黎曼曲面
一維複流形 / 維基百科,自由的 encyclopedia
數學上,特別是在複分析中,一個黎曼曲面是一個一維複流形。黎曼曲面可以被視為是一個複平面的變形版本:在每一點局部看來,他們就像一片複平面,但整體的拓撲可能極為不同。例如,他們可以看起來像球或是環,或者兩個頁面粘在一起。
黎曼曲面的精髓在於在曲面之間可以定義全純函數。黎曼曲面現在被認為是研究這些函數的整體行為的自然選擇,特別是像平方根和自然對數這樣的多值函數。
每個黎曼曲面都是二維實解析流形(也就是曲面),但它有更多的結構(特別是一個複結構),因為全純函數的無歧義的定義需要用到這些結構。一個實二維流形可以變成為一個黎曼曲面(通常有幾種不同的方式)若且唯若它是可定向的。所以球和環有複結構,但是莫比烏斯帶,克萊因瓶和射影平面沒有。
黎曼曲面的幾何性質是最妙的,它們也給與其它曲線,流形或簇上的推廣提供了直觀的理解和動力。黎曼-羅赫定理就是這種影響的最佳例子。