrt {3}}.}$

參見

• 2的主平方根
• 5的主平方根
• 平方根
• 無理數

註釋

註:
1. 令${\displaystyle \!\ x=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}$， 由觀察可知${\displaystyle x=2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{x}}}}}$，即${\displaystyle x^{2}-2x-2=0}$， 解方程式，取正根，得${\displaystyle x=1+{\sqrt {3}}}$， 因此${\displaystyle {\sqrt {3}}=x-1=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}$。

參考文獻

• M. F. Jones, "22900D approximations to the square roots of the primes less than 100", Math. Comp 22 (1968): 234 - 235.
• H. S. Uhler, "Approximations exceeding 1300 decimals for ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$, ${\displaystyle \sin({\frac {\pi }{3}})}$ and distribution of digits in them" Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 37 (1951): 443 - 447.
• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Revised Edition. London: Penguin Group. (1997): 23

外部連結

• 證明3的平方根是無理數
• MathWorld（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）