連續統假設
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連續統假設(英語:Continuum hypothesis,簡稱CH)是數學中一個猜想,也是希爾伯特的23個問題的第一題,由康托爾提出,關於無窮集的可能大小。其為:
康托爾引入了基數的概念以比較無窮集間的大小,也證明了整數集的基數絕對小於實集的基數。康托爾也就給出了連續統假設,就是說,在無限集中,比自然數集基數大的集合中,基數最小的集合是實數集。而連續統就是實數集的一個舊稱。
更加形式地說,自然數集的基數為(讀作「阿列夫零」)。而連續統假設的觀點認為實數集的基數為(讀作「阿列夫壹」)。於是,康托爾定義了絕對無限。
等價地,整數集的基數是而實數的基數是,連續統假設指出不存在一個集合使得
假設選擇公理是對的,那就會有一個最小的基數大於,而連續統假設也就等價於以下的等式:
連續統假設有個更廣義的形式,叫作廣義連續統假設(GCH),其命題為:
對於所有的序數,
庫爾特·哥德爾在1940年用內模型法證明了連續統假設與ZFC的相對協調性(無法以ZFC證明為誤),保羅·柯恩在1963年用力迫法證明了連續統假設不能由ZFC推導。也就是說連續統假設獨立(英語:Independence (mathematical logic))於ZFC。