數學上,自同構(automorphism)是從一個數學物件到自身的同構,可以看為這對象的一個對稱,將這對象映射到自身而保持其全部結構的一個途徑。一個對象的所有自同構的集合是一個群,稱為自同構群,大致而言,是這對象的對稱群。
自同構的精確定義,依賴於「數學物件」的種類,及這對象的「同構」的準確界定。可以定義這些概念的最一般情形,是在數學的一個抽象分支,稱為範疇論。範疇論是研究抽象對象和這些對象間的態射。
在範疇論中,自同構是一個自同態(即是一個對象到自身的一個態射)而同時為(範疇論所定義的)同構。
這是一個很抽象的定義,因為範疇論中,態射不一定是函數,對象不一定是集合。不過在更具象的情形中,對象會是有附加結構的集合,而態射會是保持這種結構的函數。
例如在抽象代數中,一個數學物件是代數結構,如群、環、向量空間等。一個同構就是對射的同態(同態按代數結構而定, 例如群同態、環同態、線性算子)。
恆等態射(恆等映射)在某些情況稱為平凡自同構。相對地,其他(非恆等)自同構稱為非平凡自同構。
如果一個對象X的自同構組成一集合(而不是一個真類)那麼這些自同構以態射複合運算組成一個群。這個群稱為X的自同構群。可以直接檢查這的確是一個群:
- 閉合性:兩個自同態的複合是另一個自同態。
- 結合性:態射複合一定有結合性。
- 單位元素:單位元素是一個對象到自身的恆等映射,按定義一定存在。
- 反元素:任一同構按定義都有一個也是同構的逆映射,由於這逆映射也是同一對象的自同態,所以是自同構。
在一個範疇C中的一個對象X的自同構群,記為AutC(X),如果內文明顯看出該範疇,可簡記為Aut(X)。
- 在集合論中,一個集合X的元素的任一個置換是一個自同構。X的自同構群也稱為X上的對稱群。
- 在初等算術中,整數集Z,考慮成在加法下的一個群,有唯一的非平凡自同構:取負。但是,考慮成一個環,便僅有平凡自同構。一般而言,取負是任何阿貝爾群的自同構,但不是一個環或域的自同構。
- 群自同構是一個群到自身的群同態。非正式而言,這是一個使得結構不變的群元素置換。對任何群G,有一個自然群同態G → Aut(G),其像是內自同構群Inn(G),其核是G的中心。因此若G有平凡中心,則可以嵌入到其自同構群之中。[1]
- 在線性代數中,向量空間V的一個自同態是一個線性算子 V → V。一個自同構是V上的一個可逆線性算子。當向量空間V是有限維的,其自同構群即是一般線性群GL(V)。
- 域自同構是從一個域到自身的一個對射環同構。有理數域Q和實數域R都沒有非平凡域自同構。R的一些子體有非平凡域自同構,但不能擴展至整個R(因為它們不能保持一個數在R中有平方根的性質)。複數域C有唯一的非平凡自同構將R映至R:複共軛,但是有(不可數)無限多「野性」自同構(假設選擇公理)。[2][3]域自同構對體擴張理論很重要,尤其是伽羅瓦擴張。在一個伽羅瓦擴張L/K的情形,L的自同構中,在子體K上逐點固定的所有自同構所組成的子群,稱為該擴張的伽羅瓦群。
- p進數域Qp沒有非平凡自同構。
- 在圖論中,一個圖的圖自同構,是頂點的一個置換,使得邊與非邊保持不變:兩個頂點若有邊連接,則在置換下這兩頂點的像有邊連接,反之亦然。
- 在幾何學中,空間的一個自同構有時稱為空間的運動。一些特定名詞也會使用:
群自同構的一個最早期的例子,是愛爾蘭數學家威廉·哈密頓在1856年給出。在他的Icosian calculus中,他發現了一個2階的自同構,[4]
寫道:
使得
是新的五次單位根,與之前的五次單位根
以完美互反性的關係相關聯。[5]
有一些範疇,特別是群、環、李代數,其中的自同構可以分為兩種,稱為「內」自同構和「外」自同構。
對群而言,內自同構就是群本身的元素的共軛作用。對一個群G的每個元素a,以a共軛是一個運算φa : G → G,定義為φa(g) = aga−1(或a−1ga;用法各異)。易知以a共軛是一個群自同構。內自同構組成 Aut(G)的一個正規子群,記作Inn(G)。
其他的自同構稱為外自同構。商群Aut(G) / Inn(G)通常記為Out(G);非平凡元素是包含外自同構的陪集。
在任何有單位元素的環或代數中的可逆元素a,可以同樣定義內自同構。對於李代數,定義有少許不同。
Lounesto, Pertti, Clifford Algebras and Spinors 2nd, Cambridge University Press: 22–23, 2001, ISBN 0-521-00551-5
原文為"so that
is a new fifth root of unity, connected with the former fifth root
by relations of perfect reciprocity."