正交

此條目介紹的是線性代數中的概念和分子生物學中的概念。關於遺傳學中的概念，請見「雜交種」。

正交（英語：Orthogonality）是線性代數的概念，是垂直這一直觀概念的推廣。作為一個形容詞，只有在一個確定的內積空間中才有意義。若內積空間中兩向量的內積為0，則稱它們是正交的。如果能夠定義向量間的夾角，則正交可以直觀的理解為垂直。物理中：運動的獨立性，也可以用正交來解釋。

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣
向量 純量 · 向量 · 向量空間 · 向量投影 · 外積（叉積 · 七維叉積） · 內積（點積） · 二重向量 矩陣與行列式 矩陣 · 行列式 · 線性方程組 · 秩 · 核 · 跡 · 單位矩陣 · 初等矩陣 · 方塊矩陣 · 分塊矩陣 · 三角矩陣 · 非奇異方陣 · 轉置矩陣 · 逆矩陣 · 對角矩陣 · 可對角化矩陣 · 對稱矩陣 · 反對稱矩陣 · 正交矩陣 · 么正矩陣 · 埃爾米特矩陣 · 反埃爾米特矩陣 · 正規矩陣 · 伴隨矩陣 · 余因子矩陣 · 共軛轉置 · 正定矩陣 · 冪零矩陣 · 矩陣分解 （LU分解 · 奇異值分解 · QR分解 · 極分解 · 特徵分解） · 子式和餘子式 · 拉普拉斯展開 · 克羅內克積 線性空間與線性變換 線性空間 · 線性變換 · 線性子空間 · 線性生成空間 · 基 · 線性映射 · 線性投影 · 線性無關 · 線性組合 · 線性泛函 · 行空間與列空間 · 對偶空間 · 正交 · 特徵向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
閱 論 編

線段AB與CD彼此正交

各種正交概念

正交子空間

若某空間（此空間為內積空間）中兩向量的內積為0，則它們正交。類似地，若某空間（內積空間）中的向量v與子空間A中的每個向量都正交，那麼這個向量和子空間A正交。若內積空間的子空間A和B滿足一者中的每個向量都與另一者正交，那麼它們互為正交子空間。

正交變換

正交變換${\displaystyle T:V\rightarrow V}$是保持內積的線性變換。即是說，對兩個向量，它們的內積等於它們在函數T下的內積：

${\displaystyle \langle Tx,Ty\rangle =\langle x,y\rangle .}$

這也就是說，正交變換保持向量的長度不變，也保持兩個向量之間的角度不變。

正交圓

對兩個相交的圓，如果其中一個交點到兩圓圓心的連線互相垂直，則稱兩圓分別正交，為彼此的正交圓。以任一圓圓心為反演中心，其半徑為反演半徑，另一圓反演變換後的圖像不變^[1]。

歐幾里得空間的例子

在二維或三維的歐幾里得空間中，兩個向量正交若且唯若他們的點積為零，即它們成90°角。可以看出正交的概念正是在此基礎上推廣而來的。三維空間中，一條直線的正交子空間是一個平面，反之亦然。四維空間中，一條直線的正交子空間則是一個超平面。

正交函數集

對於兩個函數f 和g，可以定義如下的內積：

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.}$

這裡引進一個非負的權函數${\displaystyle w(x)}$。這個內積叫做帶權${\displaystyle w(x)}$的內積。

兩個函數帶權${\displaystyle w(x)}$正交，是指它們帶權${\displaystyle w(x)}$的內積為零。

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx=0.}$

由此可以類似定義帶權${\displaystyle w(x)}$的模。

${\displaystyle ||f||_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}}$

一個函數列{ f_i : i = 1, 2, 3, ... }如果滿足：

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)\,dx=||f_{i}||^{2}\delta _{i,j}=||f_{j}||^{2}\delta _{i,j}}$

其中

${\displaystyle \delta _{i,j}={\begin{cases}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\neq j\end{cases}}}$

為克羅內克函數， 那麼{ f_i}就稱為帶權${\displaystyle w(x)}$的正交函數族。

進一步地，如果{ f_i}滿足：

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)\,dx=\delta _{i,j}}$

就稱{ f_i}為帶權${\displaystyle w(x)}$的標準正交函數族。

參見正交多項式。

分子生物學中的概念

和線性代數中的概念類似，在分子生物學中也稱互相獨立的元件稱為互相正交的。在設計各種分子生物學體系時，希望使用的元件之間的相互干擾儘可能的少，因為這有利於精確地調控細胞內各組分的活性。比如，在涉及到基因時，兩個正交的轉錄因子的啟動子應該都不被對方的表達影響。^[2]2017年Gita Naseri等將來自擬南芥的轉錄因子(TF)用於酵母系統中，並利用與宿主細胞正交的外源系統將元件的表達和降解從宿主細胞中隔離開來。^[3] 類似地，為了避免對宿主細胞產生毒性，Christopher Voigt等通過生物學信息挖掘的方式設計出了毒性更小的T7 RNAP，並衍生出四個具有互不干擾的 T7 RNAP 變體。^[4]

