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「
特徵向量」和「
特徵空間」均重新導向至此。關於機器學習中的概念,請見「
特徵 (機器學習)」。
在數學上,特別是線性代數中,對於一個給定的方陣
,它的特徵向量(eigenvector,也譯固有向量、本徵向量)
經過這個線性轉換[a]之後,得到的新向量仍然與原來的
保持在同一條直線上,但其長度或方向也許會改變。即
,
為純量,即特徵向量的長度在該線性轉換下縮放的比例,稱
為其特徵值(eigenvalue,也譯固有值、本徵值)。如果特徵值為正,則表示
在經過線性轉換的作用後方向也不變;如果特徵值為負,說明方向會反轉;如果特徵值為0,則是表示縮回零點。但無論怎樣,仍在同一條直線上。圖1給出了一個以油畫《蒙娜麗莎》為題材的例子。在一定條件下(如其矩陣形式為實對稱矩陣的線性轉換),一個轉換可以由其特徵值和特徵向量完全表述,也就是說:所有的特徵向量組成了這向量空間的一組基底。一個特徵空間(eigenspace)是具有相同特徵值的特徵向量與一個同維數的零向量的集合,可以證明該集合是一個線性子空間,比如
即為線性變換
中以
為特徵值的特徵空間。
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Quick Facts 線性代數, 向量 ...
線性代數
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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特徵值與特徵向量。在
轉換的作用下,向量
僅僅在尺度上變為原來的
倍。稱
是A的一個特徵向量,
是對應的特徵值。
圖1.當蒙娜麗莎的圖像左右翻轉時,中間垂直的紅色向量方向保持不變。而水平方向上黃色的向量的方向完全反轉,因此它們都是左右翻轉轉換的特徵向量。紅色向量長度不變,其特徵值為1。黃色向量長度也不變但方向變了,其特徵值為-1。橙色向量在翻轉後和原來的向量不在同一條直線上,因此不是特徵向量。
這些概念在純數學和應用數學的眾多領域中都有重要的應用。在線性代數和泛函分析之外,甚至在一些非線性的情況下,這些概念都是十分重要的。
「特徵」一詞譯自德語的eigen,由希爾伯特在1904年首先在這個意義下使用(赫爾曼·馮·亥姆霍茲在更早的時候也在類似意義下使用過這一概念)。eigen一詞可翻譯為「自身的」,「特定於...的」,「有特徵的」或者「個體的」—這強調了特徵值對於定義特定的轉換上是很重要的。