馬丁公理
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在數學的集合論中,馬丁公理(Martin's axiom)是一個由唐納德·A·馬丁(英語:Donald A. Martin)和羅伯特·M·梭羅維(英語:Robert M. Solovay)引進的[1]公理,這公理獨立於慣常的、帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論(ZFC)。這公理在連續統假設成立的狀況下成立,但也與否定連續統假設的ZFC公理系統相容。
用較不正式的講法,馬丁公理講的是任何小於連續統的基數,其行為會與
大體類似。這公理背後的想法可藉由研究羅修娃-西葛斯基引理的證明得知;而這是用以控制特定力迫論證的其中一個原則。
陳述
給定任意的基數,我們可以定義一個如下的陳述,並將這陳述給記做
:
由於這是一個使得不成立的ZFC定理之故,因此馬丁公理可表述如下:
馬丁公理(MA):對於任意的
,
成立
在這情況(應用可數鏈條件)下,一個反鏈是
的子集,且這子集使得
的任意兩個元素不兼容(若在偏序中存在一個低於兩者的共通元素,則說兩個元素是兼容的),而這與樹等情況下的反鏈是不同的。
為真,而這即是羅修娃-西葛斯基引理。
為假:
是一個緊緻豪斯多夫空間,因此是個可分空間並滿足可數鏈條件。這集合沒有孤立點,因此其中的點是無處稠密的;但這集合是
這麼多的點的聯集。(也可參見下述的與
等價的條件)
與
等價的陳述
以下陳述與等價:
- 若
是一個滿足可數鏈條件的緊緻豪斯多夫空間,那
不會是
個或更少的無處稠密集的聯集。
- 若
是一個上升的、滿足可數鏈條件的偏序集,而
是
的餘有限子集的集族,且
,則存在一個向上的集合
使得
會見所有
的元素。
- 若
是一個滿足可數鏈條件的非零布爾代數而
是
的子集的集族,且
,那就存在一個布爾同態
,使得對於任意
中的
而言,要不有一個
,使得
,要不有個
有個上界
,使得
結果
馬丁公理在組合數學、數學分析跟拓樸學上有許多有其他有趣的結果:
- 在波蘭空間上的無原子σ-有限博雷爾測度中,
個或更少的零測集依舊是零測集;不僅如此,實數集的
個或更少的勒貝格測度為零的子集的聯集,其勒貝格測度為零。
- 對於一個緊緻豪斯多夫空間
而言,若
,則這空間是序列緊緻的,也就是說這空間中的每個序列都有一個收斂子序列。
- 在
上,沒有任何非主要的超濾子的基本基數會小於
。
- 等價地,對於任意的
,有
,此處的
是
的特徵(英語:Cardinal function),因此
。
蘊含說滿足可數鏈條件的拓樸空間的乘積依舊滿足可數鏈條件,而這結果又蘊含說蘇斯林線(英語:Suslin line)不存在。
- 若馬丁公理成立,而連續統假設不成立,那就表示存在有非自由的懷特海群(Whitehead group);細拉(英語:Saharon Shelah)用這結果證明說懷特海問題獨立於ZFC。
後續發展
- 馬丁公理的一般化版本為真力迫公理(英語:proper forcing axiom)以及馬丁最大值(英語:Martin's maximum)。
- 謝爾頓·W·戴維斯(Sheldon W. Davis)在他的說中提出馬丁公理是受到貝爾綱定理的啟發而來的。[2]
參考資料
- Martin, Donald A.; Solovay, Robert M. Internal Cohen extensions. Ann. Math. Logic. 1970, 2 (2): 143–178. MR 0270904. doi:10.1016/0003-4843(70)90009-4
.
- Davis, Sheldon W. Topology. McGraw Hill. 2005: 29. ISBN 0-07-291006-2.
延伸閱讀
- Fremlin, David H. Consequences of Martin's axiom. Cambridge tracts in mathematics, no. 84. Cambridge: Cambridge University Press. 1984. ISBN 0-521-25091-9.
- Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
- Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.