正交的概念不僅限於基因層次，也適合於翻譯層次和蛋白質調控網絡層次。2014年Alexander等從頭設計了一類在原核生物中存在的核糖體開關，其可以用任意序列的RNA來激活觸發目標mRNA的翻譯。他們把這種開關稱為Toehold開關，並且證明其不同序列之間互不觸發，也即具有極高的正交性。他們能夠利用這種正交性獨立調節12個基因。^[5]2016年Wendell Lim等將Notch受體其胞外配體結合域和胞內轉錄調控因子域進行替換，理性設計出功能上互相正交的、在多種細胞系均可工作的人工合成的Notch受體，這是蛋白質調控層次的上正交性的一種體現。^[6]與上例相似，2018年Michael Elowitz等也利用正交的病毒蛋白酶來設計蛋白質調控網絡，並實現了動態信號處理。^[7]

訊號處理中的正交轉換的例子及優點

正交轉換例子:

• Discrete Fourier transform
• Discrete cosine, sine, Hartley transforms
• Walsh Transform, Haar Transform
• discrete Legendre transform
• discrete orthogonal polynomial transforms
• Hahn, Meixner, Krawtchouk, Charlier

正交轉換最大好處:

1. 可以完整了解訊號的完整度
2. 訊號彼此不影響
3. 確保近似誤差最小化
4. 正轉換跟反轉換的架構是相似的

註釋

1. Chen, Evan. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 156–157. ISBN 978-1-61444-411-4.
2. Lou, Chunbo; Ouyang, Qi; Guo, Xian; Hou, Junran; Ji, Xiangyu; Lyu, Cheng; Zhang, Haoqian M.; Zong, Yeqing. Insulated transcriptional elements enable precise design of genetic circuits. Nature Communications. 2017-07-03, 8 (1): 52 [2019-01-24]. ISSN 2041-1723. doi:10.1038/s41467-017-00063-z. （原始內容存檔於2020-06-11） （英語）.
3. Naseri, Gita; Balazadeh, Salma; Machens, Fabian; Kamranfar, Iman; Messerschmidt, Katrin; Mueller-Roeber, Bernd. Plant-Derived Transcription Factors for Orthologous Regulation of Gene Expression in the Yeast Saccharomyces cerevisiae. ACS Synthetic Biology. 2017-09-15, 6 (9): 1742–1756. doi:10.1021/acssynbio.7b00094.
4. Segall-Shapiro, Thomas H; Meyer, Adam J; Ellington, Andrew D; Sontag, Eduardo D; Voigt, Christopher A. A ‘resource allocator’ for transcription based on a highly fragmented T7 RNA polymerase. Molecular Systems Biology. 2014-07-30, 10 (7): 742 [2019-01-24]. ISSN 1744-4292. PMC 4299498 . PMID 25080493. doi:10.15252/msb.20145299. （原始內容存檔於2021-02-25）.
5. Green, Alexander A.; Silver, Pamela A.; Collins, James J.; Yin, Peng. Toehold Switches: De-Novo-Designed Regulators of Gene Expression. Cell. 2014-11-06, 159 (4): 925–939 [2019-01-24]. ISSN 0092-8674. PMC 4265554 . PMID 25417166. doi:10.1016/j.cell.2014.10.002. （原始內容存檔於2021-02-06）.
6. Roybal, Kole T.; Williams, Jasper Z.; Morsut, Leonardo; Rupp, Levi J.; Kolinko, Isabel; Choe, Joseph H.; Walker, Whitney J.; McNally, Krista A.; Lim, Wendell A. Engineering T cells with Customized Therapeutic Response Programs Using Synthetic Notch Receptors. Cell. 2016-10-06, 167 (2): 419–432.e16 [2019-01-24]. ISSN 0092-8674. PMC 5072533 . PMID 27693353. doi:10.1016/j.cell.2016.09.011. （原始內容存檔於2021-05-25）.
7. Elowitz, Michael B.; Kim, Matthew S.; Chong, Lucy S.; Gao, Xiaojing J. Programmable protein circuits in living cells. Science. 2018-09-21, 361 (6408): 1252–1258 [2019-01-24]. ISSN 1095-9203. PMID 30237357. doi:10.1126/science.aat5062. （原始內容存檔於2021-03-02） （英語）.

延伸閲讀

• Chapter 4 – Compactness and Orthogonality （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） in The Art of Unix Programming

參閲

• 正交化
  • Gram-Schmidt正交化
• 正交分解
• 正交矩陣
• 正交基
• 垂直